Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας σε κανονική θέση 📐

Το πρόβλημα με τους παλιούς ορισμούς 🔺

Μέχρι τώρα, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη ορίζονταν μέσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αν το τρίγωνο έχει πλευρές $\alpha$ (υποτείνουσα), $\beta$ (απέναντι κάθετη πλευρά) και $\gamma$ (προσκείμενη κάθετη πλευρά), και $\omega$ είναι μία από τις οξείες γωνίες του, τότε:

\text{ημ}\omega = \frac{\beta}{\alpha}, \quad \text{συν}\omega = \frac{\gamma}{\alpha}, \quad \text{εφ}\omega = \frac{\beta}{\gamma}

Αυτός ο ορισμός λειτουργεί μόνο όταν η γωνία $\omega$ είναι οξεία, δηλαδή μικρότερη από $90°$ , αφού μόνο τέτοιες γωνίες χωράνε μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο. Όμως μια γωνία σε κανονική θέση μπορεί να έχει οποιοδήποτε μέτρο: $120°$ , $200°$ , $315°$ , ακόμα και αρνητικό μέτρο ή μέτρο μεγαλύτερο από $360°$ . Χρειαζόμαστε λοιπόν έναν ορισμό που να καλύπτει κάθε γωνία, όχι μόνο τις οξείες.

Η ιδέα για να το πετύχουμε αυτό είναι απλή: αντί να στηριχθούμε στις πλευρές ενός τριγώνου, θα στηριχθούμε στις συντεταγμένες ενός σημείου πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας.

Γενίκευση μέσω συντεταγμένων 🌟

Έστω γωνία $\theta$ σε κανονική θέση (δηλαδή με κορυφή την αρχή των αξόνων $O$ και αρχική πλευρά τον θετικό ημιάξονα $Ox$ ) και έστω $A(x, y)$ ένα οποιοδήποτε σημείο πάνω στην τελική της πλευρά, διαφορετικό από την αρχή $O(0,0)$ .

Η απόσταση του σημείου $A$ από το $O$ συμβολίζεται με $\rho$ και υπολογίζεται με το Πυθαγόρειο θεώρημα, αφού οι συντεταγμένες $x$ και $y$ του $A$ είναι ακριβώς οι δύο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται όταν φέρουμε την κάθετη από το $A$ στον άξονα $x'x$ :

\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \rho > 0

Παρατήρησε ότι $\rho$ είναι πάντα θετικός αριθμός, αφού εκφράζει μήκος· δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν, αφού το $A$ είναι διαφορετικό από το $O$ .

Μέσα σε αυτό το ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα έχει μήκος $\rho$ , και οι δύο κάθετες πλευρές έχουν μήκη $|x|$ και $|y|$ . Αν εφαρμόσουμε τους παλιούς ορισμούς σε αυτό το τρίγωνο, αλλά επιτρέποντας στα $x$ και $y$ να κρατούν το πρόσημό τους (αντί να παίρνουμε μόνο τα μήκη), καταλήγουμε στον γενικευμένο ορισμό:

\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho}, \quad \text{συν}\theta = \frac{x}{\rho}, \quad \text{εφ}\theta = \frac{y}{x}

Ορισμός

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας $\theta$ σε κανονική θέση, με $A(x, y)$ τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς της (διαφορετικό από την αρχή των αξόνων) και $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\rho > 0$ , ορίζονται ως:

\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho}, \quad \text{συν}\theta = \frac{x}{\rho}, \quad \text{εφ}\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)

Η εφαπτομένη ορίζεται μόνο όταν $x \neq 0$ , δηλαδή όταν η τελική πλευρά δεν συμπίπτει με τον κατακόρυφο άξονα $y'y$ — σε εκείνη την περίπτωση θα είχαμε διαίρεση με το μηδέν.

Αυτός ο ορισμός δεν έρχεται σε αντίθεση με όσα ξέραμε για τις οξείες γωνίες: αν η γωνία $\theta$ είναι οξεία, τότε $x > 0$ και $y > 0$ , και τα πηλίκα $\frac{y}{\rho}$ , $\frac{x}{\rho}$ , $\frac{y}{x}$ συμπίπτουν ακριβώς με τους λόγους πλευρών του παλιού ορισμού. Ο νέος ορισμός είναι μια επέκταση του παλιού, όχι αντικατάστασή του.

