Η αναρρίχηση ξεκινά! Πιάσου γερά και κάνε τα πρώτα σου βήματα στις αποδείξεις. Σκαρφάλωσε ψηλότερα με την τριγωνομετρία, βρες σταθερά πατήματα στις συναρτήσεις, ξεπέρασε τα όρια και ακολούθησε το μονοπάτι των ακολουθιών. Σε κάθε νέο ύψος θα ανακαλύπτεις γεωμετρικούς τόπους, πολυώνυμα, παραγώγους και στερεά, ώσπου να φτάσεις στην κορυφή της γνώσης. Έλα στο μάθημά μας και ζήσε τη μαθηματική αναρρίχηση μέχρι την κορυφή! 🧗‍♂️⛰️


Μαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης)

# Δυνάμεις με Πραγματικό Εκθέτη ⚙️

**Ιδιότητες** (για \(\alpha, \beta > 0\) και \(\kappa, \lambda, \mu \in \mathbb{R}\)):

\[
a^\kappa a^\lambda = a^{\kappa+\lambda}, \quad (a^\kappa)^\lambda = a^{\kappa\lambda}, \quad \frac{a^\kappa}{a^\lambda} = a^{\kappa-\lambda}, \quad (a\beta)^\mu = a^\mu \beta^\mu
\]

💡 Για άρρητο εκθέτη \(x\): \(a^x = \lim_{\nu \to +\infty} a^{x_\nu}\), όπου \(x_\nu\) η δεκαδική προσέγγιση.

# Ορισμός Εκθετικής Συνάρτησης 🎯

:::alert{title="Ορισμός"}

\[
f(x) = a^x, \quad a > 0, \; a \neq 1
\]

ονομάζεται :tooltip[**εκθετική συνάρτηση**]{content="Συνάρτηση στην οποία η μεταβλητή βρίσκεται στον εκθέτη"} με βάση \(a\).
:::

⚠️ Αν \(a = 1\) → σταθερή \(f(x) = 1\), **δεν** είναι εκθετική.

✅ Η εκθετική είναι **1-1**: \(a^{x_1} = a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 = x_2\)

# Γραφική Παράσταση 📊

| | \(a > 1\) (π.χ. \(2^x\)) 📈 | \(0 < a < 1\) (π.χ. \((\frac{1}{2})^x\)) 📉 |
|---|---|---|
| Πεδίο ορισμού | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Σύνολο τιμών | \((0, +\infty)\) | \((0, +\infty)\) |
| Μονοτονία | Γνησίως **αύξουσα** | Γνησίως **φθίνουσα** |
| \(\lim_{x \to +\infty}\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\lim_{x \to -\infty}\) | \(0\) | \(+\infty\) |
| Τομή με \(y'y\) | \((0, 1)\) | \((0, 1)\) |

:::fact{title="Συμμετρία"}
Οι \(f(x) = a^x\) και \(g(x) = a^{-x}\) είναι συμμετρικές ως προς τον \(y'y\).
:::

# Ο Αριθμός \(e\) 🔢

Ο αριθμός \(e\) είναι :tooltip[άρρητος]{content="Δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων"} και ορίζεται ως:

\[
e = \lim \left(1 + \frac{1}{\nu}\right)^\nu \simeq 2{,}71828
\]

Η συνάρτηση \(f(x) = e^x\) είναι η βασική εκθετική συνάρτηση.

# Εκθετικές Εξισώσεις & Ανισώσεις 📐

:::alert{title="Εξισώσεις"}

\[
a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)
\]

:::

:::alert{title="Ανισώσεις"}
- \(a > 1\): \(a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)\) (ίδια φορά)
- \(0 < a < 1\): \(a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)\) (αντίθετη φορά) ⚠️
:::

# Νόμος Εκθετικής Μεταβολής 🔬

:::fact{title="Εφαρμογή"}

\[
Q(t) = Q_0 \cdot e^{ct}
\]

- \(c > 0\) → **εκθετική αύξηση** (π.χ. πληθυσμός βακτηρίων)
- \(c < 0\) → **εκθετική μείωση** (π.χ. ραδιενεργός αποσύνθεση, απομείωση αξίας αυτοκινήτου)
:::

💡 Ο νόμος αυτός περιγράφει πολλά φυσικά φαινόμενα!

