Εγγεγραμμένες — Επίκεντρες γωνίες 📐

Δύο τρόποι να «δούμε» ένα τόξο

Κάθε τόξο ενός κύκλου μπορεί να «φαίνεται» από δύο διαφορετικές θέσεις: από το κέντρο του κύκλου ή από ένα άλλο σημείο του κύκλου. Οι δύο αυτές οπτικές γωνίες έχουν ονόματα και είναι η βάση όλης της ενότητας.

Αν $B$ και $\Gamma$ είναι τα σημεία τομής της γωνίας $x\hat{A}y$ με τον κύκλο, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία $B\hat{A}\Gamma$ βαίνει στο τόξο $B\Gamma$ — δηλαδή «κοιτάζει» εκείνο το τόξο από απέναντι, σαν θεατής που στέκεται στην κερκίδα ενός κύκλου και βλέπει ένα κομμάτι του.

Η δεύτερη οπτική γωνία είναι η ήδη γνωστή επίκεντρη γωνία: αυτή έχει κορυφή στο κέντρο και βλέπει το ίδιο τόξο, αλλά από «μέσα».

📌 Δύο βασικές παρατηρήσεις

• Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν άπειρες εγγεγραμμένες γωνίες — όσα και τα σημεία του κύκλου εκτός του τόξου, αφού από οποιοδήποτε από αυτά μπορούμε να «κοιτάξουμε» το τόξο.
• Σε κάθε τόξο αντιστοιχεί όμως μόνο μία επίκεντρη γωνία, αφού το κέντρο είναι ένα και μοναδικό σημείο.

Αυτή η ασυμμετρία —άπειρες θέσεις παρατήρησης από τον κύκλο, μία μόνο από το κέντρο— είναι ακριβώς αυτό που κάνει χρήσιμο το θεώρημα που ακολουθεί: αν όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες συνδέονται με τη μοναδική επίκεντρη με τον ίδιο τρόπο, τότε συνδέονται και μεταξύ τους.

Το θεώρημα εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας

Με άλλα λόγια: όσο πιο «κοντά» βλέπεις ένα τόξο (από το κέντρο), τόσο πιο «ανοιχτή» φαίνεται η γωνία· από μακριά (από τον κύκλο), η ίδια απόσταση φαίνεται μισή. Το θεώρημα δίνει ακριβώς αυτόν τον λόγο: 2 προς 1.

📝 Γιατί ισχύει — η ιδέα της απόδειξης

Η απόδειξη στηρίζεται σε ένα μόνο τρικ που επαναλαμβάνεται: κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται από το κέντρο $O$ και δύο σημεία του κύκλου είναι ισοσκελές, αφού οι δύο πλευρές του είναι ακτίνες (ίσο μήκος). Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες βάσης είναι ίσες, και μια εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών — άρα με τη διπλάσια γωνία βάσης. Αυτό ακριβώς μας δίνει τη σχέση «διπλάσιο».

Επειδή το κέντρο $O$ μπορεί να βρίσκεται σε τρεις διαφορετικές θέσεις ως προς την εγγεγραμμένη γωνία, η απόδειξη εξετάζει τρεις περιπτώσεις — αλλά και στις τρεις εφαρμόζεται η ίδια ιδέα του ισοσκελούς τριγώνου.

1η περίπτωση — το κέντρο $O$ βρίσκεται πάνω σε μια πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας.

Το τρίγωνο $BO\Gamma$ είναι ισοσκελές, με $BO = \Gamma O$ (ακτίνες). Η επίκεντρη γωνία $A\hat{O}B$ είναι εξωτερική γωνία αυτού του ισοσκελούς τριγώνου, άρα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι γωνιών βάσης, που είναι ίσες μεταξύ τους:

2η περίπτωση — το κέντρο $O$ βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας.

