Εμβαδόν κυκλικού δίσκου, κυκλικού τομέα και κυκλικού τμήματος

Όπως προσεγγίσαμε το μήκος κύκλου από περιμέτρους πολυγώνων, έτσι προσεγγίζουμε και το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου από τα εμβαδά των εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων. 📐

📖 Ορολογία

Κυκλικός δίσκος: το σύνολο των σημείων του κύκλου και των εσωτερικών του σημείων.

🌀 Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

Ιδέα ορισμού

Στον κύκλο $(K, R)$ θεωρούμε τα εγγεγραμμένα κανονικά $\nu$ -γωνα με εμβαδά:

E_3, E_4, E_5, \ldots, E_\nu, \ldots \quad (2)

Η ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη (κάθε εγγεγραμμένο έχει εμβαδόν μικρότερο από κάθε περιγεγραμμένο). Άρα συγκλίνει.

Ορισμός

Το όριο της ακολουθίας (2) ονομάζεται εμβαδόν κυκλικού δίσκου:

E = \lim_{\nu \to \infty} E_\nu.

Απόδειξη του τύπου $E = \pi R^2$

Από την προηγούμενη ενότητα: κάθε κανονικό $\nu$ -γωνο ακτίνας $R$ έχει εμβαδόν $E_\nu = \tfrac{1}{2} \Pi_\nu a_\nu$ , όπου $\Pi_\nu$ η περίμετρος και $a_\nu$ το απόστημά του.

Παίρνουμε όρια:

E = \lim_{\nu \to \infty} E_\nu = \frac{1}{2} \cdot \lim_{\nu \to \infty} \Pi_\nu \cdot \lim_{\nu \to \infty} a_\nu.

Γνωρίζουμε ότι:

$\lim_{\nu \to \infty} \Pi_\nu = \Gamma = 2\pi R$ (μήκος κύκλου),
$\lim_{\nu \to \infty} a_\nu = R$ , γιατί το απόστημα πλησιάζει την ακτίνα (το πολύγωνο «γεμίζει» τον κύκλο).

Άρα:

E = \frac{1}{2} \cdot 2\pi R \cdot R = \pi R^2. \quad \blacksquare

Ο θεμελιώδης τύπος

\boxed{E = \pi R^2}

Ή ισοδύναμα, αφού $R = \dfrac{\delta}{2}$ (όπου $\delta$ η διάμετρος):

E = \frac{\pi \delta^2}{4}.

Ή, χρησιμοποιώντας το μήκος $\Gamma = 2\pi R$ : $E = \dfrac{\Gamma^2}{4\pi}$ . 🎯

🔵 Εμβαδόν κυκλικού τομέα

Σε κύκλο $(K, R)$ , θεωρούμε επίκεντρη γωνία $\angle AKB$ μέτρου $\mu°$ .

Κυκλικός τομέας: το σύνολο των κοινών σημείων της επίκεντρης γωνίας $\angle AKB$ και του κυκλικού δίσκου $(K, R)$ . Λέμε ότι ο τομέας έχει μέτρο $\mu°$ .

Απόδειξη τύπου

Ο ολόκληρος κυκλικός δίσκος είναι τομέας μέτρου $360°$ με εμβαδόν $\pi R^2$ . Άρα τομέας μέτρου $1°$ έχει εμβαδόν $\dfrac{\pi R^2}{360°}$ .

Συνεπώς, τομέας μέτρου $\mu°$ έχει εμβαδόν:

\boxed{E_{\tau o\mu} = \frac{\pi R^2 \mu°}{360°}.}

Σε ακτίνια

Αν η γωνία είναι $\alpha$ rad (με $\mu° = \dfrac{180° \alpha}{\pi}$ ):

E_{\tau o\mu} = \frac{\pi R^2}{360°} \cdot \frac{180° \alpha}{\pi} = \frac{1}{2} \alpha R^2.

\boxed{E_{\tau o\mu} = \frac{1}{2} \alpha R^2 \quad (\alpha \text{ σε rad}).}

Ωραία σύνδεση

Σύγκρινε:

Μήκος τόξου: $\gamma = R\alpha$
Εμβαδόν τομέα: $E_{\tau o\mu} = \tfrac{1}{2} R \cdot R \alpha = \tfrac{1}{2} R \gamma$

Δηλαδή $E_{\tau o\mu} = \tfrac{1}{2} R \gamma$ — σαν εμβαδόν «τριγώνου» με βάση $\gamma$ και ύψος $R$ ! ✨

Σχήματα: βλ. PDF σελ. 46 (κυκλικός τομέας).

🔷 Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

Μια χορδή χωρίζει έναν κυκλικό δίσκο σε δύο μέρη. Καθένα από αυτά λέγεται κυκλικό τμήμα.

Το ένα αντιστοιχεί στην κυρτή επίκεντρη γωνία (μικρότερη του $180°$ ), το άλλο στη μη κυρτή.

Τύπος

Το εμβαδόν $E_{\kappa.\tau\mu}$ του κυκλικού τμήματος που βρίσκεται στην κυρτή γωνία $\angle AKB$ προκύπτει αφαιρώντας από τον τομέα το τρίγωνο $KAB$ :

\boxed{E_{\kappa.\tau\mu} = E_{\tau o\mu(KAB)} - E_{\triangle KAB}.}

Σχήμα: βλ. PDF σελ. 46–47.

