Η σκακιέρα είναι έτοιμη και εσύ κάνεις την πρώτη σου κίνηση. Ξεκινάς με επανάληψη και πραγματικούς αριθμούς, στήνοντας προσεκτικά τη στρατηγική σου. Η τριγωνομετρία και ο κύκλος σου δίνουν τον έλεγχο, ενώ τα διανύσματα κατευθύνουν κάθε σου επιλογή. Και τότε έρχεται η στιγμή που αλλάζει το παιχνίδι. Η συνάρτηση γίνεται το δυνατό σου check και με εξισώσεις και ανισώσεις σχεδιάζεις την τελική σου επίθεση. Λίγες σωστές κινήσεις ακόμα και η παρτίδα τελειώνει με "ματ". Μπες στα μαθηματικά και παίξε για τη νίκη... ♟️

Μαθηματικά Α' Λυκείου (Κοινού Κορμού)

# 🔵 Τόξο Κύκλου και Ημικύκλιο

:tooltip[Τόξο]{content="Μέρος του κύκλου μεταξύ δύο σημείων"} κύκλου: κάθε μέρος του κύκλου που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων του.

Τα σημεία \(A\) και \(B\) χωρίζουν τον κύκλο σε δύο τόξα: \(\widehat{AMB}\) και \(\widehat{ANB}\).

:::fact{title="Ημικύκλιο"}
Η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα που ονομάζονται :tooltip[ημικύκλια]{content="Τα δύο ίσα μέρη ενός κύκλου όταν χωρίζεται από μια διάμετρο"}.
:::

# 📐 Επίκεντρη Γωνία και Μέτρο Τόξου

:tooltip[Επίκεντρη γωνία]{content="Γωνία με κορυφή στο κέντρο του κύκλου"}: γωνία με κορυφή στο κέντρο του κύκλου.

:tooltip[Αντίστοιχο τόξο]{content="Το τόξο που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας επίκεντρης γωνίας"}: το τόξο στο εσωτερικό της επίκεντρης γωνίας.

**Μέτρο τόξου** = μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας (σε μοίρες).

:::fact{title="Ιδιότητες"}
- Ίσες επίκεντρες γωνίες \(\Leftrightarrow\) ίσα τόξα
- Ίσα τόξα \(\Leftrightarrow\) ίσες χορδές
:::

# 🌟 Εγγεγραμμένη Γωνία - Ορισμός

:::fact{title="Ορισμός"}
**Εγγεγραμμένη γωνία** κύκλου: γωνία με κορυφή σημείο του κύκλου και πλευρές :tooltip[τέμνουσες]{content="Ευθείες που τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία"} του κύκλου.
:::

- Η γωνία \(B\hat{A}\Gamma\) **βαίνει** στο :tooltip[αντίστοιχο τόξο]{content="Το τόξο στο οποίο βαίνει η εγγεγραμμένη γωνία"} \(B\Gamma\)
- Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν **άπειρες** εγγεγραμμένες γωνίες
- Σε κάθε τόξο αντιστοιχεί **μόνο μία** επίκεντρη γωνία

# ⭐ Θεώρημα Εγγεγραμμένης - Επίκεντρης Γωνίας

:::fact{title="Θεώρημα"}
Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το **μισό** του μέτρου της αντίστοιχης επίκεντρής της:

\[B\hat{O}\Gamma = 2 \cdot B\hat{A}\Gamma\]
:::

**Απόδειξη** (3 περιπτώσεις ανάλογα με τη θέση του κέντρου \(O\)):

1. Το \(O\) ανήκει σε πλευρά της εγγεγραμμένης - χρήση εξωτερικής γωνίας ισοσκελούς τριγώνου
2. Το \(O\) στο εσωτερικό - φέρουμε ευθεία \(AO\) και προσθέτουμε κατά μέλη
3. Το \(O\) στο εξωτερικό - φέρουμε ευθεία \(AO\) και αφαιρούμε κατά μέλη

# 📋 Πόρισμα 1 και 2

:::fact{title="Πόρισμα 1"}
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το **μισό** του μέτρου του αντίστοιχού της τόξου.
:::

:::fact{title="Πόρισμα 2 - Γωνία σε ημικύκλιο"}
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε :tooltip[ημικύκλιο]{content="Τόξο 180° - η μισή περιφέρεια"} είναι **ορθή** (\(90°\)).