Φέρνουμε την ευθεία $\Gamma O$ και προεκτείνουμε ώς τον κύκλο· αυτή χωρίζει την εγγεγραμμένη γωνία και την επίκεντρη γωνία σε δύο κομμάτια η καθεμιά, και κάθε κομμάτι ξαναπέφτει στην 1η περίπτωση:

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο ισότητες:

3η περίπτωση — το κέντρο $O$ βρίσκεται στο εξωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας.

Φέρνουμε πάλι την ευθεία $\Gamma O$. Τώρα οι δύο σχέσεις της 1ης περίπτωσης δεν προστίθενται αλλά αφαιρούνται, αφού η μία γωνία περιέχει την άλλη:

Και στις τρεις περιπτώσεις καταλήγουμε στην ίδια σχέση — γι' αυτό το θεώρημα ισχύει χωρίς εξαιρέσεις, ανεξάρτητα από το πού «τυχαίνει» να είναι το κέντρο σε σχέση με τη γωνία μας.

Πορίσματα του θεωρήματος

Από τη βασική σχέση «εγγεγραμμένη = μισή επίκεντρη» προκύπτουν αμέσως τέσσερα χρήσιμα συμπεράσματα, που χρησιμοποιούνται συχνότερα στην πράξη από το ίδιο το θεώρημα.

Αυτό προκύπτει άμεσα από το θεώρημα: αν το τόξο είναι ημικύκλιο, η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία είναι ευθεία γωνία, δηλαδή $180°$. Άρα κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε αυτό το τόξο είναι το μισό: $180° \div 2 = 90°$. Πρακτικά, αυτό σημαίνει ότι αν μια χορδή είναι διάμετρος του κύκλου, κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται με τρίτη κορυφή πάνω στον κύκλο είναι ορθογώνιο.

Η εξήγηση είναι απλή: όλες αυτές οι εγγεγραμμένες γωνίες συνδέονται με την ίδια επίκεντρη γωνία μέσω της ίδιας σχέσης (το μισό της). Αφού μοιράζονται τον ίδιο «μισό», είναι κατ' ανάγκη ίσες μεταξύ τους — ανεξάρτητα από το πού ακριβώς βρίσκεται η κορυφή τους πάνω στον κύκλο.

Αυτό γενικεύει το Πόρισμα 2: δεν χρειάζεται να είναι το ίδιο τόξο, αρκεί να είναι ίσα τόξα. Ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες επίκεντρες γωνίες, άρα και σε ίσες εγγεγραμμένες γωνίες — και ισχύει και το αντίστροφο: αν οι εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες, τα τόξα στα οποία βαίνουν είναι ίσα.

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο

Οι τέσσερις κορυφές ενός τέτοιου τετραπλεύρου χωρίζουν τον κύκλο σε τέσσερα τόξα, και κάθε γωνία του τετραπλεύρου είναι εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ένα από αυτά (ακριβέστερα, στο τόξο που «απέναντι» της απομένει όταν αφαιρέσουμε τις δύο γειτονικές κορυφές). Αυτή η παρατήρηση οδηγεί σε μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα.

📝 Γιατί ισχύει

Η γωνία $\hat{A}$ είναι εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο $B\Gamma\Delta$ (το τόξο που περνά από τις άλλες τρεις κορυφές), άρα $\hat{A} = \dfrac{\widehat{B\Gamma\Delta}}{2}$.

Ομοίως, η απέναντι γωνία $\hat{\Gamma}$ βαίνει στο τόξο $BA\Delta$, άρα $\hat{\Gamma} = \dfrac{\widehat{BA\Delta}}{2}$.

Τα δύο αυτά τόξα, $B\Gamma\Delta$ και $BA\Delta$, μαζί καλύπτουν ολόκληρο τον κύκλο, δηλαδή $360°$. Επομένως:

Το ίδιο επιχείρημα, εφαρμοσμένο στο άλλο ζευγάρι απέναντι γωνιών, δίνει $\hat{B} + \hat{\Delta} = 180°$.