Η σκακιέρα είναι έτοιμη και εσύ κάνεις την πρώτη σου κίνηση. Ξεκινάς με επανάληψη και πραγματικούς αριθμούς, στήνοντας προσεκτικά τη στρατηγική σου. Η τριγωνομετρία και ο κύκλος σου δίνουν τον έλεγχο, ενώ τα διανύσματα κατευθύνουν κάθε σου επιλογή. Και τότε έρχεται η στιγμή που αλλάζει το παιχνίδι. Η συνάρτηση γίνεται το δυνατό σου check και με εξισώσεις και ανισώσεις σχεδιάζεις την τελική σου επίθεση. Λίγες σωστές κινήσεις ακόμα και η παρτίδα τελειώνει με "ματ". Μπες στα μαθηματικά και παίξε για τη νίκη... ♟️

Μαθηματικά Α' Λυκείου (Κοινού Κορμού)

# 🎯 Τι είναι οι τριγωνομετρικές ταυτότητες;

Οι :tooltip[τριγωνομετρικές ταυτότητες]{content="Εξισώσεις που ισχύουν για κάθε τιμή της γωνίας, όχι μόνο για συγκεκριμένες γωνίες"} είναι σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών που ισχύουν **πάντα** (για κάθε γωνία όπου ορίζονται).

Είναι εξαιρετικά χρήσιμες για:
- Απλοποίηση παραστάσεων
- Απόδειξη άλλων σχέσεων
- Υπολογισμό αγνώστων τριγωνομετρικών αριθμών

# 🌟 Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα

:::fact{title="Θεμελιώδης ταυτότητα"}
\[\text{ημ}^2\omega + \text{συν}^2\omega = 1\]

Ισχύει για **κάθε** γωνία \(\omega\), χωρίς καμία εξαίρεση!
:::

Χρήσιμες :tooltip[παραλλαγές]{content="Εναλλακτικές μορφές που προκύπτουν με αναδιάταξη"}:

\[\text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta\]
\[\text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta\]

:::fact{title="Απόδειξη"}
Από τον τριγωνομετρικό κύκλο, αν \(M(a, \beta)\) σημείο με \(a = \text{συν}\omega\) και \(\beta = \text{ημ}\omega\), τότε \((OM)^2 = a^2 + \beta^2 = 1\), δηλαδή \(\text{συν}^2\omega + \text{ημ}^2\omega = 1\).
:::

# 📝 Ταυτότητες εφαπτομένης και συνεφαπτομένης

:::fact{title="Ταυτότητα εφαπτομένης"}
\[\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}, \quad \text{συν}\omega \neq 0\]
:::

:::fact{title="Ταυτότητα συνεφαπτομένης"}
\[\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}, \quad \text{ημ}\omega \neq 0\]
:::

:::alert{title="Πότε δεν ισχύουν"}
- \(\text{εφ}\omega\) δεν ορίζεται όταν \(\text{συν}\omega = 0\) (δηλ. \(\omega = 90°, 270°, ...\))
- \(\text{σφ}\omega\) δεν ορίζεται όταν \(\text{ημ}\omega = 0\) (δηλ. \(\omega = 0°, 180°, 360°, ...\))
- Η Πυθαγόρεια ταυτότητα ισχύει **πάντα**, χωρίς εξαιρέσεις!
:::

# ✏️ Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών με ταυτότητες

Αν γνωρίζουμε **έναν** τριγωνομετρικό αριθμό και το τεταρτημόριο, μπορούμε να βρούμε **όλους** τους υπόλοιπους.

:::fact{title="Παράδειγμα: 1ο τεταρτημόριο"}
Αν \(\text{συν}\theta = \frac{5}{13}\) και \(0° < \theta < 90°\):

\[\text{ημ}^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \Rightarrow \text{ημ}\theta = \frac{12}{13}\]
\[\text{εφ}\theta = \frac{12}{5}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{5}{12}\]
:::

:::fact{title="Παράδειγμα: 2ο τεταρτημόριο"}
Αν \(\text{ημ}\theta = \frac{3}{5}\) και \(90° < \theta < 180°\):

\[\text{συν}^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \text{συν}\theta = -\frac{4}{5}\]
\[\text{εφ}\theta = -\frac{3}{4}, \quad \text{σφ}\theta = -\frac{4}{3}\]

Το συν είναι αρνητικό γιατί στο 2ο τεταρτημόριο \(x < 0\).
:::

# 🧠 Στρατηγική απόδειξης ταυτοτήτων

:::fact{title="Βήματα απόδειξης"}
1. Ξεκινάμε από το **πιο πολύπλοκο μέλος**
2. Μετατρέπουμε τα πάντα σε **ημίτονα και συνημίτονα** χρησιμοποιώντας:
   - \(\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}\)
   - \(\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}\)
3. Χρησιμοποιούμε την **Πυθαγόρεια ταυτότητα** για απλοποίηση
4. Φτάνουμε στο **άλλο μέλος**
:::