Η αντίστοιχη επίκεντρη είναι \(180°\), άρα η εγγεγραμμένη είναι \(\frac{180°}{2} = 90°\).
:::

# 📋 Πορίσματα 3, 4 και 5

:::fact{title="Πόρισμα 3"}
Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο **ίδιο τόξο** είναι **ίσες** μεταξύ τους.
:::

:::fact{title="Πόρισμα 4"}
Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε **ίσα τόξα** ίσων κύκλων ή του ίδιου κύκλου είναι **ίσες** και αντίστροφα.
:::

:::fact{title="Πόρισμα 5"}
Τόξα μεταξύ δύο **παράλληλων χορδών** είναι **ίσα**.
:::

01. Βασική Θεωρία

Τι είναι το τόξο κύκλου, πώς ονομάζονται τα δύο τόξα που ορίζουν δύο σημεία, και γιατί η διάμετρος δημιουργεί δύο ίσα ημικύκλια.

Τόξα και ημικύκλια

Ο ορισμός της επίκεντρης γωνίας, πώς ορίζεται το μέτρο ενός τόξου μέσω αυτής, και η σχέση ίσων γωνιών με ίσα τόξα και ίσες χορδές.

Επίκεντρη γωνία και μέτρο τόξου

Ο ορισμός της εγγεγραμμένης γωνίας, τι σημαίνει να βαίνει σε ένα τόξο, και η διαφορά της από την επίκεντρη γωνία ως προς την κορυφή.

Η εγγεγραμμένη γωνία

Η θεμελιώδης σχέση που συνδέει το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας με το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρής της.

Το θεώρημα της εγγεγραμμένης - επίκεντρης γωνίας

Πώς αποδεικνύεται η σχέση εγγεγραμμένης-επίκεντρης γωνίας στις τρεις πιθανές θέσεις του κέντρου ως προς τη γωνία.

Η απόδειξη του θεωρήματος

Πέντε βασικά συμπεράσματα που προκύπτουν από το θεώρημα, όπως η ορθή γωνία σε ημικύκλιο και οι ίσες γωνίες στο ίδιο τόξο.

Πορίσματα του θεωρήματος

Λυμένα παραδείγματα υπολογισμού άγνωστων γωνιών με χρήση της σχέσης εγγεγραμμένης-επίκεντρης και της ισότητας γωνιών στο ίδιο τόξο.

Εφαρμογή σε υπολογισμούς

# Εγγεγραμμένες - Επίκεντρες γωνίες

## 📌 Υπενθύμιση βασικών εννοιών από το Γυμνάσιο

### 🔵 Τόξο κύκλου

:tooltip[Τόξο]{content="Μέρος του κύκλου μεταξύ δύο σημείων"} κύκλου ονομάζεται κάθε μέρος του κύκλου που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων του.

Τα σημεία \(A\) και \(B\) χωρίζουν τον κύκλο σε δύο τόξα. Τα δύο τόξα συμβολίζονται \(\widehat{AMB}\) και \(\widehat{ANB}\), όπου \(M\) και \(N\) είναι ενδιάμεσα σημεία των αντίστοιχων τόξων.

:::fact{title="Ημικύκλιο"}
Η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα που ονομάζονται :tooltip[ημικύκλια]{content="Τα δύο ίσα μέρη ενός κύκλου όταν χωρίζεται από μια διάμετρο"}.
:::

### 🔵 Επίκεντρη γωνία

:tooltip[Επίκεντρη γωνία]{content="Γωνία με κορυφή στο κέντρο του κύκλου"} ονομάζεται κάθε γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου.

### 🔵 Αντίστοιχο τόξο

:tooltip[Αντίστοιχο τόξο]{content="Το τόξο που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας επίκεντρης γωνίας"} της επίκεντρης γωνίας ονομάζεται το τόξο του κύκλου που βρίσκεται στο εσωτερικό μιας επίκεντρης γωνίας.

### 🔵 Μέτρο τόξου

Μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. Το μέτρο ενός τόξου το μετράμε σε μοίρες.

> 💡 Για παράδειγμα: \(\widehat{B\Gamma} = x\hat{O}y = 50°\)

### 🔵 Σχέση επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου

Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους:

:::fact{title="Ιδιότητες επίκεντρων γωνιών και τόξων"}
- ➡️ Σε **ίσες επίκεντρες γωνίες** αντιστοιχούν **ίσα τόξα** και αντίστροφα.
- ➡️ Σε **ίσα τόξα** αντιστοιχούν **ίσες χορδές** και αντίστροφα.
:::

---

## 📐 Εγγεγραμμένη γωνία κύκλου

:::fact{title="Ορισμός: Εγγεγραμμένη γωνία"}
**Εγγεγραμμένη γωνία κύκλου** ονομάζεται η γωνία που η κορυφή της είναι σημείο του κύκλου και οι πλευρές της είναι :tooltip[τέμνουσες]{content="Ευθείες που τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία"} του κύκλου.
:::

