Εκθετική Συνάρτηση — Θεωρία σε βάθος

Σε αυτό το κεφάλαιο ξεκινάμε από τις δυνάμεις που ήδη γνωρίζουμε (με εκθέτη φυσικό, ακέραιο, ρητό) και τις επεκτείνουμε σε οποιονδήποτε πραγματικό εκθέτη. Αυτή η επέκταση μας επιτρέπει να ορίσουμε μια καινούργια και πολύ ισχυρή οικογένεια συναρτήσεων: τις εκθετικές συναρτήσεις $f(x)=a^{x}$ .

Η μεγάλη ιδέα

Στη δύναμη $a^{x}$ ο εκθέτης είναι η μεταβλητή — όχι η βάση. Αυτό αλλάζει ριζικά τη συμπεριφορά σε σχέση με τη συνάρτηση $f(x)=x^{n}$ (πολυωνυμική). Εκεί που το πολυώνυμο μεγαλώνει αργά, η εκθετική απογειώνεται.

Από τις γνωστές δυνάμεις στις νέες

Δυνάμεις με εκθέτη ρητό: μια ανακεφαλαίωση

Αν $a,\beta\in\mathbb{R}$ και $\nu,\mu\in\mathbb{N}$ , ισχύουν τα γνωστά:

a^{\nu}\cdot a^{\mu}=a^{\nu+\mu},\quad \frac{a^{\nu}}{a^{\mu}}=a^{\nu-\mu}\ (a\neq 0),\quad (a^{\nu})^{\mu}=a^{\nu\mu}

(a\beta)^{\nu}=a^{\nu}\beta^{\nu},\quad \left(\frac{a}{\beta}\right)^{\nu}=\frac{a^{\nu}}{\beta^{\nu}}\ (\beta\neq 0)

Για να κρατηθούν αυτές οι ιδιότητες όταν ο εκθέτης δεν είναι πια θετικός ακέραιος, αναγκαζόμαστε να ορίσουμε:

$a^{0}=1$ για κάθε $a\neq 0$ (γιατί $a^{\nu}\cdot a^{0}=a^{\nu+0}=a^{\nu}$ )
$a^{-\nu}=\dfrac{1}{a^{\nu}}$ για $a\neq 0$ (γιατί $a^{\nu}\cdot a^{-\nu}=a^{0}=1$ )
$a^{\frac{\mu}{\nu}}=\sqrt[\nu]{a^{\mu}}$ για $a\geq 0$ , $\mu\in\mathbb{Z}$ , $\nu\in\mathbb{N}^{*}$

Γιατί απαιτείται $ a\\geq 0 $ στον ρητό εκθέτη;

Γράψε $(-1)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-1}$ : δεν ορίζεται στο $\mathbb{R}$ . Ακόμη χειρότερα, $(-1)^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{(-1)^{2}}=\sqrt[4]{1}=1$ , ενώ $(-1)^{\frac{1}{2}}$ δεν ορίζεται. Για να μην υπάρχουν αντιφάσεις, περιορίζουμε τη βάση σε θετικές τιμές όταν ο εκθέτης γίνει πραγματικός.

Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη — η «γέφυρα»

Τι σημαίνει $10^{\sqrt{2}}$ ; Ο $\sqrt{2}=1{,}41421356\ldots$ έχει άπειρα μη-περιοδικά δεκαδικά ψηφία. Παίρνουμε τις δεκαδικές προσεγγίσεις και υπολογίζουμε:

$\nu$	$x_{\nu}$	$10^{x_{\nu}}$
1	1{,}4	$\simeq 25{,}1189$
2	1{,}41	$\simeq 25{,}7040$
3	1{,}414	$\simeq 25{,}9418$
6	1{,}414214	$\simeq 25{,}9545$

Οι τιμές αυτές συγκλίνουν σε έναν πραγματικό αριθμό. Ορίζουμε λοιπόν:

a^{x}=\lim_{\nu\to+\infty}a^{x_{\nu}},\quad a>0,\ x\ \text{άρρητος}

Για $x>0$ ορίζουμε επίσης $0^{x}=0$ . Έτσι η δύναμη $a^{x}$ έχει νόημα για κάθε $x\in\mathbb{R}$ , όταν $a>0$ .