01. Βασική Θεωρία

Πώς οι γνωστοί κανόνες δυνάμεων επεκτείνονται από ρητούς σε άρρητους εκθέτες με διαδοχικές προσεγγίσεις.

Δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη

Ποιοι περιορισμοί τίθενται στη βάση και πώς πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών και κοινό σημείο καθορίζουν τη γραφική παράσταση.

Ορισμός και γράφημα της εκθετικής

Πώς η τιμή της βάσης καθορίζει τη μονοτονία και πώς αλλαγές στον τύπο μετακινούν το γράφημα.

Αύξηση, μείωση και μετατοπίσεις

Γιατί κάθε εκθετική έχει αντίστροφη και ποιος είναι ο ιδιαίτερος ρόλος της φυσικής βάσης e.

Ένα προς ένα και η βάση e

Πώς κοινή βάση, αντικατάσταση και μονοτονία οδηγούν σε λύσεις, με αντιστροφή φοράς όταν η βάση είναι μεταξύ μηδέν και ένα.

Εκθετικές εξισώσεις και ανισώσεις

Πώς μοντέλα αύξησης, απόσβεσης και υποδιπλασιασμού περιγράφουν ποσότητες που μεταβάλλονται με σταθερό πολλαπλασιαστικό ρυθμό.

Εκθετική μεταβολή

# Εκθετική Συνάρτηση

## 📌 Δυνάμεις με Εκθέτη Πραγματικό Αριθμό

### Ιδιότητες δυνάμεων με εκθέτη ρητό αριθμό

Αν \(a, \beta \in \mathbb{R}\) και \(\nu, \mu \in \mathbb{N}\): ⚙️
- \(a^\nu \cdot a^\mu = a^{\nu+\mu}\)
- \(a^\nu : a^\mu = \frac{a^\nu}{a^\mu} = a^{\nu-\mu}, \; a \neq 0\)
- \((a^\nu)^\mu = a^{\nu\mu}\)
- \((a\beta)^\nu = a^\nu \cdot \beta^\nu\)
- \(\left(\frac{a}{\beta}\right)^\nu = \frac{a^\nu}{\beta^\nu}, \; \beta \neq 0\)

Ορίσαμε \(a^{-\nu} = \frac{1}{a^\nu}\), \(a^0 = 1\) (\(a \neq 0\)), και \(a^{\frac{\mu}{\nu}} = \sqrt[\nu]{a^\mu}\) (για \(a \geq 0\)).

### Δυνάμεις με εκθέτη άρρητο αριθμό

Αν \(a \in \mathbb{R}\), \(a > 0\), \(x\) άρρητος και \(x_\nu\) η δεκαδική προσέγγιση του \(x\) με \(\nu\) δεκαδικά ψηφία, τότε ορίζουμε: \(a^x = \lim_{\nu \to +\infty} a^{x_\nu}\). Για κάθε \(x > 0\), ορίζουμε \(0^x = 0\).

:::alert{title="Ιδιότητες δυνάμεων με εκθέτη πραγματικό αριθμό"}
Αν \(\alpha, \beta\) είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και \(\kappa, \lambda, \mu \in \mathbb{R}\), τότε:

\[
a^\kappa a^\lambda = a^{\kappa+\lambda}, \quad (a^\kappa)^\lambda = a^{\kappa\lambda}, \quad \frac{a^\kappa}{a^\lambda} = a^{\kappa-\lambda}, \quad (a\beta)^\mu = a^\mu \beta^\mu
\]

:::

## 📌 Ορισμός Εκθετικής Συνάρτησης

:::alert{title="Ορισμός"}
Η συνάρτηση \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) με τύπο

\[
f(x) = a^x, \quad a > 0, \; a \neq 1
\]

ονομάζεται :tooltip[**εκθετική συνάρτηση**]{content="Συνάρτηση στην οποία η μεταβλητή βρίσκεται στον εκθέτη"} **με βάση \(a\)**.
:::

**Παρατήρηση:** Αν \(a = 1\), τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση \(f(x) = 1\), που δεν είναι εκθετική.