Εμβαδόν τριγώνου $KAB$

Το $KAB$ είναι ισοσκελές με $KA = KB = R$ και γωνία κορυφής $\angle AKB = \mu°$ . Άρα:

E_{\triangle KAB} = \frac{1}{2} R \cdot R \cdot \text{ημ}(\mu°) = \frac{R^2}{2}\,\text{ημ}(\mu°).

Συνδυάζοντας:

E_{\kappa.\tau\mu} = \frac{\pi R^2 \mu°}{360°} - \frac{R^2}{2}\,\text{ημ}(\mu°).

🎯 Παραδείγματα

Παράδειγμα 1. Κυκλικός δίσκος ακτίνας $R$ χωρίζεται σε δύο κυκλικά τμήματα από χορδή $AB = \lambda_4 = R\sqrt{2}$ . Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών τους.

Λύση: Αφού $AB = \lambda_4$ , η γωνία $\angle AKB = 90°$ .

E_{\kappa.\tau\mu.1} = \frac{\pi R^2 \cdot 90°}{360°} - \frac{R^2}{2} = \frac{\pi R^2}{4} - \frac{R^2}{2} = \frac{(\pi - 2)R^2}{4}.

E_{\kappa.\tau\mu.2} = \pi R^2 - E_{\kappa.\tau\mu.1} = \frac{(3\pi + 2)R^2}{4}.

Άρα:

\frac{E_{\kappa.\tau\mu.1}}{E_{\kappa.\tau\mu.2}} = \frac{\pi - 2}{3\pi + 2}.

Παράδειγμα 2. Δύο ίσοι κύκλοι $(K, \rho)$ και $(\Lambda, \rho)$ με διάκεντρο $K\Lambda = \rho\sqrt{2}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν της κοινής περιοχής.

Λύση: Δύο κύκλοι τέμνονται όταν $|R - \rho| < K\Lambda < R + \rho$ . Εδώ $0 < \rho\sqrt{2} < 2\rho$ ✓. Έστω $A, B$ τα κοινά σημεία. Το $KA\Lambda B$ είναι τετράγωνο πλευράς $\rho$ (αφού $KA = \Lambda A = KB = \Lambda B = \rho$ και $(K\Lambda)^2 = 2\rho^2 = KA^2 + \Lambda A^2$ → $\angle KA\Lambda = 90°$ ).

Το κοινό μέρος αποτελείται από δύο ίσα κυκλικά τμήματα (γωνία $90°$ ). Άρα:

E = 2 \left(\frac{\pi \rho^2 \cdot 90°}{360°} - \frac{\rho^2}{2}\right) = \frac{(\pi - 2)\rho^2}{2}.

💡 Ισοδύναμα σχήματα

Ισοδύναμα σχήματα

Δύο κλειστά επίπεδα σχήματα που έχουν ίσα εμβαδά λέγονται ισοδύναμα. Για παράδειγμα, στο Παράδειγμα 1 (μηνίσκος), θα δούμε ότι ένας κατάλληλος μηνίσκος είναι ισοδύναμος με τετράγωνο — δηλαδή «τετραγωνίζεται». 🎯

🔵 Κυκλικός δακτύλιος

Το χωρίο ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους $(O, R)$ και $(O, \rho)$ με $R > \rho$ λέγεται κυκλικός δακτύλιος. Το εμβαδόν του:

E_{\text{δακτυλίου}} = \pi R^2 - \pi \rho^2 = \pi(R + \rho)(R - \rho).

Ωραίο γεωμετρικό γεγονός

Ο κυκλικός δακτύλιος είναι ισοδύναμος με κυκλικό δίσκο διαμέτρου μιας χορδής του εξωτερικού κύκλου που εφάπτεται του εσωτερικού! Αυτή η χορδή έχει μήκος $2\sqrt{R^2 - \rho^2}$ , άρα το εμβαδόν του ισοδύναμου δίσκου είναι $\pi(R^2 - \rho^2)$ . ✓

🧭 Σύνοψη τύπων

Μέγεθος	Τύπος
Εμβαδόν κυκλικού δίσκου	$E = \pi R^2$
Εμβαδόν τομέα $\mu°$	$E_{\tau o\mu} = \dfrac{\pi R^2 \mu°}{360°}$
Εμβαδόν τομέα (rad)	$E_{\tau o\mu} = \dfrac{1}{2} \alpha R^2$
Εμβαδόν τμήματος	$E_{\kappa.\tau\mu} = E_{\tau o\mu} - E_{\triangle KAB}$
Εμβαδόν δακτυλίου	$\pi(R^2 - \rho^2)$

Πρακτική συμβουλή

Στις περισσότερες ασκήσεις το σχήμα «σκιασμένης περιοχής» προκύπτει από αθροίσματα και διαφορές τομέων, τμημάτων, τριγώνων και δίσκων. Σχεδίασε το σχήμα, εντόπισε τα απλά κομμάτια, και συνδύασέ τα. 🎯

Εμβαδόν κυκλικού δίσκου, κυκλικού τομέα και κυκλικού τμήματος

📖 Ορολογία