Βρίσκεσαι μπροστά σε ένα γιγαντιαίο παζλ και κρατάς στα χέρια σου ένα πολύτιμο κομμάτι. Με τις συναρτήσεις βρίσκεις πού ταιριάζει, οι ακολουθίες σου αποκαλύπτουν την επόμενη σωστή κίνηση, ενώ οι εκθετικές συναρτήσεις σε κάνουν όλο και πιο γρήγορο. Με τη γεωμετρία υπολογίζεις κατεύθυνση και απόσταση, και η στατιστική σου δείχνει τις πιθανότητες επιτυχίας. Κάθε επιλογή σε φέρνει πιο κοντά στην ολοκλήρωση! Λύσε το παζλ και γίνε mastermind των Μαθηματικών. 🧠🧩

Μαθηματικά Β' Λυκείου (Κοινού Κορμού)

# Αριθμητική Πρόοδος (Α.Π.) ➕

Μια ακολουθία λέγεται :tooltip[αριθμητική πρόοδος]{content="Ακολουθία στην οποία κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση σταθεράς \(\delta\)."} όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση μιας σταθεράς :tooltip[δ (διαφορά)]{content="\(\delta = \alpha_{\nu+1} - \alpha_\nu\), σταθερή για κάθε \(\nu\)."}:

\[ \alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + \delta \]

:::fact{title="Μονοτονία Α.Π."}
- \( \delta > 0 \): γνήσια **αύξουσα** 📈
- \( \delta < 0 \): γνήσια **φθίνουσα** 📉
- \( \delta = 0 \): **σταθερή**
:::

# Τύποι Αριθμητικής Προόδου 📝

:::fact{title="Τύποι Προόδου"}
**Γενικός όρος:**

\[ \alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\cdot\delta \]

**Άθροισμα \( \nu \) πρώτων όρων:**

\[ \Sigma_\nu = \frac{\nu(\alpha_1 + \alpha_\nu)}{2} = \frac{\nu(2\alpha_1 + (\nu-1)\delta)}{2} \]
:::

💡 :tooltip[Απόδειξη αθροίσματος]{content="Γράφουμε το \(\Sigma_\nu\) κανονικά και ανάποδα, προσθέτουμε κατά μέλη — κάθε ζεύγος δίνει \(\alpha_1 + \alpha_\nu\), υπάρχουν \(\nu\) ζεύγη."}: ιδέα του μικρού **Γκάους**! 🎯

# Αριθμητικός Μέσος 🔗

Αν \( \alpha, \beta, \gamma \) είναι τρεις **διαδοχικοί όροι** :tooltip[Α.Π.]{content="Αριθμητικής Προόδου."}, τότε:

\[ 2\beta = \alpha + \gamma \]

Δηλαδή ο μεσαίος όρος \( \beta \) είναι ο :tooltip[αριθμητικός μέσος]{content="Ο μέσος όρος δύο αριθμών: \(\beta = (\alpha + \gamma)/2\)."} των δύο ακραίων. ⚖️

:::fact{title="Κριτήριο Α.Π."}
Τρεις αριθμοί \( \alpha, \beta, \gamma \) αποτελούν διαδοχικούς όρους Α.Π. **αν και μόνο αν** \( 2\beta = \alpha + \gamma \). 🔑
:::

# Γεωμετρική Πρόοδος (Γ.Π.) ✖️

Μια ακολουθία (με \( \alpha_\nu \neq 0 \)) λέγεται :tooltip[γεωμετρική πρόοδος]{content="Ακολουθία στην οποία κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό επί σταθερά \(\lambda\)."} όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό επί σταθερά :tooltip[λ (λόγος)]{content="\(\lambda = \alpha_{\nu+1}/\alpha_\nu\), σταθερός για κάθε \(\nu\)."}:

\[ \alpha_{\nu+1} = \lambda \cdot \alpha_\nu \]

:::alert{title="Προσοχή!"}
Σε Γ.Π. πρέπει \( \alpha_\nu \neq 0 \) για κάθε \( \nu \), ώστε να ορίζεται ο :tooltip[λόγος]{content="Ο σταθερός λόγος \(\lambda\) μεταξύ διαδοχικών όρων της Γ.Π."} \( \lambda = \alpha_{\nu+1}/\alpha_\nu \). ⚠️
:::

