Η αναρρίχηση ξεκινά! Πιάσου γερά και κάνε τα πρώτα σου βήματα στις αποδείξεις. Σκαρφάλωσε ψηλότερα με την τριγωνομετρία, βρες σταθερά πατήματα στις συναρτήσεις, ξεπέρασε τα όρια και ακολούθησε το μονοπάτι των ακολουθιών. Σε κάθε νέο ύψος θα ανακαλύπτεις γεωμετρικούς τόπους, πολυώνυμα, παραγώγους και στερεά, ώσπου να φτάσεις στην κορυφή της γνώσης. Έλα στο μάθημά μας και ζήσε τη μαθηματική αναρρίχηση μέχρι την κορυφή! 🧗‍♂️⛰️


Μαθηματικά Β' Λυκείου (Κατεύθυνσης)

# Βασικές ιδιότητες απόλυτης τιμής (1-5) 📋

Οι πρώτες 5 ιδιότητες της :tooltip[απόλυτης τιμής]{content="Η απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν στον αριθμητικό άξονα."}:

1. \(|x| \geq 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)
2. \(|x| = |-x|\) και \(|x - y| = |y - x|\)
3. \(|x| = \max\{-x, x\}\)
4. \(|x| \geq x\) και \(|x| \geq -x\)
5. \(|x| = \varepsilon \Leftrightarrow x = \varepsilon\) ή \(x = -\varepsilon\), με \(\varepsilon > 0\)

# Βασικές ιδιότητες απόλυτης τιμής (6-10) 📋

6. \(|x|^2 = x^2\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)
7. \(|x| = |a| \Leftrightarrow x = a\) ή \(x = -a\)
8. \(\sqrt{x^2} = |x|\), \(\forall x \in \mathbb{R}\)

:::alert{title="Ανισώσεις με απόλυτη τιμή"}
9. \(|x| \leq \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon \leq x \leq \varepsilon\), με \(\varepsilon > 0\)
10. \(|x| \geq \varepsilon \Leftrightarrow x \geq \varepsilon\) ή \(x \leq -\varepsilon\), με \(\varepsilon > 0\)
:::

# Γινόμενο, πηλίκο και τριγωνική ανισότητα 🔺

Για \(a, \beta \in \mathbb{R}\):

- \(|a\beta| = |a||\beta|\)
- \(\left|\dfrac{a}{\beta}\right| = \dfrac{|a|}{|\beta|}\), με \(\beta \neq 0\)

:::alert{title="Τριγωνική ανισότητα"}
\(|a + \beta| \leq |a| + |\beta|\)

Η ισότητα ισχύει μόνο όταν \(a\beta \geq 0\) (ομόσημοι ή ένας μηδέν).
:::

# Αποδείξεις ιδιοτήτων 📝

**Απόδειξη \(|a\beta| = |a||\beta|\):**

\(|a\beta| = |a||\beta| \Leftrightarrow (a\beta)^2 = a^2\beta^2\), που είναι αληθής.

**Απόδειξη :tooltip[τριγωνικής ανισότητας]{content="Η απόλυτη τιμή αθροίσματος δεν υπερβαίνει το άθροισμα των απόλυτων τιμών."}:**

\(|a + \beta|^2 \leq (|a| + |\beta|)^2 \Leftrightarrow a\beta \leq |a\beta|\)

η τελευταία ισχύει από ιδιότητα 4.

:::fact{title="Γενίκευση"}
\(|a_1 + a_2 + \cdots + a_\nu| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_\nu|\)
:::

01. Βασική Θεωρία

Ποιες σχέσεις ισχύουν για μη αρνητικότητα, συμμετρία, γινόμενο, πηλίκο και δυνάμεις απόλυτων τιμών.

Βασικές ιδιότητες

Γιατί το τετράγωνο εξαλείφει το πρόσημο και γιατί η τετραγωνική ρίζα τετραγώνου δίνει απόλυτη τιμή.

Τετράγωνα και ρίζες

Πώς συγκρίνεται η απόλυτη τιμή αθροίσματος με το άθροισμα των απόλυτων τιμών και ποια γεωμετρική ιδέα εκφράζει.

Τριγωνική ανισότητα

Πώς η διαφορά δύο αποστάσεων φράσσεται από την απόσταση των αντίστοιχων αριθμών.

Αντίστροφη τριγωνική ανισότητα

Πώς επιλέγονται οι κατάλληλες ιδιότητες για απλοποίηση παραστάσεων και επίλυση εξισώσεων ή ανισώσεων.

Εφαρμογές ιδιοτήτων

# Ιδιότητες απόλυτων τιμών

## 📋 Βασικές ιδιότητες

:::alert{title="10 ιδιότητες της απόλυτης τιμής"}
1. \(|x| \geq 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
2. \(|x| = |-x|\) και \(|x - y| = |y - x|, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}\)
3. \(|x| = \max\{-x, x\}, \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
4. \(|x| \geq x\) και \(|x| \geq -x, \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
5. \(|x| = \varepsilon \Leftrightarrow x = \varepsilon\) ή \(x = -\varepsilon\), όπου \(\varepsilon > 0\)
6. \(|x|^2 = x^2, \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
7. \(|x| = |a| \Leftrightarrow x = a\) ή \(x = -a\)
8. \(\sqrt{x^2} = |x|, \quad \forall x \in \mathbb{R}\)
9. \(|x| \leq \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon \leq x \leq \varepsilon\), όπου \(\varepsilon > 0\)
10. \(|x| \geq \varepsilon \Leftrightarrow x \geq \varepsilon\) ή \(x \leq -\varepsilon\), όπου \(\varepsilon > 0\)
:::

## 📐 Ιδιότητες αθροίσματος και γινομένου

Για \(a, \beta \in \mathbb{R}\):

- \(|a\beta| = |a||\beta|\)
- \(\left|\dfrac{a}{\beta}\right| = \dfrac{|a|}{|\beta|}\), με \(\beta \neq 0\)
- \(|a + \beta| \leq |a| + |\beta|\) (:tooltip[Τριγωνική ανισότητα]{content="Η απόλυτη τιμή αθροίσματος δεν υπερβαίνει το άθροισμα των απόλυτων τιμών."})

### 📝 Απόδειξη \(|a\beta| = |a||\beta|\)

\[
|a\beta| = |a||\beta| \Leftrightarrow (|a\beta|)^2 = (|a||\beta|)^2 \Leftrightarrow (a\beta)^2 = a^2\beta^2
\]

η τελευταία είναι αληθής, και επειδή οι συνεπαγωγές αντιστρεπτές, ισχύει η αρχική. ✅

### 📝 Απόδειξη τριγωνικής ανισότητας

\[
|a + \beta| \leq |a| + |\beta| \Leftrightarrow |a + \beta|^2 \leq (|a| + |\beta|)^2
\]

\[
\Leftrightarrow a^2 + 2a\beta + \beta^2 \leq a^2 + 2|a||\beta| + \beta^2
\]

\[
\Leftrightarrow a\beta \leq |a\beta|
\]

η τελευταία είναι αληθής (ιδιότητα 4). ✅

:::fact{title="Γενίκευση"}
\(|a_1 + a_2 + \cdots + a_\nu| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_\nu|\)
Η ισότητα ισχύει μόνο όταν \(a\beta \geq 0\) (ομόσημοι ή ένας μηδέν).
:::
