Εγγεγραμμένα τετράπλευρα

Όταν και οι τέσσερις κορυφές ενός τετραπλεύρου βρίσκονται πάνω σε έναν κύκλο, το σχήμα αποκτά εντυπωσιακές ιδιότητες, οι οποίες το ξεχωρίζουν από ένα τυχαίο τετράπλευρο. 🔵

Ιστορική νύξη

Οι αρχαίοι γεωμέτρες παρατήρησαν ότι τρία μη συνευθειακά σημεία ορίζουν πάντοτε έναν κύκλο. Όμως τέσσερα σημεία δεν είναι πάντα ομοκυκλικά — και αυτή ακριβώς η ειδική περίπτωση γεννά όλη τη θεωρία των εγγεγραμμένων τετραπλεύρων.

📖 Ορισμοί

Εγγεγραμμένο πολύγωνο σε κύκλο λέγεται κάθε πολύγωνο του οποίου όλες οι κορυφές είναι σημεία του κύκλου. Ο κύκλος τότε ονομάζεται περιγεγραμμένος στο πολύγωνο.

Ομοκυκλικά σημεία: τα σημεία του επιπέδου που βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.

Παρατήρηση

Κάθε τρία μη συνευθειακά σημεία είναι πάντοτε ομοκυκλικά (από τρία σημεία διέρχεται μοναδικός κύκλος).
Τέσσερα μη συνευθειακά σημεία δεν είναι πάντοτε ομοκυκλικά: τα τρία ορίζουν κύκλο, το τέταρτο μπορεί να βρίσκεται εντός, επί ή εκτός του κύκλου αυτού.

Σχήματα: βλ. PDF σελ. 10 (εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο), σελ. 12 (παραδείγματα ομοκυκλικών σημείων).

📐 Ιδιότητες εγγεγραμμένων τετραπλεύρων

Σε κάθε εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ABΓΔ$ ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

(α) Οι μεσοκάθετοι των τεσσάρων πλευρών διέρχονται από το κέντρο του κύκλου.

(β) Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές:

\angle A + \angle Γ = 180°, \qquad \angle B + \angle Δ = 180°.

(γ) Κάθε εξωτερική γωνία του τετραπλεύρου ισούται με την απέναντι εσωτερική γωνία του.

(δ) Κάθε πλευρά του φαίνεται από τις δύο απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

🧪 Αποδείξεις

Απόδειξη της (α) — μεσοκάθετοι

Κάθε πλευρά του τετραπλεύρου είναι χορδή του κύκλου. Η μεσοκάθετος χορδής κύκλου διέρχεται πάντοτε από το κέντρο του κύκλου (θεμελιώδης ιδιότητα). Άρα και οι τέσσερις μεσοκάθετοι συγκλίνουν στο κέντρο $K$ . ✅

Σχήμα: βλ. PDF σελ. 13.

Απόδειξη της (β) — παραπληρωματικές απέναντι γωνίες

Χρησιμοποιούμε το θεώρημα «εγγεγραμμένη = μισή της αντίστοιχης επίκεντρης».

Στον κύκλο με κέντρο $K$ , η γωνία $\angle A$ του τετραπλεύρου είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο $BΓΔ$ (δηλαδή στο τόξο που δεν περιέχει το $A$ ). Έστω $\angle K_2$ η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στο ίδιο τόξο. Τότε:

\angle A = \frac{\angle K_2}{2}.

Ομοίως η $\angle Γ$ βαίνει στο τόξο $ABΔ$ με αντίστοιχη επίκεντρη $\angle K_1$ , άρα:

\angle Γ = \frac{\angle K_1}{2}.

Οι γωνίες $\angle K_1$ και $\angle K_2$ μαζί «περιγράφουν» όλο τον κύκλο, άρα $\angle K_1 + \angle K_2 = 360°$ . Επομένως:

\angle A + \angle Γ = \frac{\angle K_2}{2} + \frac{\angle K_1}{2} = \frac{360°}{2} = 180°.

Ομοίως αποδεικνύεται $\angle B + \angle Δ = 180°$ . ✅

Απόδειξη της (γ)

Έστω $\angle A_{\text{εξ}}$ η εξωτερική γωνία στην κορυφή $A$ . Ισχύει:

\angle A + \angle A_{\text{εξ}} = 180° \quad (\text{παραπληρωματικές}).

Από την (β): $\angle A + \angle Γ = 180°$ . Με αφαίρεση των δύο σχέσεων παίρνουμε:

\angle A_{\text{εξ}} = \angle Γ.

Άρα η εξωτερική ισούται με την απέναντι εσωτερική. ✅

Απόδειξη της (δ)

Αν θεωρήσουμε την πλευρά $ΔΓ$ , αυτή φαίνεται από τα $A$ και $B$ ως εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο $ΔΓ$ (το τόξο που δεν περιέχει τα $A, B$ ). Όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες, άρα:

\angle DAΓ = \angle DBΓ.

Αντίστοιχα για κάθε άλλη πλευρά. ✅

💡 Εφαρμογές

Παράδειγμα — εγγεγραμμένο παραλληλόγραμμο

Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.

Απόδειξη: Στο παραλληλόγραμμο $ABΓΔ$ οι απέναντι γωνίες είναι ίσες: $\angle A = \angle Γ$ . Επειδή είναι εγγεγραμμένο: $\angle A + \angle Γ = 180°$ . Άρα $2\angle A = 180° \Rightarrow \angle A = 90°$ . 🎯

Πρακτική σκέψη

Αν σου δοθεί τετράπλευρο μέσα σε κύκλο, η πρώτη σου κίνηση είναι να γράψεις τις δύο σχέσεις παραπληρωματικών γωνιών $\angle A + \angle Γ = 180°$ και $\angle B + \angle Δ = 180°$ . Είναι σχεδόν πάντα το «κλειδί» της λύσης! 🔑

🎨 Παρατηρήσεις για περιγεγραμμένο κύκλο

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου συμβολίζεται συνήθως με $R$ (ή $\rho$ ).
Το κέντρο $K$ του κύκλου είναι το κοινό σημείο των μεσοκαθέτων όλων των πλευρών.
Αν γνωρίζουμε τρεις από τις τέσσερις κορυφές, ο κύκλος καθορίζεται μοναδικά — η τέταρτη κορυφή θα πρέπει να «πέσει» πάνω σε αυτόν για να είναι ομοκυκλικά και τα τέσσερα σημεία. 🎯