Η σκακιέρα είναι έτοιμη και εσύ κάνεις την πρώτη σου κίνηση. Ξεκινάς με επανάληψη και πραγματικούς αριθμούς, στήνοντας προσεκτικά τη στρατηγική σου. Η τριγωνομετρία και ο κύκλος σου δίνουν τον έλεγχο, ενώ τα διανύσματα κατευθύνουν κάθε σου επιλογή. Και τότε έρχεται η στιγμή που αλλάζει το παιχνίδι. Η συνάρτηση γίνεται το δυνατό σου check και με εξισώσεις και ανισώσεις σχεδιάζεις την τελική σου επίθεση. Λίγες σωστές κινήσεις ακόμα και η παρτίδα τελειώνει με "ματ". Μπες στα μαθηματικά και παίξε για τη νίκη... ♟️

Μαθηματικά Α' Λυκείου (Κοινού Κορμού)

# 🔁 Υπενθύμιση ιδιοτήτων δυνάμεων

Αν \(a, \beta > 0\) και \(\mu, \nu \in \mathbb{Z} - \{0\}\), τότε ισχύουν οι :tooltip[ιδιότητες δυνάμεων]{content="Βασικοί κανόνες για πράξεις με δυνάμεις, όταν η βάση είναι θετική και ο εκθέτης ακέραιος."}:

:::fact{title="Βασικές ιδιότητες"}
\[
a^{\mu} \cdot a^{\nu} = a^{\mu+\nu} \qquad \frac{a^{\mu}}{a^{\nu}} = a^{\mu-\nu} \qquad (a^{\mu})^{\nu} = a^{\mu\nu}
\]

\[
a^{\nu} \cdot \beta^{\nu} = (a \cdot \beta)^{\nu} \qquad \frac{a^{\nu}}{\beta^{\nu}} = \left(\frac{a}{\beta}\right)^{\nu} \qquad a^{-\nu} = \frac{1}{a^{\nu}}
\]
:::

Με βάση τον ορισμό της νιοστής ρίζας και αυτές τις ιδιότητες, μπορούμε να αποδείξουμε τις βασικές ιδιότητες της :tooltip[νιοστής ρίζας]{content="Η νιοστή ρίζα ενός αριθμού a είναι ο αριθμός x ≥ 0 τέτοιος ώστε x^ν = a."}.

# 🔑 Ιδιότητα 1 - Δύναμη νιοστής ρίζας

:::fact{title="Ιδιότητα 1"}
\[
\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = a, \qquad a \geq 0, \quad \nu \in \mathbb{N}
\]
:::

**Απόδειξη:** Θέτουμε \(\sqrt[\nu]{a} = x\). Υψώνουμε στη \(\nu\)-οστή δύναμη:

\[
\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = x^{\nu}
\]

Από τον ορισμό: \(\sqrt[\nu]{a} = x \iff x^{\nu} = a\), άρα \(\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = a\).

:::alert{title="Τι σημαίνει αυτό 🤔"}
Αν πάρουμε τη νιοστή ρίζα ενός αριθμού και την υψώσουμε στη \(\nu\)-οστή δύναμη, παίρνουμε πίσω τον αρχικό αριθμό. Η ύψωση σε δύναμη \(\nu\) «αναιρεί» τη νιοστή ρίζα.
:::

# ✖️ Ιδιότητα 2 - Ρίζα γινομένου

:::fact{title="Ιδιότητα 2"}
\[
\sqrt[\nu]{a \cdot \beta} = \sqrt[\nu]{a} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}, \qquad a, \beta \geq 0, \quad \nu \in \mathbb{N}
\]
:::

**Απόδειξη:** Θέτουμε \(x = \sqrt[\nu]{a} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}\). Τότε:

\[
x^{\nu} = \left(\sqrt[\nu]{a} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}\right)^{\nu} = \left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} \cdot \left(\sqrt[\nu]{\beta}\right)^{\nu} = a \cdot \beta
\]

Άρα \(x = \sqrt[\nu]{a \cdot \beta}\).

:::alert{title="Προσοχή!"}
Η ρίζα **γινομένου** ισούται με το γινόμενο των ριζών. Αυτό **ΔΕΝ** ισχύει για το άθροισμα!
\[
\sqrt{a + \beta} \neq \sqrt{a} + \sqrt{\beta}
\]
Αυτό είναι πολύ συνηθισμένο λάθος!
:::

# ➗ Ιδιότητα 3 - Ρίζα πηλίκου

:::fact{title="Ιδιότητα 3"}
\[
\sqrt[\nu]{\frac{a}{\beta}} = \frac{\sqrt[\nu]{a}}{\sqrt[\nu]{\beta}}, \qquad a \geq 0, \quad \beta > 0, \quad \nu \in \mathbb{N}
\]
:::

**Απόδειξη:** Θέτουμε \(x = \frac{\sqrt[\nu]{a}}{\sqrt[\nu]{\beta}}\). Τότε:

\[
x^{\nu} = \left(\frac{\sqrt[\nu]{a}}{\sqrt[\nu]{\beta}}\right)^{\nu} = \frac{\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu}}{\left(\sqrt[\nu]{\beta}\right)^{\nu}} = \frac{a}{\beta}
\]

Άρα \(x = \sqrt[\nu]{\frac{a}{\beta}}\).

