Η σκακιέρα είναι έτοιμη και εσύ κάνεις την πρώτη σου κίνηση. Ξεκινάς με επανάληψη και πραγματικούς αριθμούς, στήνοντας προσεκτικά τη στρατηγική σου. Η τριγωνομετρία και ο κύκλος σου δίνουν τον έλεγχο, ενώ τα διανύσματα κατευθύνουν κάθε σου επιλογή. Και τότε έρχεται η στιγμή που αλλάζει το παιχνίδι. Η συνάρτηση γίνεται το δυνατό σου check και με εξισώσεις και ανισώσεις σχεδιάζεις την τελική σου επίθεση. Λίγες σωστές κινήσεις ακόμα και η παρτίδα τελειώνει με "ματ". Μπες στα μαθηματικά και παίξε για τη νίκη... ♟️

Μαθηματικά Α' Λυκείου (Κοινού Κορμού)

# 🔺 Υπενθύμιση από το ορθογώνιο τρίγωνο

Σε ένα :tooltip[ορθογώνιο τρίγωνο]{content="Τρίγωνο με μια γωνία 90°"} με πλευρές \(\alpha, \beta, \gamma\) και γωνία \(\omega\):

\[\text{ημ}\omega = \frac{\beta}{\alpha}, \quad \text{συν}\omega = \frac{\gamma}{\alpha}, \quad \text{εφ}\omega = \frac{\beta}{\gamma}\]

Αυτοί οι ορισμοί ισχύουν μόνο για οξείες γωνίες. Για να ορίσουμε τριγωνομετρικούς αριθμούς **οποιασδήποτε** γωνίας, χρειαζόμαστε τη γενίκευση μέσω κανονικής θέσης.

# 🌟 Ορισμός τριγωνομετρικών αριθμών σε κανονική θέση

:::fact{title="Ορισμός"}
Έστω γωνία \(\theta\) σε κανονική θέση και σημείο \(A(x, y)\) στην τελική πλευρά (με \(A \neq O\)). Αν \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\) (\(\rho > 0\)), τότε:

\[\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho}, \quad \text{συν}\theta = \frac{x}{\rho}, \quad \text{εφ}\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)\]
:::

Το \(\rho\) είναι η :tooltip[απόσταση]{content="Υπολογίζεται με το Πυθαγόρειο Θεώρημα"} του σημείου \(A\) από την αρχή των αξόνων.

# 📝 Συνεφαπτομένη

:::fact{title="Ορισμός Συνεφαπτομένης"}
Η :tooltip[συνεφαπτομένη]{content="Ο αντίστροφος αριθμός της εφαπτομένης"} της γωνίας \(\theta\) ορίζεται ως:

\[\text{σφ}\theta = \frac{x}{y}, \quad y \neq 0\]
:::

:::alert{title="Σχέσεις εφ και σφ"}
Από τους ορισμούς προκύπτουν οι σχέσεις:

\[\text{εφ}\theta = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{\text{συν}\theta}{\text{ημ}\theta} = \frac{1}{\text{εφ}\theta}\]

Δηλαδή, εφ\(\theta\) και σφ\(\theta\) είναι **αντίστροφοι** αριθμοί.
:::

# ⚡ Σημαντικές παρατηρήσεις

- Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί **δεν εξαρτώνται** από την επιλογή του σημείου \(A\) πάνω στην τελική πλευρά - μόνο από τη γωνία \(\theta\)
- Γωνίες με την **ίδια τελική πλευρά** (που διαφέρουν κατά πολλαπλάσιο \(360°\)) έχουν τους **ίδιους** τριγωνομετρικούς αριθμούς

:::fact{title="Παράδειγμα: Σημείο \((-3, 4)\)"}
Για σημείο \((-3, 4)\) στην τελική πλευρά:
- \(\rho = \sqrt{9 + 16} = 5\)
- \(\text{ημ}\theta = \frac{4}{5}\), \(\text{συν}\theta = -\frac{3}{5}\)
- \(\text{εφ}\theta = -\frac{4}{3}\), \(\text{σφ}\theta = -\frac{3}{4}\)
:::

01. Βασική Θεωρία

Γιατί οι ορισμοί ημιτόνου, συνημιτόνου και εφαπτομένης μέσα σε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν μόνο για οξείες γωνίες και χρειάζονται γενίκευση.

Το πρόβλημα με τους παλιούς ορισμούς

Πώς ορίζονται ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη οποιασδήποτε γωνίας σε κανονική θέση με τη βοήθεια σημείου και της απόστασης ρ από την αρχή.

Γενίκευση μέσω συντεταγμένων

Γιατί οι τριγωνομετρικοί αριθμοί δεν αλλάζουν όποιο σημείο κι αν διαλέξουμε πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας.

Ανεξαρτησία από την επιλογή του σημείου

Πώς άπειρες γωνίες που διαφέρουν κατά πολλαπλάσιο του 360° μοιράζονται την ίδια τελική πλευρά και τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Γωνίες με την ίδια τελική πλευρά

Ο ορισμός του τέταρτου τριγωνομετρικού αριθμού ως το αντίστροφο πηλίκο της εφαπτομένης, με τη δική του συνθήκη ύπαρξης.

