Μπες στην τάξη όπου τα μαθηματικά ζωντανεύουν μπροστά σου! Ξεκίνα με τους πραγματικούς αριθμούς, γνώρισε τα μυστικά της τριγωνομετρίας. Σχεδίασε κύκλους, ευθείες και γραφικές παραστάσεις. Μάθε να λύνεις εξισώσεις και να καταλαβαίνεις τον κόσμο μέσα από τη στατιστική. Ένα σύμπαν γεμάτο ανακαλύψεις σε περιμένει… Καλωσόρισες στην τάξη μας. 🌀


Μαθηματικά Α' Λυκείου (Προσανατολισμού)

# Εγγεγραμμένη γωνία κύκλου 📐

:tooltip[Εγγεγραμμένη γωνία]{content="Γωνία με κορυφή πάνω στον κύκλο και πλευρές τέμνουσες του κύκλου"} κύκλου είναι η γωνία που:

- Η **κορυφή** της είναι σημείο του κύκλου
- Οι **πλευρές** της είναι τέμνουσες του κύκλου

Αν \(B\), \(\Gamma\) είναι τα σημεία τομής, λέμε ότι η γωνία \(B\hat{A}\Gamma\) **βαίνει στο τόξο** \(B\Gamma\).

# Επίκεντρη γωνία κύκλου 🎯

:tooltip[Επίκεντρη γωνία]{content="Γωνία με κορυφή στο κέντρο του κύκλου και πλευρές ακτίνες"} είναι η γωνία με κορυφή στο **κέντρο** του κύκλου.

**Σημαντικό:**
- Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν **άπειρες** εγγεγραμμένες γωνίες
- Σε κάθε τόξο αντιστοιχεί **μόνο μία** επίκεντρη γωνία

# Θεώρημα: Εγγεγραμμένη = Επίκεντρη / 2 ⚡

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία κύκλου είναι ίση με **το μισό** της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο:

\[A\hat{O}B = 2 \cdot A\hat{\Gamma}B\]

Αυτό ισχύει σε **τρεις περιπτώσεις**: το κέντρο \(O\) ανήκει σε πλευρά, βρίσκεται στο εσωτερικό, ή στο εξωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας.

# Απόδειξη — 1η περίπτωση 🔍

Το κέντρο \(O\) ανήκει σε μια πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας.

Το τρίγωνο \(BO\Gamma\) είναι :tooltip[ισοσκελές]{content="BO = ΓO = R (ακτίνες)"}, οπότε η επίκεντρη γωνία ως **εξωτερική γωνία** ισούται:

\[A\hat{O}B = B\hat{\Gamma}O + \Gamma\hat{B}O = 2 \cdot B\hat{\Gamma}O = 2 \cdot A\hat{\Gamma}B\]

# Απόδειξη — 2η & 3η περίπτωση 🔍

**2η περίπτωση:** Το \(O\) στο εσωτερικό — φέρουμε ευθεία \(\Gamma O\) και χωρίζουμε σε δύο ισοσκελή τρίγωνα:

\[A\hat{O}B = \hat{x}_1 + \hat{x}_2 = 2(\hat{\Gamma}_1 + \hat{\Gamma}_2) = 2 \cdot A\hat{\Gamma}B\]

**3η περίπτωση:** Το \(O\) στο εξωτερικό — ανάλογη αφαίρεση:

\[B\hat{O}\Gamma' - A\hat{O}\Gamma' = 2 \cdot B\hat{\Gamma}A\]

# Πόρισμα 1: Γωνία σε ημικύκλιο 🔲

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε :tooltip[ημικύκλιο]{content="Τόξο που αντιστοιχεί σε διάμετρο, δηλαδή η επίκεντρη γωνία = 180°"} είναι **ορθή**:

\[\text{εγγεγραμμένη} = \frac{180°}{2} = 90°\]

> Αν η χορδή είναι **διάμετρος**, κάθε εγγεγραμμένη γωνία πάνω στο αντίστοιχο ημικύκλιο είναι \(90°\).

# Πόρισμα 2: Ίσες γωνίες στο ίδιο τόξο 🔄

Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο **ίδιο τόξο** είναι **ίσες** μεταξύ τους:

\[\Delta\hat{A}E = \Delta\hat{B}E = \Delta\hat{\Gamma}E = \frac{\Delta\hat{O}E}{2}\]

Όλες ισούνται με το μισό της κοινής :tooltip[επίκεντρης γωνίας]{content="Η μοναδική γωνία με κορυφή το κέντρο που βαίνει στο ίδιο τόξο"}.

# Πόρισμα 3 & 4 📏

**Πόρισμα 3:** Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε **ίσα τόξα** ίσων κύκλων ή του ίδιου κύκλου είναι **ίσες** μεταξύ τους, και αντίστροφα.

**Πόρισμα 4:** Τόξα μεταξύ δύο :tooltip[παράλληλων χορδών]{content="Χορδές του ίδιου κύκλου που είναι παράλληλες"} είναι **ίσα**.