:::alert{title="Σημείωση 📝"}
Προσέξτε ότι πρέπει \(\beta > 0\) (όχι μόνο \(\beta \geq 0\)) γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με μηδέν.
:::

# 📝 Παραδείγματα απλοποίησης

Εφαρμογές των τριών ιδιοτήτων:

**Ιδιότητα 1** - Δύναμη ρίζας:
- \(\left(\sqrt[5]{7}\right)^5 = 7\)
- \(\left(\sqrt{2}\right)^{14} = \left[\left(\sqrt{2}\right)^2\right]^7 = 2^7 = 128\)

**Ιδιότητα 2** - Ρίζα γινομένου:
- \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9\)
- \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{10}\)

**Απλοποίηση ρίζας** - Εξαγωγή :tooltip[τέλειου τετραγώνου]{content="Αριθμός που είναι τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού, π.χ. 1, 4, 9, 16, 25, ..."}:
- \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)

**Ιδιότητα 3** - Ρίζα πηλίκου:
- \(\sqrt[4]{32} : \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{16} = 2\)
- \(\sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}\)

# 🧮 Απλούστερη μορφή παραστάσεων

Για να γράψουμε μια ρίζα στην απλούστερη μορφή, αναλύουμε τον :tooltip[υπόριζο]{content="Ο αριθμός κάτω από το σύμβολο της ρίζας."} ώστε να εξάγουμε ό,τι μπορούμε.

**Παράδειγμα 1:** \(\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = 2\sqrt[4]{2}\)

**Παράδειγμα 2:** \(\sqrt[3]{\frac{24}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8 \cdot 3}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\)

**Παράδειγμα 3:** \(\sqrt[3]{5^5 \cdot 2^6} = 5 \cdot 4 \cdot \sqrt[3]{25} = 20\sqrt[3]{25}\)

:::alert{title="Στρατηγική 🎯"}
Αναλύουμε τις δυνάμεις στο υπόριζο ώστε ο εκθέτης να γίνει πολλαπλάσιο του δείκτη ρίζας. Ό,τι «χωράει» βγαίνει έξω!
:::

# ➕ Πράξεις με ρίζες

Για πρόσθεση/αφαίρεση ριζών, πρώτα τις απλοποιούμε και μετά ενώνουμε τους :tooltip[όμοιους όρους]{content="Όροι που περιέχουν την ίδια ρίζα, π.χ. 2√3 και 3√3 είναι όμοιοι γιατί περιέχουν √3."}.

**Αφαίρεση:** \(\sqrt{50} - \sqrt{2} = 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)

**Πρόσθεση:** \(\sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)

**Πολλαπλασιασμός:** Εφαρμόζουμε την :tooltip[επιμεριστική ιδιότητα]{content="Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της πρώτης παρένθεσης με κάθε όρο της δεύτερης."}:

\[
(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(\sqrt{3} - 4\sqrt{5}) = 3 - 4\sqrt{15} + 2\sqrt{15} - 40 = -37 - 2\sqrt{15}
\]

**Τετράγωνο:** \((5 - \sqrt{x})^2 = 25 - 10\sqrt{x} + x\)

01. Βασική Θεωρία

Πώς οι γνωστές ιδιότητες δυνάμεων οδηγούν στις ιδιότητες της νιοστής ρίζας και γιατί οι αποδείξεις έχουν σημασία.

Από τις δυνάμεις στις ρίζες

Γιατί η ύψωση μιας νιοστής ρίζας στη νιοστή δύναμη δίνει πίσω τον αρχικό αριθμό, με απόδειξη και παράδειγμα εφαρμογής.

Ιδιότητα 1: Δύναμη νιοστής ρίζας

Πώς η ρίζα γινομένου γίνεται γινόμενο ριζών, με απόδειξη και το πιο συχνό λάθος: αυτό δεν ισχύει για το άθροισμα.

Ιδιότητα 2: Ρίζα γινομένου

Πώς η ρίζα πηλίκου γίνεται πηλίκο ριζών, με απόδειξη και γιατί ο παρονομαστής πρέπει να είναι αυστηρά θετικός.