Γιατί δουλεύει το πρόσημο

Το $\rho$ είναι πάντα θετικό, όσο θετικά ή αρνητικά κι αν είναι τα $x$ , $y$ . Άρα το πρόσημο του ημιτόνου καθορίζεται αποκλειστικά από το πρόσημο του $y$ , και το πρόσημο του συνημιτόνου αποκλειστικά από το πρόσημο του $x$ . Αυτός είναι ο μηχανισμός που επιτρέπει σε ημ $\theta$ και συν $\theta$ να γίνονται αρνητικά όταν η γωνία δεν είναι οξεία.

Ανεξαρτησία από την επιλογή του σημείου 🎯

Ένα εύλογο ερώτημα είναι: αν διαλέξουμε διαφορετικό σημείο πάνω στην ίδια τελική πλευρά, θα αλλάξουν οι τιμές του ημ $\theta$ , συν $\theta$ , εφ $\theta$ ;

Η απάντηση είναι όχι. Δύο σημεία $A(x, y)$ και $A'(x', y')$ πάνω στην ίδια τελική πλευρά βρίσκονται πάνω στην ίδια ημιευθεία που ξεκινά από το $O$ , άρα τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζουν με τους άξονες είναι όμοια μεταξύ τους. Σε όμοια τρίγωνα οι λόγοι αντίστοιχων πλευρών είναι ίσοι, οπότε:

\frac{y}{\rho} = \frac{y'}{\rho'}, \quad \frac{x}{\rho} = \frac{x'}{\rho'}, \quad \frac{y}{x} = \frac{y'}{x'}

Δηλαδή οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εξαρτώνται αποκλειστικά από τη γωνία $\theta$ και όχι από το ποιο συγκεκριμένο σημείο της τελικής πλευράς επιλέξαμε. Αυτό είναι που κάνει τον ορισμό συνεπή: μπορούμε να διαλέξουμε όποιο σημείο μάς βολεύει στους υπολογισμούς (συχνά το πιο απλό, με μικρούς ακέραιους συντελεστές) και το αποτέλεσμα θα είναι πάντα το ίδιο.

Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά 🔁

Δύο γωνίες σε κανονική θέση έχουν την ίδια τελική πλευρά αν και μόνο αν τα μέτρα τους διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του $360°$ . Υπάρχουν λοιπόν άπειρες γωνίες σε κανονική θέση με την ίδια τελική πλευρά — για παράδειγμα οι γωνίες $40°$ , $400°$ , $760°$ και $-320°$ έχουν όλες την ίδια τελική πλευρά.

Επειδή ο ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών στηρίζεται αποκλειστικά στις συντεταγμένες ενός σημείου της τελικής πλευράς, όλες αυτές οι γωνίες έχουν αναγκαστικά τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται περιοδικότητα και θα φανεί ιδιαίτερα χρήσιμη αργότερα, όταν χρειαστεί να υπολογίσουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνιών με μεγάλο μέτρο.

Η συνεφαπτομένη 📝

Πέρα από τους τρεις γνωστούς τριγωνομετρικούς αριθμούς, ορίζουμε και έναν τέταρτο: τη συνεφαπτομένη.

Ορισμός Συνεφαπτομένης

Συνεφαπτομένη της γωνίας $\theta$ ονομάζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό

\text{σφ}\theta = \frac{x}{y}, \quad y \neq 0

όπου $A(x, y)$ τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς, διαφορετικό από το $O$ .

Η συνεφαπτομένη ορίζεται μόνο όταν $y \neq 0$ , δηλαδή όταν η τελική πλευρά δεν συμπίπτει με τον οριζόντιο άξονα $x'x$ .

Παρατήρησε τη συμμετρία ανάμεσα στους δύο ορισμούς: η εφαπτομένη είναι το πηλίκο $\frac{y}{x}$ , ενώ η συνεφαπτομένη είναι το αντίστροφο πηλίκο $\frac{x}{y}$ . Αυτό δεν είναι σύμπτωση — είναι ακριβώς ο λόγος που τα δύο μεγέθη ονομάζονται έτσι.

