Τριγωνομετρικές ταυτότητες 🔗

Τι είναι μια τριγωνομετρική ταυτότητα

Ένας τριγωνομετρικός αριθμός μιας γωνίας δεν στέκεται μόνος του· συνδέεται με τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς της ίδιας γωνίας μέσα από σχέσεις που ισχύουν πάντα, ανεξάρτητα από το πόση είναι η γωνία. Μια τέτοια σχέση λέγεται τριγωνομετρική ταυτότητα.

Η διαφορά από μια συνηθισμένη εξίσωση είναι ουσιώδης: μια εξίσωση όπως $\text{ημ}\omega = \frac{1}{2}$ ισχύει μόνο για συγκεκριμένες γωνίες, ενώ μια ταυτότητα ισχύει για όλες τις γωνίες για τις οποίες έχουν νόημα οι εκφράσεις της. Αυτό τις κάνει εργαλεία γενικής χρήσης: μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε για να απλοποιήσουμε μια παράσταση, να αποδείξουμε μια άλλη σχέση, ή να υπολογίσουμε έναν άγνωστο τριγωνομετρικό αριθμό όταν γνωρίζουμε έναν άλλον.

Γιατί υπάρχουν αυτές οι σχέσεις

Το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας δεν είναι ανεξάρτητα μεγέθη — όλα ορίζονται από το ίδιο σημείο πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο. Επειδή προέρχονται από την ίδια πηγή, είναι αναμενόμενο να συνδέονται μεταξύ τους με σταθερές σχέσεις.

Η Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα

Η πιο θεμελιώδης από όλες τις τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι:

\text{ημ}^2\omega + \text{συν}^2\omega = 1

Ισχύει για κάθε γωνία $\omega$ , χωρίς καμία εξαίρεση. Ονομάζεται Πυθαγόρεια επειδή προκύπτει ακριβώς από το Πυθαγόρειο θεώρημα, εφαρμοσμένο πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο.

Γιατί ισχύει

Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο, δηλαδή τον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με 1. Έστω ότι η τελική πλευρά μιας γωνίας $\omega$ τέμνει τον κύκλο στο σημείο $M(\alpha, \beta)$ . Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο, οι συντεταγμένες του $M$ είναι ακριβώς το συνημίτονο και το ημίτονο της γωνίας:

\alpha = \text{συν}\omega, \quad \beta = \text{ημ}\omega

Το σημείο $M$ απέχει απόσταση 1 από την αρχή $O$ , αφού βρίσκεται πάνω στον κύκλο ακτίνας 1. Δηλαδή $OM = 1$ . Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα (ή απλώς τον τύπο απόστασης δύο σημείων) στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν το $M$ , η προβολή του πάνω στον άξονα $x$ και η αρχή $O$ , παίρνουμε:

(OM)^2 = \alpha^2 + \beta^2 \Rightarrow 1 = \alpha^2 + \beta^2

Αντικαθιστώντας τα $\alpha$ και $\beta$ με το συνημίτονο και το ημίτονο, καταλήγουμε στην ταυτότητα:

\text{συν}^2\omega + \text{ημ}^2\omega = 1

Επειδή το σημείο $M$ βρίσκεται πάντα πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο — όσο κι αν αλλάζει η γωνία $\omega$ — η απόσταση $OM$ παραμένει πάντα 1. Γι' αυτό η ταυτότητα ισχύει χωρίς καμία εξαίρεση, για οποιαδήποτε γωνία.

Ο ρόλος της ακτίνας 1

Το ότι ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει ακτίνα ακριβώς 1 δεν είναι τυχαίο: είναι αυτό που κάνει την Πυθαγόρεια ταυτότητα να βγαίνει τόσο απλή, με το 1 στο δεξί μέλος. Αν η ακτίνα ήταν διαφορετική, η σχέση θα περιείχε το τετράγωνο της ακτίνας αντί για το 1.

Οι παραλλαγές της

Από τη βασική ταυτότητα μπορούμε να λύσουμε ως προς οποιονδήποτε από τους δύο όρους, κρατώντας τον άλλον στο δεύτερο μέλος:

\text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta

\text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta

Αυτές οι δύο μορφές είναι εξίσου σημαντικές με την αρχική ταυτότητα, γιατί είναι αυτές που χρησιμοποιούμε στην πράξη: όταν γνωρίζουμε τον έναν τριγωνομετρικό αριθμό μιας γωνίας, μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε το τετράγωνο του άλλου.