Ιδιότητα 3: Ρίζα πηλίκου

Πώς αναλύεις τον υπόριζο σε γινόμενο παραγόντων για να βγάλεις τέλειες δυνάμεις έξω από μια ρίζα.

Απλοποίηση ριζών: η βασική στρατηγική

Πότε δύο ρίζες μπορούν να προστεθούν ή να αφαιρεθούν απευθείας και πώς η απλοποίηση αποκαλύπτει όμοιους όρους.

Πρόσθεση και αφαίρεση ριζών

Πώς εφαρμόζεις την επιμεριστική ιδιότητα και γνωστές ταυτότητες σε παραστάσεις που περιέχουν ρίζες.

Πολλαπλασιασμός παραστάσεων με ρίζες

# Ιδιότητες νιοστής ρίζας

## 📌 Υπενθύμιση ιδιοτήτων δυνάμεων

Στο Γυμνάσιο μάθαμε τις :tooltip[ιδιότητες των δυνάμεων]{content="Βασικοί κανόνες που ισχύουν για πράξεις με δυνάμεις, όταν η βάση είναι θετική και ο εκθέτης ακέραιος."}. Αν \(a, \beta > 0\) και \(\mu, \nu \in \mathbb{Z} - \{0\}\), τότε ισχύει ότι:

\[
a^{\mu} \cdot a^{\nu} = a^{\mu+\nu} \qquad \frac{a^{\mu}}{a^{\nu}} = a^{\mu-\nu} \qquad (a^{\mu})^{\nu} = a^{\mu\nu}
\]

\[
a^{\nu} \cdot \beta^{\nu} = (a \cdot \beta)^{\nu} \qquad \frac{a^{\nu}}{\beta^{\nu}} = \left(\frac{a}{\beta}\right)^{\nu} \qquad a^{-\nu} = \frac{1}{a^{\nu}} = \left(\frac{1}{a}\right)^{\nu}, \quad \nu > 0
\]

Με βάση τον ορισμό της νιοστής ρίζας και των ιδιοτήτων των δυνάμεων, μπορούμε να αποδείξουμε βασικές ιδιότητες που ισχύουν για τη νιοστή ρίζα.

---

## 🔑 Ιδιότητα 1 - Δύναμη νιοστής ρίζας

:::fact{title="Ιδιότητα 1"}
Ισχύει ότι:
\[
\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = a, \qquad a \geq 0, \qquad \nu \in \mathbb{N}
\]
:::

**Απόδειξη:**

Θέτουμε \(\sqrt[\nu]{a} = x\). Υψώνουμε και τα δύο μέλη στη νιοστή δύναμη για να πάρουμε:

\[
\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = x^{\nu}
\]

Από τον ορισμό, έχουμε:

\[
\sqrt[\nu]{a} = x \iff x^{\nu} = a
\]

Από τα πιο πάνω, προκύπτει ότι:

\[
\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = a
\]

:::alert{title="Τι σημαίνει αυτό 🤔"}
Η Ιδιότητα 1 μας λέει ότι αν πάρουμε τη νιοστή ρίζα ενός αριθμού και την υψώσουμε στη \(\nu\)-οστή δύναμη, παίρνουμε πίσω τον αρχικό αριθμό. Δηλαδή η ύψωση σε δύναμη \(\nu\) «αναιρεί» τη νιοστή ρίζα.
:::

---

## 🔑 Ιδιότητα 2 - Ρίζα γινομένου

:::fact{title="Ιδιότητα 2"}
Ισχύει ότι:
\[
\sqrt[\nu]{a \cdot \beta} = \sqrt[\nu]{a} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}, \qquad a, \beta \geq 0, \qquad \nu \in \mathbb{N}
\]
:::

**Απόδειξη:**

Θέτουμε \(x = \sqrt[\nu]{a} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}\). Από τις ιδιότητες

\[
(a \cdot \beta)^{\nu} = a^{\nu} \cdot \beta^{\nu} \quad \text{και} \quad \left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = a
\]

προκύπτει ότι:

\[
x^{\nu} = \left(\sqrt[\nu]{a} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}\right)^{\nu} \implies x^{\nu} = \left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} \cdot \left(\sqrt[\nu]{\beta}\right)^{\nu} \implies x^{\nu} = a \cdot \beta
\]

Από τον ορισμό της νιοστής ρίζας, προκύπτει ότι:

\[
x = \sqrt[\nu]{a \cdot \beta}
\]

Άρα,

\[
\sqrt[\nu]{a \cdot \beta} = \sqrt[\nu]{a} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}
\]

:::alert{title="Προσοχή!"}
Η ρίζα **γινομένου** ισούται με το γινόμενο των ριζών. Αυτό **ΔΕΝ** ισχύει για το άθροισμα! Δηλαδή:
\[
\sqrt{a + \beta} \neq \sqrt{a} + \sqrt{\beta}
\]
Αυτό είναι ένα πολύ συνηθισμένο λάθος.
:::