Η συνεφαπτομένη

Πώς η εφαπτομένη προκύπτει από το πηλίκο ημιτόνου προς συνημίτονο, και γιατί εφαπτομένη και συνεφαπτομένη είναι αντίστροφοι αριθμοί.

Σχέσεις ανάμεσα στους τριγωνομετρικούς αριθμούς

Πλήρης υπολογισμός των τεσσάρων τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας από ένα δοσμένο σημείο της τελικής της πλευράς, με έλεγχο προσήμων.

Λυμένο παράδειγμα: υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών

Τα τέσσερα βήματα που ακολουθούμε πάντα για να βρούμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας από σημείο της τελικής της πλευράς.

Η μέθοδος με μια ματιά

# Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας σε κανονική θέση

## Εισαγωγή 📐

Στο προηγούμενο κεφάλαιο μάθαμε για τη γωνία σε κανονική θέση. Τώρα θα δούμε πώς ορίζουμε τους :tooltip[τριγωνομετρικούς αριθμούς]{content="Αριθμητικές τιμές (ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη) που συνδέονται με κάθε γωνία"} για **οποιαδήποτε** γωνία σε κανονική θέση - όχι μόνο για οξείες γωνίες τριγώνου!

## Υπενθύμιση από το τρίγωνο 🔺

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές \(\alpha, \beta, \gamma\) και γωνία \(\omega\), ισχύουν:

\[\text{ημ}\omega = \frac{\beta}{\alpha}, \quad \text{συν}\omega = \frac{\gamma}{\alpha}, \quad \text{εφ}\omega = \frac{\beta}{\gamma}\]

## Γενίκευση για γωνία σε κανονική θέση 🌟

Έστω γωνία \(\theta\) σε κανονική θέση και σημείο \(A(x, y)\) (που διαφέρει από την αρχή \(O(0,0)\)) πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Η απόσταση του σημείου \(A(x,y)\) από την αρχή των αξόνων είναι ίση με \(\rho\). Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται, έχουμε:

\[\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \rho > 0 \quad \text{(Πυθαγόρειο Θεώρημα)}\]

Έτσι:

\[\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho}, \quad \text{συν}\theta = \frac{x}{\rho}, \quad \text{εφ}\theta = \frac{y}{x}\]

## Ορισμός τριγωνομετρικών αριθμών 📝

:::fact{title="Ορισμός"}
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας \(\theta\), η οποία βρίσκεται σε κανονική θέση και \(A(x, y)\) τυχαίο σημείο της τελικής πλευράς της, ορίζονται ως

\[\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho}, \quad \text{συν}\theta = \frac{x}{\rho}, \quad \text{εφ}\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0),\]

όπου \(\rho = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\rho > 0\).
:::

## Συνεφαπτομένη 📝

:::fact{title="Ορισμός Συνεφαπτομένης"}
**Συνεφαπτομένη** της γωνίας \(\theta\) ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό \(\frac{x}{y}\), \(y \neq 0\) και τον συμβολίζουμε με \(\text{σφ}\theta\). Δηλαδή:

\[\text{σφ}\theta = \frac{x}{y}, \quad y \neq 0\]
:::

## Παρατηρήσεις ⚡

:::alert{title="Σχέσεις εφαπτομένης και συνεφαπτομένης"}
Με βάση τους ορισμούς, έχουμε ότι:

\[\text{εφ}\theta = \frac{y}{x} = \frac{\frac{y}{\rho}}{\frac{x}{\rho}} = \frac{\text{ημ}\theta}{\text{συν}\theta}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{\text{συν}\theta}{\text{ημ}\theta} = \frac{1}{\text{εφ}\theta}\]

Δηλαδή, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εφ\(\theta\) και σφ\(\theta\), όταν αυτοί ορίζονται, είναι **αντίστροφοι**.
:::

- Υπάρχουν **άπειρες** γωνίες σε κανονική θέση, οι οποίες έχουν την ίδια τελική πλευρά. Επομένως, όλες αυτές οι γωνίες έχουν τους **ίδιους** τριγωνομετρικούς αριθμούς.

## Παράδειγμα - Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών ✏️

**Εκφώνηση:** Στο σχήμα, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας \(\theta\), αν η τελική πλευρά διέρχεται από το σημείο \((-3, 4)\).

**Λύση:**

Έχουμε το σημείο \((-3, 4)\) με συντεταγμένες \(x = -3\) και \(y = 4\).

Για να υπολογίσουμε το ημ\(\theta\) και το συν\(\theta\), υπολογίζουμε την απόσταση \(\rho\) του σημείου από την αρχή των αξόνων:

\[\rho = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ μονάδες}\]

Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, έχουμε ότι:

\[\text{ημ}\theta = \frac{y}{\rho} = \frac{4}{5}, \quad \text{συν}\theta = \frac{x}{\rho} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}\]

\[\text{εφ}\theta = \frac{y}{x} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}, \quad \text{σφ}\theta = \frac{1}{\text{εφ}\theta} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}\]

:::alert{title="Παρατήρηση 💡"}
Προσέξτε ότι στο 2ο τεταρτημόριο (όπου βρίσκεται το σημείο \((-3, 4)\)) το ημίτονο είναι **θετικό** (\(y > 0\)), ενώ το συνημίτονο είναι **αρνητικό** (\(x < 0\)). Αυτό είναι λογικό, αφού το πρόσημο εξαρτάται από τις συντεταγμένες!
:::