Ιδιότητες δυνάμεων με πραγματικό εκθέτη

Αν $\alpha,\beta>0$ και $\kappa,\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ , τότε:

a^{\kappa}a^{\lambda}=a^{\kappa+\lambda},\quad (a^{\kappa})^{\lambda}=a^{\kappa\lambda},\quad \frac{a^{\kappa}}{a^{\lambda}}=a^{\kappa-\lambda},\quad (a\beta)^{\mu}=a^{\mu}\beta^{\mu}

Ορισμός της εκθετικής συνάρτησης

Ορισμός

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο

f(x)=a^{x},\quad a>0,\ a\neq 1

ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση $a$ .

Γιατί τα $a>0$ και $a\neq 1$ ;

Αν $a=0$ , δεν ορίζεται $0^{x}$ για $x\leq 0$ .
Αν $a<0$ , τότε π.χ. $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}\notin\mathbb{R}$ : η συνάρτηση δεν ορίζεται στο $\mathbb{R}$ .
Αν $a=1$ , τότε $1^{x}=1$ για κάθε $x$ : σταθερή συνάρτηση, όχι εκθετική.

Γραφική παράσταση

Σχήματα: βλ. σχολικό βιβλίο, σελ. 154–156 (PDF).

Περίπτωση $a>1$ : π.χ. $f(x)=2^{x}$

Πίνακας τιμών:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$2^{x}$	$\tfrac{1}{8}$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	1	2	4	8

Η καμπύλη έρχεται από το 0 και «εκτοξεύεται» στο $+\infty$ :

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$ , σύνολο τιμών: $(0,+\infty)$ — δεν παίρνει ποτέ αρνητικές τιμές ή το 0 📈
Γνησίως αύξουσα: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow a^{x_{1}}<a^{x_{2}}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}a^{x}=+\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^{x}=0$
Τέμνει τον $y'y$ στο $(0,1)$ (αφού $a^{0}=1$ )
Ο $x'x$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο $-\infty$

Περίπτωση $0<a<1$ : π.χ. $g(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}$

Πεδίο ορισμού: $\mathbb{R}$ , σύνολο τιμών: $(0,+\infty)$ 📉
Γνησίως φθίνουσα: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow a^{x_{1}}>a^{x_{2}}$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}a^{x}=0$ , $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^{x}=+\infty$
Τέμνει τον $y'y$ στο $(0,1)$
Ο $x'x$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\infty$

Συμμετρία των δύο περιπτώσεων

Για κάθε $a>0$ ισχύει:

\left(\frac{1}{a}\right)^{x}=a^{-x}=f(-x)

άρα οι γραφικές παραστάσεις των $y=a^{x}$ και $y=\left(\tfrac{1}{a}\right)^{x}$ είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα $y'y$ . Αυτός είναι ο λόγος που έχουμε δύο μορφές γραφικής παράστασης: η μία είναι «καθρέφτης» της άλλης.

Μετατοπίσεις — πώς «σχεδιάζουμε γρήγορα» μια εκθετική

Έχοντας τη $y=a^{x}$ , μπορούμε να φτιάξουμε γρήγορα:

$y=a^{x}+c$ : κατακόρυφη μετατόπιση κατά $c$ (πάνω αν $c>0$ , κάτω αν $c<0$ ). Η ασύμπτωτη γίνεται $y=c$ .
$y=a^{x-h}$ : οριζόντια μετατόπιση κατά $h$ (δεξιά αν $h>0$ , αριστερά αν $h<0$ ).
$y=-a^{x}$ : συμμετρική ως προς $x'x$ .
$y=a^{-x}$ : συμμετρική ως προς $y'y$ (ισοδύναμα, βάση $1/a$ ).

Η εκθετική συνάρτηση είναι 1-1

Πρόταση. Για $a>0,\ a\neq 1$ :

\forall x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}:\quad a^{x_{1}}=a^{x_{2}}\iff x_{1}=x_{2}

Απόδειξη (σε επίπεδο Β' Λυκείου). Η εκθετική είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα αν $a>1$ , φθίνουσα αν $0<a<1$ ). Άρα αν $x_{1}\neq x_{2}$ , ας πούμε $x_{1}<x_{2}$ , τότε $a^{x_{1}}\neq a^{x_{2}}$ . Επομένως $a^{x_{1}}=a^{x_{2}}\Rightarrow x_{1}=x_{2}$ . Η αντίστροφη κατεύθυνση είναι προφανής. ✅

Πρακτική σημασία

Η ιδιότητα «1-1» είναι το εργαλείο για να λύνουμε εκθετικές εξισώσεις: όταν φέρουμε και τα δύο μέλη σε δύναμη της ίδιας βάσης, «σβήνουμε» τη βάση και μένουμε με τους εκθέτες.

