Εγγεγραμμένες και Επίκεντρες Γωνίες 🎯

Τόξα και ημικύκλια

Κάθε τόξο κύκλου είναι ένα κομμάτι του κύκλου που περιέχεται ανάμεσα σε δύο σημεία του. Δύο σημεία $A$ και $B$ πάνω σε έναν κύκλο τον χωρίζουν πάντα σε δύο τόξα, ένα από κάθε πλευρά. Για να ξεχωρίζουμε ποιο από τα δύο εννοούμε, γράφουμε ανάμεσά τους ένα τρίτο σημείο του τόξου: τα δύο τόξα που ορίζουν τα $A$ και $B$ συμβολίζονται $\widehat{AMB}$ και $\widehat{ANB}$ , όπου $M$ και $N$ είναι σημεία πάνω στο καθένα από αυτά.

Μια διάμετρος έχει μια ιδιαίτερη ιδιότητα: επειδή περνά από το κέντρο, χωρίζει τον κύκλο σε δύο τόξα απόλυτα ίσα μεταξύ τους. Αυτά τα δύο ίσα τόξα ονομάζονται ημικύκλια.

Γιατί έχει σημασία το ημικύκλιο

Το ημικύκλιο δεν είναι απλώς «μισός κύκλος» — είναι το τόξο που αντιστοιχεί σε ευθεία γωνία $180°$ . Αυτή η ιδιότητα είναι το κλειδί για ένα από τα πιο χρήσιμα συμπεράσματα του κεφαλαίου: κάθε γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Επίκεντρη γωνία και μέτρο τόξου

Η επίκεντρη γωνία είναι κάθε γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου. Οι δύο πλευρές της είναι δύο ακτίνες, και ανάμεσά τους περικλείεται ένα τόξο — αυτό ονομάζεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας.

Χρειαζόμαστε έναν τρόπο να «μετράμε» ένα τόξο, και ο πιο φυσικός είναι μέσω της γωνίας που το βλέπει από το κέντρο: το μέτρο ενός τόξου ορίζεται ως το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας του, και εκφράζεται σε μοίρες. Για παράδειγμα, αν η επίκεντρη γωνία $x\hat{O}y$ που αντιστοιχεί στο τόξο $B\Gamma$ είναι $50°$ , τότε γράφουμε $\widehat{B\Gamma} = x\hat{O}y = 50°$ .

Αυτός ο ορισμός δένει άμεσα τόξα, γωνίες και χορδές μεταξύ τους. Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους ισχύει:

Ιδιότητες επίκεντρων γωνιών και τόξων

Σε ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν ίσα τόξα, και αντίστροφα.
Σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές, και αντίστροφα.

Με άλλα λόγια, γωνία, τόξο και χορδή «μεγαλώνουν και μικραίνουν μαζί»: αν οποιοδήποτε από τα τρία μεγαλώσει, μεγαλώνουν και τα άλλα δύο.

Η εγγεγραμμένη γωνία

Υπάρχει και ένας δεύτερος τρόπος να «δούμε» ένα τόξο μέσα από μια γωνία, χωρίς η κορυφή να βρίσκεται στο κέντρο.

Ορισμός: Εγγεγραμμένη γωνία

Εγγεγραμμένη γωνία κύκλου ονομάζεται η γωνία που έχει την κορυφή της πάνω στον κύκλο και οι πλευρές της είναι τέμνουσες του κύκλου.

Αν η κορυφή είναι το σημείο $A$ και οι δύο πλευρές της γωνίας $x\hat{A}y$ τέμνουν τον κύκλο στα σημεία $B$ και $\Gamma$ , τότε λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία $B\hat{A}\Gamma$ βαίνει στο τόξο $B\Gamma$ . Αυτό το τόξο ονομάζεται το αντίστοιχο τόξο της εγγεγραμμένης γωνίας — αντίστοιχα με το πώς ονομάσαμε το τόξο μιας επίκεντρης γωνίας.

Υπάρχει όμως μια σημαντική διαφορά ανάμεσα στις δύο έννοιες:

Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν άπειρες εγγεγραμμένες γωνίες — όσα σημεία κι αν διαλέξουμε πάνω στο υπόλοιπο τόξο ως κορυφή, όλες οι γωνίες που θα σχηματιστούν βαίνουν στο ίδιο τόξο.
Αντίθετα, σε κάθε τόξο αντιστοιχεί μόνο μία επίκεντρη γωνία, αφού το κέντρο είναι ένα και μοναδικό σημείο.
Έτσι, σε κάθε εγγεγραμμένη γωνία $AB\Gamma$ αντιστοιχεί μία μόνο επίκεντρη γωνία $AK\Gamma$ που βαίνει στο ίδιο τόξο· αυτή ονομάζεται η αντίστοιχη επίκεντρη της εγγεγραμμένης.

Μην τις μπερδεύεις

Η κορυφή είναι αυτή που ξεχωρίζει τις δύο έννοιες: στην επίκεντρη γωνία η κορυφή είναι πάντα το κέντρο του κύκλου· στην εγγεγραμμένη γωνία η κορυφή είναι ένα σημείο του ίδιου του κύκλου. Αν η κορυφή δεν είναι ούτε το κέντρο ούτε σημείο του κύκλου, η γωνία δεν είναι τίποτα από τα δύο.