Παράδειγμα: Απόδειξη ότι \(\text{εφ}x + \text{σφ}x = \frac{1}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x}\)

\[\text{εφ}x + \text{σφ}x = \frac{\text{ημ}x}{\text{συν}x} + \frac{\text{συν}x}{\text{ημ}x} = \frac{\text{ημ}^2x + \text{συν}^2x}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x} = \frac{1}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x}\]

01. Βασική Θεωρία

Ο ορισμός της τριγωνομετρικής ταυτότητας και η διαφορά της από μια συνηθισμένη εξίσωση με άγνωστη γωνία.

Τι είναι μια τριγωνομετρική ταυτότητα

Η θεμελιώδης σχέση ημ²ω + συν²ω = 1, η απόδειξή της μέσω του τριγωνομετρικού κύκλου και οι δύο βασικές παραλλαγές της.

Η Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα

Πώς η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη ορίζονται μέσω ημιτόνου και συνημιτόνου, και πότε αυτοί οι τύποι δεν ισχύουν.

Οι ταυτότητες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης

Η μέθοδος εύρεσης όλων των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας όταν γνωρίζουμε έναν από αυτούς και το τεταρτημόριό της.

Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών από έναν γνωστό

Η σταθερή στρατηγική απόδειξης νέων ταυτοτήτων μέσω αναγωγής σε ημίτονα και συνημίτονα, με πλήρες λυμένο παράδειγμα.

Απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων

# Τριγωνομετρικές ταυτότητες

## Εισαγωγή 🎯

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί συνδέονται μεταξύ τους με κάποιες σχέσεις τις οποίες ονομάζουμε :tooltip[τριγωνομετρικές ταυτότητες]{content="Εξισώσεις που ισχύουν για κάθε τιμή της γωνίας, όχι μόνο για συγκεκριμένες γωνίες"}. Αυτές οι ταυτότητες είναι εξαιρετικά χρήσιμες στην απλοποίηση παραστάσεων και στην απόδειξη άλλων σχέσεων.

## Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες 📝

:::fact{title="Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα"}
\[\text{ημ}^2\omega + \text{συν}^2\omega = 1\]

Αυτή είναι η πιο θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα! Ισχύει για **κάθε** γωνία \(\omega\). 🌟
:::

:::fact{title="Ταυτότητα εφαπτομένης"}
\[\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}, \quad \text{συν}\omega \neq 0\]
:::

:::fact{title="Ταυτότητα συνεφαπτομένης"}
\[\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}, \quad \text{ημ}\omega \neq 0\]
:::

## Απόδειξη 📐

:::fact{title="Απόδειξη των βασικών ταυτοτήτων"}
Στο πιο κάτω σχήμα, η \(OM\) είναι η τελική πλευρά της γωνίας \(\omega\) και \(M\) είναι η τομή της με τον τριγωνομετρικό κύκλο με συντεταγμένες \(M(a, \beta)\).

Έχουμε:

\[a = \text{συν}\omega, \quad \beta = \text{ημ}\omega, \quad \frac{\beta}{a} = \text{εφ}\omega\]

Επομένως:

\[\text{εφ}\omega = \frac{\beta}{a} = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}\]

Η συνεφαπτομένη της γωνίας \(\omega\) ορίζεται ως:

\[\text{σφ}\omega = \frac{1}{\text{εφ}\omega} = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}\]

Η τελική πλευρά της γωνίας \(\omega\) τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο \(M(a, \beta)\). Έχουμε ότι:

\[a = \text{συν}\omega, \quad \beta = \text{ημ}\omega, \quad OM = 1\]

\[(OM)^2 = \beta^2 + a^2 \Rightarrow 1 = \beta^2 + a^2\]

Έτσι:

\[\text{συν}^2\omega + \text{ημ}^2\omega = 1\]
:::

:::alert{title="Πότε δεν ισχύουν οι ταυτότητες"}
- Η ταυτότητα \(\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}\) **δεν ισχύει** όταν \(\text{συν}\omega = 0\), δηλαδή για \(\omega = 90°, 270°\) κ.λπ.
- Η ταυτότητα \(\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}\) **δεν ισχύει** όταν \(\text{ημ}\omega = 0\), δηλαδή για \(\omega = 0°, 180°, 360°\) κ.λπ.
- Η ταυτότητα \(\text{ημ}^2\omega + \text{συν}^2\omega = 1\) ισχύει **πάντα**, χωρίς εξαιρέσεις!
:::

## Χρήσιμες παραλλαγές της Πυθαγόρειας ταυτότητας 💡

Από τη βασική ταυτότητα \(\text{ημ}^2\theta + \text{συν}^2\theta = 1\) μπορούμε να εξάγουμε:

\[\text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta\]
\[\text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta\]

Αυτές οι μορφές είναι πολύ χρήσιμες όταν γνωρίζουμε τον έναν τριγωνομετρικό αριθμό και θέλουμε να βρούμε τον άλλον.

