Ιδιότητες απόλυτων τιμών

Όπως κάθε σημαντική μαθηματική έννοια, έτσι και η απόλυτη τιμή διαθέτει ένα πλούσιο «οπλοστάσιο» ιδιοτήτων, οι οποίες μας διευκολύνουν στη λύση εξισώσεων, ανισώσεων και στην απόδειξη ταυτοτήτων. 🛠️

Οι 10 βασικές ιδιότητες

Απόδειξη της (1): $|x| \geq 0$

Διάκριση περιπτώσεων:

• Αν $x \geq 0$, τότε $|x| = x \geq 0$ ✅
• Αν $x < 0$, τότε $-x > 0$, οπότε $|x| = -x > 0$ ✅

Σε κάθε περίπτωση ισχύει $|x| \geq 0$. ∎

Απόδειξη της (2): $|x| = |-x|$

Για κάθε $x \in \mathbb{R}$, οι αριθμοί $x$ και $-x$ απεικονίζονται σε συμμετρικά σημεία ως προς το $0$. Άρα έχουν την ίδια απόσταση από το $0$. Αλγεβρικά:

∎

Απόδειξη της (3): $|x| = \max\{-x, x\}$

Το σύνολο $\{-x, x\}$ αποτελείται από δύο αντίθετους αριθμούς. Ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι πάντοτε ο μη αρνητικός, δηλαδή αυτός που έχει το θετικό πρόσημο μετά την προσθήκη του ενδεχόμενου «$-$». Αυτός ακριβώς είναι εξ ορισμού ο $|x|$. ∎

Απόδειξη της (6): $|x|^2 = x^2$

Άρα $|x|^2 = x^2$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$. ∎

Απόδειξη της (7): $|x| = |a| \Leftrightarrow x = \pm a$

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (6):

∎

Απόδειξη της (8): $\sqrt{x^2} = |x|$

Η τετραγωνική ρίζα δίνει πάντα μη αρνητικό αποτέλεσμα. Όμως $\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x^2} = x^2$, άρα η $\sqrt{x^2}$ είναι ο μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο ισούται με $x^2$. Αυτός είναι ο $|x|$. ∎

Απόδειξη της (9): $|x| \leq \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon \leq x \leq \varepsilon$

Υψώνοντας στο τετράγωνο (τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά):

Από τον πίνακα προσήμων του τριωνύμου:

∎

Γεωμετρική ερμηνεία: Η ανίσωση $|x| \leq \varepsilon$ σημαίνει «ο $x$ απέχει το πολύ $\varepsilon$ μονάδες από το $0$», δηλαδή βρίσκεται στο διάστημα $[-\varepsilon, \varepsilon]$. 🎯

Απόδειξη της (10): $|x| \geq \varepsilon \Leftrightarrow x \geq \varepsilon$ ή $x \leq -\varepsilon$

Ομοίως:

∎

Γεωμετρική ερμηνεία: Ο $x$ απέχει τουλάχιστον $\varepsilon$ μονάδες από το $0$.

Ιδιότητες αθροίσματος και γινομένου

Πέρα από τις ατομικές ιδιότητες, υπάρχουν τρεις θεμελιώδεις ιδιότητες που αφορούν πράξεις μεταξύ απολύτων τιμών:

Απόδειξη: $|a\beta| = |a||\beta|$

Και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικά, οπότε μπορούμε να τα υψώσουμε στο τετράγωνο:

Η τελευταία σχέση είναι αληθής (ιδιότητα δυνάμεων). Επειδή οι συνεπαγωγές είναι αντιστρεπτές, ισχύει και η αρχική. ∎

Απόδειξη τριγωνικής ανισότητας

Υψώνοντας στο τετράγωνο (μη αρνητικοί όροι):

η τελευταία σχέση είναι αληθής (ιδιότητα 4 εφαρμοσμένη στο $a\beta$). ∎

Πότε έχουμε ισότητα;

Η ισότητα $|a + \beta| = |a| + |\beta|$ ισχύει αν και μόνο αν $a\beta \geq 0$. Δηλαδή:

• είτε οι $a, \beta$ είναι ομόσημοι (και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί)
• είτε ένας τουλάχιστον είναι μηδέν

Γενικευμένη τριγωνική ανισότητα

αποδεικνύεται με τέλεια επαγωγή.

Παράγωγες ανισότητες

Από την τριγωνική ανισότητα προκύπτουν δύο πολύ χρήσιμες παραλλαγές:

Απόδειξη της $|a - \beta| \leq |a| + |\beta|$:

Γράφουμε $a - \beta = a + (-\beta)$ και εφαρμόζουμε την τριγωνική ανισότητα:

∎

Παραδείγματα εφαρμογών

Παράδειγμα 1: Αν $|x - y| < \varepsilon$ και $|y - z| < \varepsilon$, να δείξεις ότι $|x - z| < 2\varepsilon$.

Λύση: Χρησιμοποιώντας το «τέχνασμα του μηδενός»:

✅

Παράδειγμα 2: Αν $|a - \beta| = |a| + |\beta|$ και $|a\beta| \neq 0$, απόδειξε ότι οι $a, \beta$ είναι ετερόσημοι.

Λύση: Υψώνοντας στο τετράγωνο:

Επειδή $|a\beta| \geq 0$, έπεται $a\beta \leq 0$. Αφού $a\beta \neq 0$, τελικά $a\beta < 0$, δηλαδή ετερόσημοι. ✅

Τα σχετικά σχήματα και πίνακες προσήμων βρίσκονται στις σελίδες 80–85 και 87–89 του PDF. 📖