Λογαριθμική Συνάρτηση 📉

Ορισμός 🧭

Αφού για κάθε θετικό αριθμό $x$ και κάθε βάση $a > 0, a \neq 1$ ορίζεται μονοσήμαντα ο αριθμός $\log_a x$ , μπορούμε να ορίσουμε μια νέα συνάρτηση που αντιστοιχεί σε κάθε θετικό $x$ τον λογάριθμό του.

📌 Ορισμός λογαριθμικής συνάρτησης

Η συνάρτηση:
$g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad g(x) = \log_a x, \quad a > 0,\; a \neq 1$
ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση $a$ .

Παραδείγματα: $g(x) = \log_2 x$ , $g(x) = \log x$ (δεκαδικός), $g(x) = \ln x$ (φυσικός).

Σχέση με την εκθετική — η σχέση αντιστροφής 🔁

Από την ισοδυναμία του ορισμού του λογαρίθμου έχουμε:
$\lambda = \log_a \kappa \;\Longleftrightarrow\; a^\lambda = \kappa$

Αυτό σημαίνει:

αν $(\kappa, \lambda)$ είναι σημείο της $g(x) = \log_a x$ (δηλαδή $g(\kappa) = \lambda$ ), τότε $a^\lambda = \kappa$ , άρα $(\lambda, \kappa)$ είναι σημείο της $f(x) = a^x$ .
και αντίστροφα.

Γεωμετρικά, η ανταλλαγή συντεταγμένων $(\kappa, \lambda) \leftrightarrow (\lambda, \kappa)$ αντιστοιχεί σε συμμετρία ως προς την ευθεία $y = x$ .

📌 Συμμετρία εκθετικής – λογαριθμικής

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:
$f(x) = a^x \quad \text{και} \quad g(x) = \log_a x$
είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$ .

Αυτή η συμμετρία εκφράζει το γεγονός ότι οι δύο συναρτήσεις είναι αντίστροφες: $g(f(x)) = \log_a(a^x) = x$ και $f(g(x)) = a^{\log_a x} = x$ .

Παρατηρήσεις και ιδιότητες 🔍

Πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών

Πεδίο ορισμού: $(0, +\infty)$ . Η λογαριθμική συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικούς αριθμούς.
Σύνολο τιμών: $\mathbb{R}$ . Ο λογάριθμος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή.

Παρατηρήστε τη συμμετρία με την εκθετική συνάρτηση: αυτό που ήταν σύνολο τιμών της εκθετικής γίνεται πεδίο ορισμού της λογαριθμικής, και αντίστροφα. Αυτό είναι τυπική ιδιότητα των αντιστρόφων συναρτήσεων.

Μονοτονία

Η μονοτονία κληρονομείται από την εκθετική:

Αν $a > 1$ : η $g(x) = \log_a x$ είναι γνήσια αύξουσα.
Αν $0 < a < 1$ : η $g(x) = \log_a x$ είναι γνήσια φθίνουσα.

Ειδικά σημεία

$g(1) = \log_a 1 = 0$ : η γραφική παράσταση περνά πάντα από το σημείο $(1, 0)$ (όπως η εκθετική περνά από το $(0, 1)$ ).
$g(a) = \log_a a = 1$ : περνά από το σημείο $(a, 1)$ .

1–1 και αντιστρεψιμότητα

📌 Η λογαριθμική είναι 1–1

Η λογαριθμική συνάρτηση είναι 1–1, δηλαδή:
$\log_a x_1 = \log_a x_2 \;\Longleftrightarrow\; x_1 = x_2 \quad (x_1, x_2 > 0)$

Αυτή η ιδιότητα θα είναι το κλειδί για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων στην επόμενη ενότητα.

Ασύμπτωτη συμπεριφορά

Η γραφική παράσταση της $g(x) = \log_a x$ πλησιάζει τον άξονα $y'y$ (δηλαδή την ευθεία $x = 0$ ) χωρίς να τον αγγίζει — ο άξονας $y'y$ αποτελεί κατακόρυφη ασύμπτωτη:

Για $a > 1$ : καθώς $x \to 0^+$ , $\log_a x \to -\infty$ .
Για $0 < a < 1$ : καθώς $x \to 0^+$ , $\log_a x \to +\infty$ .

Το θεμελιώδες όριο του ορισμού 🚫

Η λογαριθμική ορίζεται μόνο για θετικά $x$

Δεν ορίζεται ο λογάριθμος αρνητικού αριθμού ή του μηδενός. Παραστάσεις όπως:
$\log_a (-3), \quad \log_a 0, \quad \ln(x^2 - 4) \text{ όταν } x^2 - 4 \leq 0$
δεν υπάρχουν στους πραγματικούς.

Αυτός ο περιορισμός είναι κρίσιμος στην επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων: κάθε έκφραση μέσα σε λογάριθμο πρέπει να είναι αυστηρά θετική, και αυτό καθορίζει τους περιορισμούς (το πεδίο ορισμού) του προβλήματος. Λύσεις που παραβιάζουν αυτόν τον περιορισμό πρέπει να απορρίπτονται.

Σύνοψη της αντιστοιχίας εκθετικής ↔ λογαριθμικής 📊

Ιδιότητα	Εκθετική $f(x) = a^x$	Λογαριθμική $g(x) = \log_a x$
Πεδίο ορισμού	$\mathbb{R}$	$(0, +\infty)$
Σύνολο τιμών	$(0, +\infty)$	$\mathbb{R}$
Σημείο τομής άξονα	$(0, 1)$	$(1, 0)$
Μονοτονία ( $a > 1$ )	γνήσια αύξουσα	γνήσια αύξουσα
Μονοτονία ( $0 < a < 1$ )	γνήσια φθίνουσα	γνήσια φθίνουσα
1–1	ναι	ναι
Ασύμπτωτη	οριζόντια $y = 0$	κατακόρυφη $x = 0$

Οι δύο συναρτήσεις είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος: μία κοιτάμε στον «εκθέτη» και μία στο «αποτέλεσμα».