Η ταυτότητα δίνει το τετράγωνο, όχι το πρόσημο

Λύνοντας $\text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta$ και παίρνοντας τετραγωνική ρίζα, προκύπτει $\text{ημ}\theta = \pm\sqrt{1 - \text{συν}^2\theta}$ . Το πρόσημο δεν το δίνει η ταυτότητα — το καθορίζει το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. Παραλείποντας αυτό το βήμα είναι το πιο συχνό λάθος σε αυτού του είδους τις ασκήσεις.

Οι ταυτότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης

Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας γωνίας δεν είναι ανεξάρτητες έννοιες· ορίζονται μέσα από το ημίτονο και το συνημίτονο της ίδιας γωνίας:

\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}, \quad \text{συν}\omega \neq 0

\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}, \quad \text{ημ}\omega \neq 0

Γιατί ισχύουν

Στον τριγωνομετρικό κύκλο, με το σημείο $M(\alpha, \beta)$ όπως πριν, ο λόγος $\frac{\beta}{\alpha}$ εκφράζει ακριβώς την κλίση της τελικής πλευράς της γωνίας ως προς τον άξονα $x$ — κι αυτό είναι, εξ ορισμού, η εφαπτομένη της γωνίας:

\text{εφ}\omega = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}

Η συνεφαπτομένη ορίζεται ως ο αντίστροφος λόγος:

\text{σφ}\omega = \frac{1}{\text{εφ}\omega} = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}

Επειδή και οι δύο σχέσεις είναι κλάσματα, χρειάζονται περιορισμούς ώστε ο παρονομαστής να μην μηδενίζεται.

Πότε δεν ορίζονται οι ταυτότητες

Η $\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}$ δεν ορίζεται όταν $\text{συν}\omega = 0$ , δηλαδή για $\omega = 90°, 270°$ κ.λπ.
Η $\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}$ δεν ορίζεται όταν $\text{ημ}\omega = 0$ , δηλαδή για $\omega = 0°, 180°, 360°$ κ.λπ.
Αντίθετα, η Πυθαγόρεια ταυτότητα $\text{ημ}^2\omega + \text{συν}^2\omega = 1$ ισχύει πάντα, χωρίς καμία εξαίρεση — δεν έχει παρονομαστή που να μπορεί να μηδενιστεί.

Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών από έναν γνωστό

Ένα από τα πιο συνηθισμένα προβλήματα είναι το εξής: γνωρίζουμε έναν τριγωνομετρικό αριθμό μιας γωνίας και το τεταρτημόριο στο οποίο ανήκει η γωνία, και ζητείται να βρούμε τους υπόλοιπους. Η μέθοδος ακολουθεί πάντα την ίδια λογική πορεία:

Χρησιμοποιούμε την Πυθαγόρεια ταυτότητα (ή μια παραλλαγή της) για να βρούμε το τετράγωνο του δεύτερου τριγωνομετρικού αριθμού.
Παίρνουμε τετραγωνική ρίζα, κρατώντας προσωρινά και τις δύο πιθανές τιμές (θετική και αρνητική).
Χρησιμοποιούμε το τεταρτημόριο για να αποφασίσουμε ποιο πρόσημο είναι το σωστό.
Υπολογίζουμε την εφαπτομένη ή τη συνεφαπτομένη από τους τύπους που τις συνδέουν με το ημίτονο και το συνημίτονο.

Παράδειγμα σε γωνία του 1ου τεταρτημορίου

Εκφώνηση: Αν $\text{συν}\theta = \frac{5}{13}$ και $0° < \theta < 90°$ , να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $\theta$ .

Λύση:

Από την Πυθαγόρεια ταυτότητα:

\text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}

\Rightarrow \text{ημ}\theta = \pm\frac{12}{13}

Η γωνία $\theta$ βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο, όπου όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί. Άρα κρατάμε τη θετική τιμή:

\text{ημ}\theta = \frac{12}{13}

Στη συνέχεια:

\text{εφ}\theta = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{1}{\text{εφ}\theta} = \frac{5}{12}

Παράδειγμα σε γωνία του 2ου τεταρτημορίου

Εκφώνηση: Αν $\text{ημ}\theta = \frac{3}{5}$ και $90° < \theta < 180°$ , να υπολογιστούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $\theta$ .