Ο αριθμός $e$ και η συνάρτηση $f(x)=e^{x}$

Από πού προκύπτει ο $e$ ; Φανταστείτε μια τράπεζα με επιτόκιο $100\%$ που ανατοκίζει $\nu$ φορές τον χρόνο. Ένα ευρώ γίνεται μετά από ένα χρόνο:

a_{\nu}=\left(1+\frac{1}{\nu}\right)^{\nu}

$\nu$	1	2	4	12	52	10,000	100,000
$a_{\nu}$	2	2{,}25	2{,}4414	2{,}6130	2{,}7048	2{,}71815	2{,}71827

Καθώς το $\nu$ μεγαλώνει, η ακολουθία συγκλίνει σε έναν άρρητο αριθμό τον οποίο ο Euler ονόμασε $e$ :

e=\lim_{\nu\to+\infty}\left(1+\frac{1}{\nu}\right)^{\nu}\simeq 2{,}718281828\ldots

Ορισμός

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to(0,+\infty)$ με τύπο $f(x)=e^{x}$ ονομάζεται εκθετική συνάρτηση (ή απλά «η εκθετική»). Επειδή $e>1$ , είναι γνησίως αύξουσα.

Γιατί τόσο σημαντικός ο $e$ ; Είναι η μοναδική βάση για την οποία η κλίση της καμπύλης $y=e^{x}$ σε κάθε σημείο ισούται με την τιμή της ίδιας της συνάρτησης (αυτό είναι βασικό στο Λύκειο-Πανεπιστήμιο). Γι' αυτό ο $e$ εμφανίζεται σχεδόν παντού στη φύση (ραδιενέργεια, πληθυσμοί, ανατοκισμός, ψύξη).

Σύγκριση βάσεων

Σχήμα: βλ. σχολικό βιβλίο, σελ. 161 (PDF) — οι καμπύλες $2^{x},\ e^{x},\ 5^{x}$ .

Για $x>0$ : $2<e<5\Rightarrow 2^{x}<e^{x}<5^{x}$
Για $x<0$ : αντιστρέφεται η ανισότητα: $2^{x}>e^{x}>5^{x}$
Όλες περνούν από το $(0,1)$ 🎯

Εκθετικές εξισώσεις

Εκθετική λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει όρο της μορφής $a^{f(x)}$ με $a>0,\ a\neq 1$ . Παραδείγματα:

3^{x+1}=3^{2x},\qquad 2^{x}+16\cdot 2^{-x}-10=0,\qquad e^{x}=2

Βασικές ισοδυναμίες

Αφού η εκθετική είναι 1-1:

a^{f(x)}=a^{g(x)}\iff f(x)=g(x),\quad \forall x\in D_{f}\cap D_{g}

Βασικές στρατηγικές (Β' Λυκείου)

Ίδια βάση: φέρνουμε και τα δύο μέλη σε δύναμη της ίδιας βάσης και εξισώνουμε εκθέτες.
Παράδειγμα: $5^{3x+7}=125=5^{3}\Rightarrow 3x+7=3\Rightarrow x=-\tfrac{4}{3}$ .
Αντικατάσταση: θέτουμε $y=a^{x}\ (y>0)$ όταν εμφανίζονται πολλαπλασιασμοί/αθροίσματα της ίδιας δύναμης.
Παράδειγμα: $2^{2x}-10\cdot 2^{x}+16=0$ . Θέτουμε $y=2^{x}$ : $y^{2}-10y+16=0$ .
Διαίρεση: όταν υπάρχουν δύο διαφορετικές βάσεις, διαιρούμε κατάλληλα ώστε να εμφανιστεί μια «συνδυαστική» βάση.
Παράδειγμα: $9\cdot 3^{x}=4\cdot 2^{x}\Rightarrow \left(\tfrac{3}{2}\right)^{x}=\tfrac{4}{9}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{-2}\Rightarrow x=-2$ .
Διάκριση περιπτώσεων όταν ο $x$ είναι και στη βάση: π.χ. $(x-1)^{x^{2}-7x+6}=1$ . Τρεις περιπτώσεις:
- Εκθέτης 0 με βάση $\neq 0$ : $x^{2}-7x+6=0$ και $x-1\neq 0$ .
- Βάση 1: $x-1=1$ .
- Βάση $-1$ και εκθέτης άρτιος: $x-1=-1$ με $x^{2}-7x+6$ άρτιος.