### Παρατηρήσεις

- Αν \(B\) και \(\Gamma\) είναι τα σημεία τομής της \(x\hat{A}y\) με τον κύκλο, τότε θα λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία \(BA\Gamma\) **βαίνει** στο τόξο \(B\Gamma\).
- Το τόξο \(B\Gamma\) ονομάζεται :tooltip[αντίστοιχο τόξο]{content="Το τόξο στο οποίο βαίνει η εγγεγραμμένη γωνία"} της εγγεγραμμένης γωνίας.
- Σε κάθε τόξο αντιστοιχούν **άπειρες** εγγεγραμμένες γωνίες.
- Σε κάθε εγγεγραμμένη γωνία \(AB\Gamma\) αντιστοιχεί **μία μόνο** επίκεντρη γωνία \(AK\Gamma\), η οποία ονομάζεται :tooltip[αντίστοιχη επίκεντρη]{content="Η μοναδική επίκεντρη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο"} της εγγεγραμμένης.
- Σε κάθε τόξο αντιστοιχεί **μόνο μία** επίκεντρη γωνία.

---

## 🌟 Θεώρημα Εγγεγραμμένης - Επίκεντρης γωνίας

:::fact{title="Θεώρημα"}
Το μέτρο κάθε εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου της αντίστοιχης επίκεντρής της.
:::

Δηλαδή, αν \(B\hat{A}\Gamma\) είναι εγγεγραμμένη γωνία και \(B\hat{O}\Gamma\) η αντίστοιχη επίκεντρη:

\[
\boxed{B\hat{O}\Gamma = 2 \cdot B\hat{A}\Gamma}
\]

### Απόδειξη 📜

Έστω κύκλος \((O, R)\) και ένα τόξο του \(B\Gamma\). Θεωρούμε την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία \(B\hat{O}\Gamma\) και σημείο \(A\) του κύκλου που δεν ανήκει στο τόξο \(B\Gamma\). Θα αποδείξουμε ότι \(B\hat{O}\Gamma = 2B\hat{A}\Gamma\).

Διακρίνουμε τις πιο κάτω περιπτώσεις:

**Περίπτωση 1:** Το κέντρο \(O\) ανήκει σε μια πλευρά της εγγεγραμμένης γωνίας \(B\hat{A}\Gamma\).

Το τρίγωνο \(BOA\) είναι ισοσκελές, με \(BO = AO\) (ακτίνες). Άρα:

\[
B\hat{A}O = A\hat{B}O
\]

Η επίκεντρη γωνία \(B\hat{O}\Gamma\) είναι εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου \(BOA\). Επομένως, ισχύει ότι:

\[
B\hat{O}\Gamma = B\hat{A}O + A\hat{B}O
\]

Από τις δύο πιο πάνω σχέσεις παίρνουμε ότι:

\[
B\hat{O}\Gamma = B\hat{A}O + A\hat{B}O = 2B\hat{A}O = 2B\hat{A}\Gamma
\]

**Περίπτωση 2:** Το κέντρο \(O\) βρίσκεται στο εσωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας \(B\hat{A}\Gamma\).

Φέρουμε την ευθεία \(AO\). Παρατηρούμε ότι δημιουργούνται δύο ισοσκελή τρίγωνα, τα \(AO\Gamma\) και \(BOA\). Η επίκεντρη γωνία \(B\hat{O}\Gamma\) χωρίζεται σε δύο γωνίες, τις \(\hat{x}_1\) και \(\hat{x}_2\), οι οποίες είναι εξωτερικές γωνίες των ισοσκελών τριγώνων \(AO\Gamma\) και \(BOA\), αντίστοιχα. Έχουμε:

\[
\hat{x}_1 = \hat{A}_1 + \hat{\Gamma} = 2\hat{A}_1
\]

\[
\hat{x}_2 = \hat{A}_2 + \hat{B} = 2\hat{A}_2
\]

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο πιο πάνω εξισώσεις, έχουμε:

\[
\hat{x}_1 + \hat{x}_2 = 2\hat{A}_1 + 2\hat{A}_2 = 2(\hat{A}_1 + \hat{A}_2) \Rightarrow B\hat{O}\Gamma = 2B\hat{A}\Gamma
\]