Λύση:

Από την Πυθαγόρεια ταυτότητα:

\text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

\Rightarrow \text{συν}\theta = \pm\frac{4}{5}

Η γωνία $\theta$ βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο, όπου το συνημίτονο είναι αρνητικό. Άρα κρατάμε την αρνητική τιμή:

\text{συν}\theta = -\frac{4}{5}

Γιατί το συνημίτονο είναι αρνητικό εδώ

Στον τριγωνομετρικό κύκλο, το συνημίτονο μιας γωνίας ταυτίζεται με την τετμημένη $x$ του αντίστοιχου σημείου. Στο 2ο τεταρτημόριο η τετμημένη κάθε σημείου είναι αρνητική, άρα το συνημίτονο κάθε γωνίας εκεί είναι κι αυτό αρνητικό. Το ημίτονο, αντίθετα, παραμένει θετικό στο 2ο τεταρτημόριο, αφού αντιστοιχεί στην τεταγμένη $y$ , που εκεί είναι θετική.

Στη συνέχεια:

\text{εφ}\theta = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{1}{\text{εφ}\theta} = -\frac{4}{3}

Απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων

Πέρα από το να χρησιμοποιούμε τις βασικές ταυτότητες για υπολογισμούς, συχνά μας ζητείται να αποδείξουμε μια νέα ταυτότητα, δηλαδή να δείξουμε ότι μια ισότητα με τριγωνομετρικούς αριθμούς ισχύει για κάθε γωνία. Η απόδειξη ακολουθεί μια σταθερή στρατηγική:

Στρατηγική απόδειξης

Ξεκινάμε από το πιο πολύπλοκο μέλος της ισότητας (αυτό με τους περισσότερους όρους ή τα πιο σύνθετα κλάσματα).
Μετατρέπουμε κάθε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε ημίτονα και συνημίτονα, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις $\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}$ και $\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}$ .
Απλοποιούμε την παράσταση, χρησιμοποιώντας όπου χρειάζεται την Πυθαγόρεια ταυτότητα $\text{ημ}^2\omega + \text{συν}^2\omega = 1$ .
Καταλήγουμε στη μορφή του άλλου μέλους, ολοκληρώνοντας την απόδειξη.

Η λογική πίσω από αυτή τη στρατηγική είναι απλή: το ημίτονο και το συνημίτονο είναι οι δύο «θεμελιώδεις» τριγωνομετρικοί αριθμοί, αφού όλοι οι υπόλοιποι ορίζονται μέσω αυτών. Ανάγοντας τα πάντα σε αυτούς τους δύο, μειώνουμε το πρόβλημα σε μια απλή αλγεβρική απλοποίηση, όπου η μόνη «ειδική» σχέση που χρειάζεται είναι η Πυθαγόρεια ταυτότητα.

Παράδειγμα απόδειξης

Εκφώνηση: Να αποδειχθεί ότι $\text{εφ}x + \text{σφ}x = \frac{1}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x}$ .

Λύση:

Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος, που είναι το πιο πολύπλοκο, και προσπαθούμε να φτάσουμε στο δεύτερο:

\text{εφ}x + \text{σφ}x = \frac{\text{ημ}x}{\text{συν}x} + \frac{\text{συν}x}{\text{ημ}x}

Φέρνουμε τα δύο κλάσματα σε κοινό παρονομαστή:

= \frac{\text{ημ}^2x + \text{συν}^2x}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x}

Ο αριθμητής είναι ακριβώς η Πυθαγόρεια ταυτότητα, άρα ισούται με 1:

= \frac{1}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x}

που είναι ακριβώς το δεύτερο μέλος. Η ταυτότητα αποδείχθηκε.

Γιατί η μέθοδος πετυχαίνει πάντα εδώ

Κάθε φορά που μια παράσταση περιέχει εφαπτομένη ή συνεφαπτομένη μαζί με πρόσθεση ή αφαίρεση, η μετατροπή σε ημίτονα και συνημίτονα με κοινό παρονομαστή σχεδόν πάντα αφήνει στον αριθμητή κάτι που θυμίζει (ή είναι ακριβώς) την Πυθαγόρεια ταυτότητα. Αναγνωρίζοντας αυτό το μοτίβο, οι αποδείξεις γίνονται προβλέψιμες.