## 📊 Γραφική Παράσταση

### Για \(a > 1\) (π.χ. \(f(x) = 2^x\)):
- Πεδίο ορισμού: \(\mathbb{R}\), σύνολο τιμών: \((0, +\infty)\) 📈
- Η συνάρτηση είναι **γνησίως αύξουσα**: \(x_1 < x_2 \Rightarrow a^{x_1} < a^{x_2}\)
- \(\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty\), \(\lim_{x \to -\infty} a^x = 0\)
- Σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\): \((0, 1)\)

### Για \(0 < a < 1\) (π.χ. \(g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x\)):
- Πεδίο ορισμού: \(\mathbb{R}\), σύνολο τιμών: \((0, +\infty)\) 📉
- Η συνάρτηση είναι **γνησίως φθίνουσα**: \(x_1 < x_2 \Rightarrow a^{x_1} > a^{x_2}\)
- \(\lim_{x \to +\infty} a^x = 0\), \(\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty\)
- Σημείο τομής με τον άξονα \(y'y\): \((0, 1)\)

:::fact{title="Συμμετρία"}
Για \(a > 1\), οι γραφικές παραστάσεις των \(f(x) = a^x\) και \(g(x) = \left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}\) είναι **συμμετρικές ως προς τον άξονα \(y'y\)**.
:::

## ✅ Η Εκθετική είναι 1-1

\[
\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \; a > 0, \; a \neq 1: \quad a^{x_1} = a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 = x_2
\]

## 📌 Ο Αριθμός \(e\) και η Εκθετική Συνάρτηση \(f(x) = e^x\)

Ο αριθμός \(e\) είναι :tooltip[**άρρητος αριθμός**]{content="Αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα ακεραίων"} και ορίζεται ως το όριο της ακολουθίας \(\left(1 + \frac{1}{\nu}\right)^\nu\):

\[
e = \lim \left(1 + \frac{1}{\nu}\right)^\nu \simeq 2{,}71828
\]

Η συνάρτηση \(f: \mathbb{R} \to (0, +\infty)\) με τύπο \(f(x) = e^x\) ονομάζεται **εκθετική**. 🔢

## 📌 Εκθετικές Εξισώσεις και Ανισώσεις

:::alert{title="Βασικές Ισοδυναμίες"}
**Εξισώσεις:** \(\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \; a > 0, \; a \neq 1:\)

\[
a^{x_1} = a^{x_2} \Leftrightarrow x_1 = x_2
\]

\[
a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x), \; \forall x \in D_f \cap D_g
\]

**Ανισώσεις:**

\[
a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x), \quad \text{όταν } a > 1
\]

\[
a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x), \quad \text{όταν } 0 < a < 1
\]

:::

## 📌 Εφαρμογές — Ο Νόμος της Εκθετικής Μεταβολής

:::fact{title="Νόμος Εκθετικής Μεταβολής"}
Μια ακόμη εκθετική συνάρτηση με βάση το \(e\) είναι: \(Q(t) = Q_0 \cdot e^{ct}\), γνωστή ως **νόμος της εκθετικής μεταβολής**. Αν \(c > 0\): εκθετική αύξηση, αν \(c < 0\): εκθετική μείωση. Εφαρμογές: ραδιενεργός αποσύνθεση, απομείωση αξίας αυτοκινήτου κ.ά. 🧪
:::