Το θεώρημα της εγγεγραμμένης - επίκεντρης γωνίας

Το βασικό αποτέλεσμα που συνδέει τις δύο γωνίες είναι το εξής:

Θεώρημα

Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου της αντίστοιχης επίκεντρής της.

Δηλαδή, αν $B\hat{A}\Gamma$ είναι εγγεγραμμένη γωνία και $B\hat{O}\Gamma$ η αντίστοιχη επίκεντρή της (και οι δύο βαίνουν στο ίδιο τόξο $B\Gamma$ ):

\boxed{B\hat{O}\Gamma = 2 \cdot B\hat{A}\Gamma}

Αυτή η σχέση είναι πολύ χρήσιμη γιατί επιτρέπει να περνάμε ελεύθερα από τη μια γωνία στην άλλη: αν ξέρουμε την επίκεντρη, βρίσκουμε αμέσως την εγγεγραμμένη (διαιρώντας διά 2), και αντίστροφα.

Γιατί ισχύει: η απόδειξη

Η απόδειξη χωρίζεται σε τρεις περιπτώσεις, ανάλογα με το πού βρίσκεται το κέντρο $O$ σε σχέση με την εγγεγραμμένη γωνία $B\hat{A}\Gamma$ . Και στις τρεις περιπτώσεις το βασικό εργαλείο είναι το ίδιο: ένα ισοσκελές τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο ακτίνες, και η ιδιότητα ότι η εξωτερική γωνία ενός τριγώνου ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών του.

Περίπτωση 1 — Το κέντρο $O$ βρίσκεται πάνω σε μια πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας.

Το τρίγωνο $BOA$ είναι ισοσκελές, αφού $BO = AO$ (και οι δύο είναι ακτίνες). Άρα οι γωνίες βάσης του είναι ίσες:

B\hat{A}O = A\hat{B}O

Η επίκεντρη γωνία $B\hat{O}\Gamma$ είναι εξωτερική γωνία αυτού του ισοσκελούς τριγώνου, άρα ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών:

B\hat{O}\Gamma = B\hat{A}O + A\hat{B}O

Επειδή οι δύο γωνίες βάσης είναι ίσες, το άθροισμά τους είναι διπλάσιο της μίας:

B\hat{O}\Gamma = B\hat{A}O + A\hat{B}O = 2B\hat{A}O = 2B\hat{A}\Gamma

Περίπτωση 2 — Το κέντρο $O$ βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας.

Φέρνουμε την ευθεία $AO$ , η οποία χωρίζει την αρχική γωνία σε δύο κομμάτια και δημιουργεί δύο νέα ισοσκελή τρίγωνα, τα $AO\Gamma$ και $BOA$ . Η επίκεντρη γωνία $B\hat{O}\Gamma$ χωρίζεται αντίστοιχα σε δύο γωνίες $\hat{x}_1$ και $\hat{x}_2$ , καθεμιά εξωτερική γωνία ενός από τα δύο ισοσκελή τρίγωνα:

\hat{x}_1 = \hat{A}_1 + \hat{\Gamma} = 2\hat{A}_1

\hat{x}_2 = \hat{A}_2 + \hat{B} = 2\hat{A}_2

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο σχέσεις:

\hat{x}_1 + \hat{x}_2 = 2\hat{A}_1 + 2\hat{A}_2 = 2(\hat{A}_1 + \hat{A}_2) \Rightarrow B\hat{O}\Gamma = 2B\hat{A}\Gamma

Περίπτωση 3 — Το κέντρο $O$ βρίσκεται στο εξωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας.

Φέρνουμε πάλι την ευθεία $AO$ , η οποία τέμνει τον κύκλο και σε ένα δεύτερο σημείο $A'$ . Το τρίγωνο $BOA$ είναι ισοσκελές ( $BO = AO$ ), οπότε:

B\hat{A}O = A\hat{B}O

Η γωνία $B\hat{O}A'$ είναι εξωτερική του τριγώνου $BOA$ :

B\hat{O}A' = B\hat{A}O + A\hat{B}O = 2B\hat{A}O

Παρατηρούμε επιπλέον ότι $B\hat{A}O = B\hat{A}\Gamma + \Gamma\hat{A}O$ , και ότι η γωνία $\Gamma\hat{O}A'$ (εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου $\Gamma OA$ ) ικανοποιεί $\Gamma\hat{O}A' = 2\Gamma\hat{A}A'$ . Συνδυάζοντας:

B\hat{O}A' = 2B\hat{A}O = 2B\hat{A}\Gamma + \Gamma\hat{O}A'

\Rightarrow B\hat{O}A' - \Gamma\hat{O}A' = 2B\hat{A}\Gamma \Rightarrow B\hat{O}\Gamma = 2B\hat{A}\Gamma

Και στις τρεις περιπτώσεις καταλήγουμε στο ίδιο συμπέρασμα, οπότε το θεώρημα ισχύει ανεξάρτητα από τη θέση του κέντρου.