# Μονοτονία Γ.Π. ⚠️

Η μονοτονία εξαρτάται από τα πρόσημα του \( \lambda \) και του \( \alpha_1 \):

| Συνθήκη | Αποτέλεσμα |
|---|---|
| \( \lambda > 1, \; \alpha_1 > 0 \) | Γνήσια αύξουσα 📈 |
| \( \lambda > 1, \; \alpha_1 < 0 \) | Γνήσια φθίνουσα 📉 |
| \( 0 < \lambda < 1, \; \alpha_1 > 0 \) | Γνήσια φθίνουσα 📉 |
| \( \lambda = 1 \) | Σταθερή |
| \( \lambda < 0 \) | Εναλλαγή πρόσημου 🔄 |

:::alert{title="Συχνό λάθος"}
Η μονοτονία Γ.Π. **δεν εξαρτάται μόνο από το \( \lambda \)**, αλλά και από το πρόσημο του \( \alpha_1 \)! 🎯
:::

# Τύποι Γεωμετρικής Προόδου 📝

:::fact{title="Τύποι Προόδου"}
**Γενικός όρος:**

\[ \alpha_\nu = \alpha_1 \cdot \lambda^{\nu-1} \]

**Άθροισμα \( \nu \) πρώτων όρων** (για \( \lambda \neq 1 \)):

\[ \Sigma_\nu = \alpha_1 \cdot \frac{1 - \lambda^\nu}{1 - \lambda} \]
:::

:tooltip[Απόδειξη γενικού όρου]{content="\(\alpha_2 = \alpha_1 \cdot \lambda\), \(\alpha_3 = \alpha_1 \cdot \lambda^2\), … πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά προκύπτει ο τύπος."}

:tooltip[Απόδειξη αθροίσματος]{content="Πολλαπλασιάζουμε το \(\Sigma_\nu\) επί \((-\lambda)\), προσθέτουμε στο αρχικό — τηλεσκοπική απλοποίηση."}

# Γεωμετρικός Μέσος & Άπειρο Άθροισμα 🔗

Αν \( \alpha, \beta, \gamma \) είναι τρεις διαδοχικοί όροι Γ.Π.:

\[ \beta^2 = \alpha \cdot \gamma \]

Για θετικούς όρους: \( \beta = \sqrt{\alpha\gamma} \) (:tooltip[γεωμετρικός μέσος]{content="Η τετραγωνική ρίζα του γινομένου δύο αριθμών."})

---

♾️ **Άθροισμα άπειρων όρων** (αν \( |\lambda| < 1 \)):

:::fact{title="Άθροισμα Όρων (άπειρο)"}
\[ \Sigma_\infty = \frac{\alpha_1}{1 - \lambda}, \quad |\lambda| < 1 \]
:::

Αφού \( \lambda^\nu \to 0 \), το άθροισμα **συγκλίνει**! ✅

:::alert{title="Προσοχή!"}
Το άθροισμα άπειρων όρων Γ.Π. **συγκλίνει μόνο όταν** \( |\lambda| < 1 \). Διαφορετικά, το άθροισμα απειρίζεται. ⚠️
:::

01. Βασική Θεωρία

Πώς αναγνωρίζεται μια αριθμητική πρόοδος από τη σταθερή διαφορά και πώς η διαφορά καθορίζει τη μονοτονία της.

Αριθμητική πρόοδος

Πώς υπολογίζονται άμεσα ένας όρος και το άθροισμα των πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου.

Όρος και άθροισμα αριθμητικής προόδου

Ποια σχέση συνδέει τρεις διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και πώς λειτουργεί ως κριτήριο.

Αριθμητικός μέσος

Πώς αναγνωρίζεται μια γεωμετρική πρόοδος από τον σταθερό λόγο και πώς τα πρόσημα επηρεάζουν τη συμπεριφορά της.

Γεωμετρική πρόοδος

Πώς υπολογίζονται ο γενικός όρος και το πεπερασμένο άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου.

Όρος και άθροισμα γεωμετρικής προόδου

Ποια σχέση συνδέει τρεις διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου και πότε ο μέσος γράφεται ως τετραγωνική ρίζα.

Γεωμετρικός μέσος

Ποια συνθήκη εξασφαλίζει σύγκλιση και πώς προκύπτει το πεπερασμένο άθροισμα άπειρων όρων.

Άπειρη γεωμετρική πρόοδος

# Ειδικές Ακολουθίες 📐

## Αριθμητική Πρόοδος (Α.Π.) ➕

Μια ακολουθία λέγεται **αριθμητική πρόοδος** όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πρόσθεση μιας σταθεράς \( \delta \), που ονομάζεται :tooltip[διαφορά]{content="δ = α_{ν+1} − α_ν, σταθερή για κάθε ν"}:

\[
\alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + \delta
\]

Αν \( \delta > 0 \) η Α.Π. είναι **γνήσια αύξουσα**, αν \( \delta < 0 \) **γνήσια φθίνουσα** και αν \( \delta = 0 \) **σταθερή**.

