Βρίσκεσαι μπροστά σε ένα γιγαντιαίο παζλ και κρατάς στα χέρια σου ένα πολύτιμο κομμάτι. Με τις συναρτήσεις βρίσκεις πού ταιριάζει, οι ακολουθίες σου αποκαλύπτουν την επόμενη σωστή κίνηση, ενώ οι εκθετικές συναρτήσεις σε κάνουν όλο και πιο γρήγορο. Με τη γεωμετρία υπολογίζεις κατεύθυνση και απόσταση, και η στατιστική σου δείχνει τις πιθανότητες επιτυχίας. Κάθε επιλογή σε φέρνει πιο κοντά στην ολοκλήρωση! Λύσε το παζλ και γίνε mastermind των Μαθηματικών. 🧠🧩

Μαθηματικά Β' Λυκείου (Κοινού Κορμού)

# Ορισμός Λογαριθμικής Συνάρτησης 🎯

Η :tooltip[λογαριθμική συνάρτηση]{content="Η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης"} με βάση \( a \) ορίζεται ως:

\[ g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad g(x) = \log_a x, \quad a > 0, \; a \neq 1 \]

- **Πεδίο ορισμού**: \( (0, +\infty) \) – μόνο θετικά \( x \)!
- **Σύνολο τιμών**: \( \mathbb{R} \)

# Σχέση με την Εκθετική Συνάρτηση 🔄

- Αν \( (\kappa, \lambda) \) ανήκει στη γραφική παράσταση της \( g(x) = \log_a x \), τότε \( (\lambda, \kappa) \) ανήκει στη γραφική παράσταση της \( f(x) = a^x \).

- Η **εκθετική** \( f(x) = a^x \) και η **λογαριθμική** \( g(x) = \log_a x \) είναι :tooltip[συμμετρικές]{content="Η μία είναι η αντίστροφη της άλλης"} ως προς την ευθεία \( y = x \).

- Η λογαριθμική συνάρτηση είναι **1–1**.

# Κρίσιμος Περιορισμός ⚠️

Η λογαριθμική συνάρτηση ορίζεται **μόνο για θετικά** \( x \):

- ❌ Δεν υπάρχει \( \log_a 0 \)
- ❌ Δεν υπάρχει \( \log_a(-3) \)
- ✅ Υπάρχει \( \log_a 5 \)

Αυτός ο περιορισμός είναι **κρίσιμος** κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων – πρέπει πάντα να ελέγχουμε ότι τα ορίσματα είναι θετικά!

01. Βασική Θεωρία

Ποιες είναι οι προϋποθέσεις της βάσης και γιατί το όρισμα της συνάρτησης πρέπει να είναι θετικό.

Ορισμός της λογαριθμικής συνάρτησης

Πώς η λογαριθμική και η εκθετική συνάρτηση αναιρούν η μία την άλλη και πώς συνδέονται οι γραφικές τους παραστάσεις.

Η σχέση αντιστροφής

Ποιες τιμές δέχεται ως είσοδο η λογαριθμική συνάρτηση και ποιες πραγματικές τιμές μπορεί να δώσει ως έξοδο.

Πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών

Πώς η βάση επηρεάζει την αύξηση ή τη μείωση και ποια σημεία βοηθούν στη σχεδίαση της γραφικής παράστασης.

Μονοτονία και χαρακτηριστικά σημεία

Γιατί ο άξονας των τεταγμένων αποτελεί κατακόρυφη ασύμπτωτη και πώς μεταβάλλεται η συνάρτηση κοντά στο μηδέν.

Ασύμπτωτη συμπεριφορά

Πώς συγκρίνονται συστηματικά οι ιδιότητες των δύο αντίστροφων συναρτήσεων.

Εκθετική και λογαριθμική αντιστοιχία

# Λογαριθμική Συνάρτηση 📉

:::fact{title="📌 Ορισμός"}
Η συνάρτηση \( g: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) με τύπο \( g(x) = \log_a x \), όπου \( a > 0, \, a \neq 1 \), ονομάζεται :tooltip[λογαριθμική συνάρτηση]{content="Η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης"} με βάση \( a \).
:::

## Παρατηρήσεις 🔍

- Αν \( (\kappa, \lambda) \) ανήκει στη γραφική παράσταση της \( g(x) = \log_a x \), τότε \( (\lambda, \kappa) \) ανήκει στη γραφική παράσταση της \( f(x) = a^x \), λόγω της ισοδυναμίας \( \lambda = \log_a \kappa \Leftrightarrow a^\lambda = \kappa \).
- Η εκθετική \( f(x) = a^x \) και η λογαριθμική \( g(x) = \log_a x \) είναι **συμμετρικές ως προς την ευθεία** \( y = x \).
- Η λογαριθμική συνάρτηση είναι **1–1**.
- **Πεδίο ορισμού**: \( (0, +\infty) \). **Σύνολο τιμών**: \( \mathbb{R} \).

:::alert{title="Σημαντικό"}
Η λογαριθμική συνάρτηση ορίζεται **μόνο για θετικά** \( x \). Δεν υπάρχει λογάριθμος αρνητικού αριθμού ή μηδενός. Αυτός ο περιορισμός είναι κρίσιμος κατά την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων.
:::