## Παράδειγμα - Απόδειξη παραλλαγών ✏️

**Εκφώνηση:** Να αποδείξετε ότι \(\text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta\) και \(\text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta\).

**Λύση:**

Γνωρίζουμε ότι \(\text{ημ}^2\theta + \text{συν}^2\theta = 1\).
Άρα, \(\text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta\) και \(\text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta\). ✅

## Παράδειγμα - Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών στο 1ο τεταρτημόριο ✏️

**Εκφώνηση:** Αν \(\text{συν}\theta = \frac{5}{13}\), \(0° < \theta < 90°\), να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \(\theta\).

**Λύση:**

Έχουμε ότι:

\[\text{ημ}^2\theta + \text{συν}^2\theta = 1 \Rightarrow \text{ημ}^2\theta = 1 - \text{συν}^2\theta \Rightarrow \text{ημ}^2\theta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169}\]

\[\Rightarrow \text{ημ}\theta = \pm\frac{12}{13}\]

Η τελική πλευρά της γωνίας \(\theta\) ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο (\(0° < \theta < 90°\)). Άρα:

\[\text{ημ}\theta = \frac{12}{13} \quad (\text{ημ}\theta > 0)\]

Ακολούθως, παίρνουμε ότι:

\[\text{εφ}\theta = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{1}{\text{εφ}\theta} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12}\]

## Παράδειγμα - Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών στο 2ο τεταρτημόριο ✏️

**Εκφώνηση:** Αν \(\text{ημ}\theta = \frac{3}{5}\), \(90° < \theta < 180°\), να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \(\theta\).

**Λύση:**

Έχουμε ότι:

\[\text{ημ}^2\theta + \text{συν}^2\theta = 1 \Rightarrow \text{συν}^2\theta = 1 - \text{ημ}^2\theta \Rightarrow \text{συν}^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}\]

\[\Rightarrow \text{συν}\theta = \pm\frac{4}{5}\]

Η τελική πλευρά της γωνίας \(\theta\) ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο (\(90° < \theta < 180°\)). Άρα:

\[\text{συν}\theta = -\frac{4}{5} \quad (\text{συν}\theta < 0)\]

:::alert{title="Γιατί αρνητικό;"}
Στο 2ο τεταρτημόριο, η τετμημένη \(x\) είναι αρνητική, επομένως και το συνημίτονο (που ισούται με \(x\) στον τριγωνομετρικό κύκλο) πρέπει να είναι αρνητικό!
:::

Ακολούθως, παίρνουμε ότι:

\[\text{εφ}\theta = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{1}{\text{εφ}\theta} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}\]

## Παράδειγμα - Απόδειξη ταυτότητας ✏️

**Εκφώνηση:** Να αποδείξετε την ταυτότητα:
\[\text{εφ}x + \text{σφ}x = \frac{1}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x}\]

**Λύση:**

Ξεκινάμε από το Α' μέλος και προσπαθούμε να φτάσουμε στο Β' μέλος:

\[\text{Α' μέλος} = \text{εφ}x + \text{σφ}x = \frac{\text{ημ}x}{\text{συν}x} + \frac{\text{συν}x}{\text{ημ}x} = \frac{\text{ημ}^2x + \text{συν}^2x}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x}\]

\[= \frac{1}{\text{ημ}x \cdot \text{συν}x} = \text{Β' μέλος}\]

:::fact{title="Στρατηγική απόδειξης ταυτοτήτων 🧠"}
Η βασική στρατηγική για την απόδειξη τριγωνομετρικών ταυτοτήτων είναι:
1. Ξεκινάμε από το **πιο πολύπλοκο μέλος**
2. Μετατρέπουμε τα πάντα σε **ημίτονα και συνημίτονα** χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες \(\text{εφ}\omega = \frac{\text{ημ}\omega}{\text{συν}\omega}\) και \(\text{σφ}\omega = \frac{\text{συν}\omega}{\text{ημ}\omega}\)
3. Χρησιμοποιούμε την **Πυθαγόρεια ταυτότητα** \(\text{ημ}^2\omega + \text{συν}^2\omega = 1\) για απλοποίηση
4. Φτάνουμε στο **άλλο μέλος**
:::