:::fact{title="Γενικός Όρος Α.Π. 📝"}
\[
\alpha_\nu = \alpha_1 + (\nu - 1)\cdot\delta
\]
:::

:::fact{title="Άθροισμα ν πρώτων όρων Α.Π. ➕"}
\[
\Sigma_\nu = \frac{\nu(\alpha_1 + \alpha_\nu)}{2} = \frac{\nu\bigl(2\alpha_1 + (\nu-1)\delta\bigr)}{2}
\]
**Απόδειξη**: Γράφουμε το \( \Sigma_\nu \) δύο φορές — μία κανονικά και μία με αντίστροφη σειρά — και προσθέτουμε κατά μέλη. Κάθε ζεύγος αντίστοιχων όρων δίνει \( \alpha_1 + \alpha_\nu \), και υπάρχουν \( \nu \) τέτοια ζεύγη, άρα \( 2\Sigma_\nu = \nu(\alpha_1 + \alpha_\nu) \).
:::

:::fact{title="Αριθμητικός Μέσος 🔗"}
Αν \( \alpha, \beta, \gamma \) είναι τρεις διαδοχικοί όροι Α.Π., τότε: \( 2\beta = \alpha + \gamma \), δηλαδή ο μεσαίος όρος \( \beta \) είναι ο **αριθμητικός μέσος** των δύο ακραίων.
:::

---

## Γεωμετρική Πρόοδος (Γ.Π.) ✖️

Μια ακολουθία με \( \alpha_\nu \neq 0 \) λέγεται **γεωμετρική πρόοδος** όταν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό επί μια σταθερά \( \lambda \neq 0 \), που ονομάζεται :tooltip[λόγος]{content="λ = α_{ν+1}/α_ν, σταθερός για κάθε ν"}:

\[
\alpha_{\nu+1} = \lambda \cdot \alpha_\nu
\]

:::alert{title="Μονοτονία Γ.Π. — Προσοχή στο πρόσημο! "}
- \( \lambda > 1 \) και \( \alpha_1 > 0 \): γνήσια **αύξουσα** 📈
- \( \lambda > 1 \) και \( \alpha_1 < 0 \): γνήσια **φθίνουσα** 📉
- \( 0 < \lambda < 1 \) και \( \alpha_1 > 0 \): γνήσια **φθίνουσα** 📉
- \( \lambda = 1 \): **σταθερή** ακολουθία
- \( \lambda < 0 \): **εναλλαγή πρόσημου** (δεν είναι μονότονη)
- \( |\lambda| > 1 \): απόλυτα γνήσια αύξουσα · \( |\lambda| < 1 \): απόλυτα γνήσια φθίνουσα
:::

:::fact{title="Γενικός Όρος Γ.Π. 📝"}
\[
\alpha_\nu = \alpha_1 \cdot \lambda^{\nu-1}
\]
**Απόδειξη**: Γράφουμε \( \alpha_2 = \alpha_1 \lambda \), \( \alpha_3 = \alpha_2 \lambda = \alpha_1 \lambda^2 \), κ.ο.κ. Πολλαπλασιάζοντας διαδοχικά προκύπτει ο τύπος.
:::

:::fact{title="Γεωμετρικός Μέσος 🔗"}
Αν \( \alpha, \beta, \gamma \) είναι τρεις διαδοχικοί όροι Γ.Π., τότε: \( \beta^2 = \alpha \cdot \gamma \). Για θετικούς όρους, \( \beta = \sqrt{\alpha\gamma} \) (**γεωμετρικός μέσος**).
:::

:::fact{title="Άθροισμα ν πρώτων όρων Γ.Π. ➕"}
Για \( \lambda \neq 1 \):
\[
\Sigma_\nu = \alpha_1 \cdot \frac{1 - \lambda^\nu}{1 - \lambda}
\]
**Απόδειξη**: Πολλαπλασιάζουμε το \( \Sigma_\nu \) επί \( (-\lambda) \) και προσθέτουμε στο αρχικό. Οι ενδιάμεσοι όροι απλοποιούνται (τηλεσκοπικά) και μένει \( \Sigma_\nu(1 - \lambda) = \alpha_1(1 - \lambda^\nu) \).
:::

:::fact{title="Άθροισμα Άπειρων Όρων Γ.Π. ♾️"}
Αν \( |\lambda| < 1 \), τότε \( \lambda^\nu \to 0 \) και το άθροισμα **συγκλίνει**:
\[
\Sigma_\infty = \frac{\alpha_1}{1 - \lambda}
\]
:::