Κρίσιμος έλεγχος

Μετά τη λύση, πάντοτε επιβεβαιώνουμε ότι η τιμή του $x$ δεν αλλοιώνει κάποια αρχική υπόθεση (π.χ. θέσαμε $y>0$ και βρήκαμε $y=-1$ : απορρίπτουμε).

Εκθετικές ανισώσεις

Οι δύο ισοδυναμίες-κλειδιά

a^{f(x)}<a^{g(x)}\iff f(x)<g(x),\quad \text{όταν}\ a>1\ \text{(διατηρεί φορά)}

a^{f(x)}<a^{g(x)}\iff f(x)>g(x),\quad \text{όταν}\ 0<a<1\ \text{(αντιστρέφει φορά)}

Γιατί αλλάζει η φορά; Επειδή για $0<a<1$ η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα: όσο μεγαλώνει ο εκθέτης, τόσο μικραίνει η δύναμη.

Παράδειγμα. $3^{x^{2}-5x+9}\leq 27 \Leftrightarrow 3^{x^{2}-5x+9}\leq 3^{3} \Leftrightarrow x^{2}-5x+9\leq 3 \Leftrightarrow x^{2}-5x+6\leq 0 \Leftrightarrow x\in[2,3]$ .

Εφαρμογές — ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

Νόμος εκθετικής μεταβολής

Q(t)=Q_{0}\cdot e^{ct}

όπου $Q_{0}>0$ η αρχική ποσότητα τη στιγμή $t=0$ και $c$ σταθερά.

$c>0$ : εκθετική αύξηση (π.χ. πληθυσμός βακτηρίων) 🌱
$c<0$ : εκθετική μείωση (π.χ. ραδιενεργός αποσύνθεση, απομείωση αξίας) ☢️

Χρόνος υποδιπλασιασμού

Για ραδιενεργό στοιχείο με αρχική ποσότητα $Q_{0}$ και χρόνο υποδιπλασιασμού $T$ , γράφουμε ισοδύναμα:

Q(t)=Q_{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}

(σε χρόνο $T$ μένει η μισή ποσότητα, σε χρόνο $2T$ το ένα τέταρτο, κ.ο.κ.).

Παράδειγμα — Ράδιο. $Q_{0}=5$ γρ., $T=1600$ έτη. Μετά από $20\,000$ χρόνια:

Q(20000)=5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{20000}{1600}}=5\left(\tfrac{1}{2}\right)^{12{,}5}\simeq 0{,}001\ \text{γρ.}

Σχεδόν ασήμαντη ποσότητα — ακριβώς γιατί η εκθετική μείωση είναι ραγδαία στην αρχή αλλά δεν φτάνει ποτέ στο μηδέν.

Άλλες εφαρμογές

Ανατοκισμός: $K(t)=K_{0}(1+r)^{t}$ ή συνεχής $K(t)=K_{0}e^{rt}$ . 💶
Ψύξη Newton: $T(t)=T_{\text{περιβ.}}+(T_{0}-T_{\text{περιβ.}})e^{-kt}$ . 🌡️
Πληθυσμιακά μοντέλα: $N(t)=N_{0}e^{rt}$ . 🦠

Σύνοψη

Οι δυνάμεις επεκτείνονται σε πραγματικό εκθέτη μέσω ορίου δεκαδικών προσεγγίσεων.
Η εκθετική συνάρτηση $f(x)=a^{x}$ με $a>0,\ a\neq 1$ έχει πεδίο ορισμού $\mathbb{R}$ , σύνολο τιμών $(0,+\infty)$ , είναι 1-1 και γνησίως μονότονη.
Ο αριθμός $e\simeq 2{,}71828$ είναι η «φυσική» βάση και ορίζεται ως όριο της $(1+\tfrac{1}{\nu})^{\nu}$ .
Εκθετικές εξισώσεις/ανισώσεις λύνονται με ίδια βάση ή αντικατάσταση, προσέχοντας τη φορά της ανίσωσης όταν $0<a<1$ .
Ο νόμος $Q(t)=Q_{0}e^{ct}$ μοντελοποιεί αύξηση/μείωση σε πλήθος φυσικών φαινομένων. 🌍