Πορίσματα του θεωρήματος

Από το θεώρημα προκύπτουν άμεσα πέντε σημαντικά συμπεράσματα, που χρησιμοποιούνται συνέχεια στην επίλυση προβλημάτων.

Πόρισμα 1

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της.

Αυτό είναι απλώς μια αναδιατύπωση του θεωρήματος, αφού το μέτρο του τόξου ορίζεται ως το μέτρο της επίκεντρης γωνίας του — οπότε «μισό της επίκεντρης» και «μισό του τόξου» σημαίνουν το ίδιο πράγμα.

Πόρισμα 2 - Γωνία σε ημικύκλιο

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή ( $90°$ ).

Αυτό προκύπτει άμεσα από το θεώρημα: το ημικύκλιο έχει μέτρο $180°$ (είναι ευθεία γωνία ως επίκεντρη), άρα κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε αυτό έχει μέτρο $\frac{180°}{2} = 90°$ .

Πόρισμα 3

Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι ίσες μεταξύ τους.

Ο λόγος είναι ότι όλες αυτές οι εγγεγραμμένες γωνίες έχουν την ίδια αντίστοιχη επίκεντρη γωνία (αφού βαίνουν στο ίδιο τόξο), οπότε είναι όλες ίσες με το μισό του ίδιου ακριβώς μέτρου.

Πόρισμα 4

Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ίσα τόξα ίσων κύκλων, ή του ίδιου κύκλου, είναι ίσες μεταξύ τους — και αντίστροφα.

Αυτό γενικεύει το Πόρισμα 3: δεν χρειάζεται να είναι το ίδιο τόξο, αρκεί τα τόξα να είναι ίσα (σε ίδιο ή ίσους κύκλους), αφού ίσα τόξα σημαίνουν ίσες επίκεντρες, άρα ίσες και οι μισές τους.

Πόρισμα 5

Τόξα που περιέχονται ανάμεσα σε δύο παράλληλες χορδές είναι ίσα.

Συνηθισμένο λάθος

Μην περιμένεις να δεις πάντα το κέντρο σχεδιασμένο ή σημειωμένο σε ένα σχήμα. Πριν εφαρμόσεις το θεώρημα ή κάποιο πόρισμα, βεβαιώσου πρώτα ποια γωνία είναι εγγεγραμμένη (κορυφή πάνω στον κύκλο) και ποια επίκεντρη (κορυφή στο κέντρο) — και ότι πραγματικά βαίνουν στο ίδιο τόξο. Δύο γωνίες που βαίνουν σε διαφορετικά τόξα δεν συνδέονται από τη σχέση «διπλάσιο - μισό».

Εφαρμογή σε υπολογισμούς

Η σχέση $B\hat{O}\Gamma = 2 \cdot B\hat{A}\Gamma$ λύνεται εύκολα ως προς όποιο από τα δύο μεγέθη ζητείται.

Παράδειγμα 1. Σε κύκλο με κέντρο $O$ , η εγγεγραμμένη γωνία $B\hat{A}\Gamma = 62°$ βαίνει στο ίδιο τόξο $B\Gamma$ με την επίκεντρη γωνία $B\hat{O}\Gamma = x$ . Να βρεθεί το $x$ .

Από τη σχέση εγγεγραμμένης - επίκεντρης:

B\hat{A}\Gamma = \frac{B\hat{O}\Gamma}{2} \Rightarrow 62° = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 124°

Παράδειγμα 2. Σε κύκλο με κέντρο $O$ , τέσσερα σημεία $A$ , $B$ , $\Gamma$ , $\Delta$ βρίσκονται πάνω στον κύκλο. Η εγγεγραμμένη γωνία στην κορυφή $A$ που βαίνει στο τόξο $B\Gamma$ είναι $52°$ , και η εγγεγραμμένη γωνία στην κορυφή $\Delta$ που βαίνει στο ίδιο τόξο $B\Gamma$ είναι $31°$ . Ζητούνται οι γωνίες $x = A\hat{\Gamma}B$ και $y = \Gamma\hat{B}\Delta$ , όπου η $x$ βαίνει στο τόξο $AB$ και η $y$ βαίνει στο τόξο $\Gamma\Delta$ .

Οι γωνίες $A\hat{\Gamma}B$ και $A\hat{\Delta}B$ είναι και οι δύο εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο $AB$ , άρα είναι ίσες (Πόρισμα 3). Επομένως:

x = A\hat{\Delta}B = 31°

Ομοίως, οι γωνίες $\Gamma\hat{A}\Delta$ και $\Gamma\hat{B}\Delta$ είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο $\Gamma\Delta$ , άρα είναι ίσες:

y = \Gamma\hat{A}\Delta = 52°

Και στα δύο παραδείγματα, το μόνο που χρειάστηκε ήταν να αναγνωρίσουμε ποιο τόξο συνδέει τις γωνίες — μόλις αυτό είναι σαφές, η σχέση εγγεγραμμένης - επίκεντρης ή η ισότητα γωνιών στο ίδιο τόξο δίνει την απάντηση απευθείας.