# Εγγεγραμμένο τετράπλευρο 🔷

:tooltip[Εγγεγραμμένο τετράπλευρο]{content="Τετράπλευρο του οποίου και οι 4 κορυφές ανήκουν στον κύκλο"} σε κύκλο: και οι 4 κορυφές του είναι σημεία του κύκλου.

**Θεώρημα:** Οι **απέναντι γωνίες** είναι :tooltip[παραπληρωματικές]{content="Το άθροισμά τους ισούται με 180°"}:

\[\hat{A} + \hat{\Gamma} = 180° \quad \text{και} \quad \hat{B} + \hat{\Delta} = 180°\]

# Απόδειξη παραπληρωματικών γωνιών 📝

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο \(AB\Gamma\Delta\):

- \(\hat{A}\) βαίνει στο τόξο \(B\Gamma\Delta\), άρα \(\hat{A} = \frac{\widehat{B\Gamma\Delta}}{2}\)
- \(\hat{\Gamma}\) βαίνει στο τόξο \(BA\Delta\), άρα \(\hat{\Gamma} = \frac{\widehat{BA\Delta}}{2}\)

Επομένως:

\[\hat{A} + \hat{\Gamma} = \frac{\widehat{B\Gamma\Delta} + \widehat{BA\Delta}}{2} = \frac{360°}{2} = 180°\]

01. Βασική Θεωρία

Δύο διαφορετικοί τρόποι να δει κανείς το ίδιο τόξο ενός κύκλου: από το κέντρο ή από πάνω στον ίδιο τον κύκλο.

Εγγεγραμμένη και επίκεντρη γωνία

Γιατί η γωνία που βλέπει ένα τόξο από τον κύκλο είναι πάντα ακριβώς το μισό της γωνίας που το βλέπει από το κέντρο.

Το θεώρημα εγγεγραμμένης και επίκεντρης γωνίας

Τι συμπεράσματα βγαίνουν αμέσως από το θεώρημα για γωνίες σε ημικύκλιο, σε ίδιο τόξο, σε ίσα τόξα και ανάμεσα σε παράλληλες χορδές.

Τα τέσσερα πορίσματα

Τι ιδιαίτερο συμβαίνει με τις γωνίες ενός τετραπλεύρου όταν όλες οι κορυφές του βρίσκονται πάνω στον ίδιο κύκλο.

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο σε κύκλο

# Εγγεγραμμένες — Επίκεντρες γωνίες σε συντομία 📐

Μια **εγγεγραμμένη γωνία** έχει κορυφή πάνω στον κύκλο και πλευρές τέμνουσες· μια **επίκεντρη γωνία** έχει κορυφή στο κέντρο και πλευρές ακτίνες. Όταν και οι δύο "κοιτάζουν" το ίδιο τόξο, συνδέονται με έναν σταθερό λόγο: η εγγεγραμμένη είναι πάντα το **μισό** της επίκεντρης, \(A\hat{O}B = 2 \cdot A\hat{\Gamma}B\). Αυτό αποδεικνύεται με το ίδιο τρικ σε τρεις πιθανές θέσεις του κέντρου ως προς τη γωνία: κάθε φορά σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο με δύο ακτίνες, όπου η επίκεντρη λειτουργεί ως εξωτερική γωνία ίση με το διπλάσιο της γωνίας βάσης.

Από αυτή τη σχέση προκύπτουν τέσσερα πορίσματα: **(1)** κάθε εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο είναι ορθή, αφού η επίκεντρη εκεί είναι \(180°\)· **(2)** εγγεγραμμένες γωνίες στο ίδιο τόξο είναι ίσες, αφού μοιράζονται την ίδια μοναδική επίκεντρη· **(3)** το ίδιο ισχύει για γωνίες σε ίσα τόξα ίσων ή του ίδιου κύκλου, και αντίστροφα· **(4)** τόξα ανάμεσα σε δύο παράλληλες χορδές είναι ίσα.

Ένα **τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο** έχει όλες τις κορυφές του πάνω στον κύκλο. Οι απέναντι γωνίες του είναι πάντα **παραπληρωματικές** (\(\hat{A} + \hat{\Gamma} = 180°\) και \(\hat{B} + \hat{\Delta} = 180°\)), γιατί κάθε γωνία είναι το μισό ενός τόξου, και τα δύο απέναντι τόξα μαζί κάνουν ολόκληρο τον κύκλο (\(360°\)).

:::alert{title="Το πιο συχνό λάθος"}
Μην μπερδεύεις ποια γωνία είναι το διπλάσιο: η επίκεντρη (κορυφή στο κέντρο) είναι πάντα η **μεγαλύτερη**, όχι η εγγεγραμμένη.
:::

:::fact{title="Χρήσιμο αντίστροφο"}
Αν σε ένα τετράπλευρο ένα ζευγάρι απέναντι γωνιών αθροίζει σε \(180°\), τότε το τετράπλευρο είναι σίγουρα εγγράψιμο σε κύκλο — δεν χρειάζεται να βρεις το κέντρο για να το αποδείξεις.
:::