**Περίπτωση 3:** Το κέντρο \(O\) βρίσκεται στο εξωτερικό της εγγεγραμμένης γωνίας \(B\hat{A}\Gamma\).

Φέρουμε την ευθεία \(AO\), η οποία τέμνει ξανά τον κύκλο \((O, R)\) στο σημείο \(A'\). Το τρίγωνο \(BOA\) είναι ισοσκελές, με \(BO = AO\). Άρα:

\[
B\hat{A}O = A\hat{B}O
\]

Η επίκεντρη γωνία \(B\hat{O}A'\) είναι εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου \(BOA\). Επομένως, ισχύει ότι:

\[
B\hat{O}A' = B\hat{A}O + A\hat{B}O
\]

Επιπλέον, ισχύει:

\[
\Gamma\hat{O}A' = 2\Gamma\hat{A}A'
\]

Από τις πιο πάνω σχέσεις παίρνουμε ότι:

\[
B\hat{O}A' = B\hat{A}O + A\hat{B}O = 2B\hat{A}O = 2B\hat{A}\Gamma + \Gamma\hat{O}A'
\]

\[
\Rightarrow B\hat{O}A' - \Gamma\hat{O}A' = 2B\hat{A}\Gamma \Rightarrow B\hat{O}\Gamma = 2B\hat{A}\Gamma
\]

---

## 📋 Πορίσματα

Από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτουν τα ακόλουθα σημαντικά πορίσματα:

:::fact{title="Πόρισμα 1"}
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχού της τόξου.
:::

:::fact{title="Πόρισμα 2 - Γωνία σε ημικύκλιο 🎯"}
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε :tooltip[ημικύκλιο]{content="Τόξο 180° - η μισή περιφέρεια του κύκλου"} είναι **ορθή** (\(90°\)).

> 💡 Αυτό συμβαίνει γιατί η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία είναι ευθεία γωνία (\(180°\)), και η εγγεγραμμένη είναι το μισό: \(\frac{180°}{2} = 90°\).
:::

:::fact{title="Πόρισμα 3"}
Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο **ίδιο τόξο** είναι **ίσες** μεταξύ τους.

> 💡 Αυτό ισχύει γιατί έχουν την ίδια αντίστοιχη επίκεντρη, άρα το μισό του ίδιου μέτρου!
:::

:::fact{title="Πόρισμα 4"}
Εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε **ίσα τόξα ίσων κύκλων** ή του ίδιου κύκλου είναι **ίσες** μεταξύ τους και αντίστροφα.
:::

:::fact{title="Πόρισμα 5"}
Τόξα που περιέχονται μεταξύ δύο **παράλληλων χορδών** είναι **ίσα**.
:::

---

## 📝 Παραδείγματα

### Παράδειγμα 1 🔍

**Να υπολογίσετε τη γωνία \(x\) στο πιο κάτω σχήμα:**

Δίνεται κύκλος με κέντρο \(O\). Η εγγεγραμμένη γωνία \(B\hat{A}\Gamma = 62°\) και ζητείται η επίκεντρη γωνία \(B\hat{O}\Gamma = x\).

**Λύση:**

Η εγγεγραμμένη γωνία \(B\hat{A}\Gamma\) βαίνει στο μικρό τόξο \(B\Gamma\). Επίσης, η επίκεντρη γωνία \(B\hat{O}\Gamma\) βαίνει στο μικρό τόξο \(B\Gamma\). Επομένως, από τη σχέση εγγεγραμμένης-επίκεντρης έχουμε:

\[
B\hat{A}\Gamma = \frac{B\hat{O}\Gamma}{2}
\]

\[
\Rightarrow 62° = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 124°
\]

### Παράδειγμα 2 🔍

**Να υπολογίσετε τις γωνίες \(x\) και \(y\) στο πιο κάτω σχήμα:**

Δίνεται κύκλος με κέντρο \(O\). Η εγγεγραμμένη γωνία στην κορυφή \(A\) είναι \(52°\), η εγγεγραμμένη γωνία στην κορυφή \(\Delta\) είναι \(31°\). Ζητούνται \(x = B\hat{\Gamma}B\) και \(y = \Gamma\hat{B}\Delta\).

**Λύση:**

Οι γωνίες \(A\hat{\Gamma}B\) και \(A\hat{\Delta}B\) είναι ίσες, γιατί είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο, το μικρό τόξο \(AB\).

Άρα, \(x = 31°\).

Οι γωνίες \(\Gamma\hat{A}\Delta\) και \(\Gamma\hat{B}\Delta\) είναι ίσες, γιατί είναι εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο, το μικρό τόξο \(\Gamma\Delta\).

Άρα, \(y = 52°\).