Σχέσεις ανάμεσα στους τριγωνομετρικούς αριθμούς ⚡

Από τους ορισμούς προκύπτουν άμεσα δύο πολύ χρήσιμες σχέσεις. Ξεκινώντας από την εφαπτομένη:

\text{εφ}\theta = \frac{y}{x} = \frac{\frac{y}{\rho}}{\frac{x}{\rho}} = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta}

Δηλαδή η εφαπτομένη μιας γωνίας ισούται με το πηλίκο του ημιτόνου προς το συνημίτονό της. Ανάλογα, για τη συνεφαπτομένη:

\text{σφ}\theta = \frac{x}{y} = \frac{\text{συν}\theta}{\text{ημ}\theta} = \frac{1}{\text{εφ}\theta}

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι αντίστροφοι, όχι αντίθετοι

Πολλοί μαθητές μπερδεύουν το «αντίστροφος» με το «αντίθετος». Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εφ $\theta$ και σφ $\theta$ , όταν και οι δύο ορίζονται, ικανοποιούν $\text{σφ}\theta = \frac{1}{\text{εφ}\theta}$ — είναι αντίστροφοι (το γινόμενό τους είναι 1), όχι αντίθετοι (δεν διαφέρουν απλώς στο πρόσημο). Για παράδειγμα, αν εφ $\theta = 2$ , τότε σφ $\theta = \frac{1}{2}$ , όχι $-2$ .

Αυτές οι δύο σχέσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιμες γιατί επιτρέπουν να υπολογίσουμε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη αν γνωρίζουμε ήδη ημίτονο και συνημίτονο, χωρίς να χρειάζεται να ξαναγυρίσουμε στις συντεταγμένες $x, y$ .

Λυμένο παράδειγμα: υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών ✏️

Εκφώνηση: Η τελική πλευρά γωνίας $\theta$ σε κανονική θέση διέρχεται από το σημείο $(-3, 4)$ . Να υπολογιστούν οι τέσσερις τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $\theta$ .

Λύση:

Το σημείο έχει συντεταγμένες $x = -3$ και $y = 4$ .

Βήμα 1 — Υπολογισμός του $\rho$ :

\rho = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Βήμα 2 — Ημίτονο και συνημίτονο:

\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho} = \frac{4}{5}, \qquad \text{συν}\theta = \frac{x}{\rho} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}

Βήμα 3 — Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:

\text{εφ}\theta = \frac{y}{x} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}, \qquad \text{σφ}\theta = \frac{1}{\text{εφ}\theta} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}

Το πρόσημο δεν είναι τυχαίο

Το σημείο $(-3, 4)$ βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο, όπου $x < 0$ και $y > 0$ . Γι' αυτό το ημίτονο βγαίνει θετικό (εξαρτάται μόνο από το $y$ ), ενώ το συνημίτονο βγαίνει αρνητικό (εξαρτάται μόνο από το $x$ ). Η εφαπτομένη, ως πηλίκο $\frac{y}{x}$ ενός θετικού προς έναν αρνητικό αριθμό, βγαίνει επίσης αρνητική. Το πρόσημο κάθε τριγωνομετρικού αριθμού είναι πάντα άμεση συνέπεια των προσήμων των $x$ και $y$ , δηλαδή του τεταρτημορίου στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά.

Η μέθοδος με μια ματιά 🧭

Για να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας $\theta$ σε κανονική θέση, όταν γνωρίζουμε ένα σημείο $A(x, y)$ της τελικής της πλευράς, ακολουθούμε πάντα την ίδια πορεία:

Εντοπίζουμε τις συντεταγμένες $x$ και $y$ του σημείου.
Υπολογίζουμε το $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
Εφαρμόζουμε τους τύπους $\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho}$ , $\text{συν}\theta = \frac{x}{\rho}$ , $\text{εφ}\theta = \frac{y}{x}$ , $\text{σφ}\theta = \frac{x}{y}$ .
Ελέγχουμε ότι τα πρόσημα που προέκυψαν είναι συνεπή με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το σημείο.

Αυτή η πορεία λειτουργεί για οποιαδήποτε γωνία σε κανονική θέση, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλο ή αρνητικό είναι το μέτρο της — αυτή ακριβώς είναι η δύναμη της γενίκευσης μέσω συντεταγμένων.