---

## 🔑 Ιδιότητα 3 - Ρίζα πηλίκου

:::fact{title="Ιδιότητα 3"}
Ισχύει ότι:
\[
\sqrt[\nu]{\frac{a}{\beta}} = \frac{\sqrt[\nu]{a}}{\sqrt[\nu]{\beta}}, \qquad a \geq 0, \qquad \beta > 0, \qquad \nu \in \mathbb{N}
\]
:::

**Απόδειξη:**

Θέτουμε \(x = \frac{\sqrt[\nu]{a}}{\sqrt[\nu]{\beta}}\). Από τις ιδιότητες

\[
\left(\frac{a}{\beta}\right)^{\nu} = \frac{a^{\nu}}{\beta^{\nu}} \quad \text{και} \quad \left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = a
\]

προκύπτει ότι:

\[
x^{\nu} = \left(\frac{\sqrt[\nu]{a}}{\sqrt[\nu]{\beta}}\right)^{\nu} \implies x^{\nu} = \frac{\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu}}{\left(\sqrt[\nu]{\beta}\right)^{\nu}} \implies x^{\nu} = \frac{a}{\beta}
\]

Από τον ορισμό της νιοστής ρίζας, προκύπτει ότι:

\[
x = \sqrt[\nu]{\frac{a}{\beta}}
\]

Άρα,

\[
\sqrt[\nu]{\frac{a}{\beta}} = \frac{\sqrt[\nu]{a}}{\sqrt[\nu]{\beta}}
\]

---

## 📝 Παράδειγμα - Απλοποίηση παραστάσεων με ρίζες

Να απλοποιήσετε τις πιο κάτω παραστάσεις:

**(α)** \(\left(\sqrt[5]{7}\right)^5\)

**Λύση:** Εφαρμόζουμε απευθείας την Ιδιότητα 1, \(\left(\sqrt[\nu]{a}\right)^{\nu} = a\):

\[
\left(\sqrt[5]{7}\right)^5 = 7
\]

---

**(β)** \(\left(\sqrt{2}\right)^{14}\)

**Λύση:** Γράφουμε τον εκθέτη 14 ως γινόμενο \(2 \cdot 7\) για να χρησιμοποιήσουμε την Ιδιότητα 1:

\[
\left(\sqrt{2}\right)^{14} = \left(\sqrt{2}\right)^{2 \cdot 7} = \left[\left(\sqrt{2}\right)^2\right]^7 = 2^7 = 128
\]

---

**(γ)** \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}\)

**Λύση:** Χρησιμοποιούμε την Ιδιότητα 2 (ρίζα γινομένου) αντίστροφα - ενώνουμε τις δύο ρίζες σε μία:

\[
\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9
\]

---

**(δ)** \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5}\)

**Λύση:** Εφαρμόζουμε την Ιδιότητα 2 για κυβικές ρίζες:

\[
\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2 \cdot 5} = \sqrt[3]{10}
\]

---

**(ε)** \(\sqrt{18}\)

**Λύση:** Αναλύουμε το 18 σε γινόμενο ώστε ένας παράγοντας να είναι :tooltip[τέλειο τετράγωνο]{content="Αριθμός που είναι τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού, π.χ. 1, 4, 9, 16, 25, ..."}:

\[
\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}
\]

---

**(στ)** \(\sqrt[4]{32} : \sqrt[4]{2}\)

**Λύση:** Εφαρμόζουμε την Ιδιότητα 3 (ρίζα πηλίκου):

\[
\sqrt[4]{32} : \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{32 : 2} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2
\]

---

**(ζ)** \(\sqrt{\dfrac{7}{4}}\)

**Λύση:** Εφαρμόζουμε την Ιδιότητα 3:

\[
\sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}
\]

---

**(η)** \(\sqrt[5]{\dfrac{100000}{\beta^{10}}}\), \(\beta \neq 0\)

**Λύση:** Εφαρμόζουμε την Ιδιότητα 3 και αναγνωρίζουμε τέλειες πέμπτες δυνάμεις:

\[
\sqrt[5]{\frac{100000}{\beta^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{100000}}{\sqrt[5]{\beta^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{10^5}}{\sqrt[5]{(\beta^2)^5}} = \frac{10}{\beta^2}, \quad \beta \neq 0
\]

---

## 📝 Παράδειγμα - Απλούστερη μορφή

Να γράψετε τις πιο κάτω εκφράσεις στην πιο απλή τους μορφή:

**(α)** \(\sqrt[4]{32}\)

**Λύση:** Αναλύουμε το 32 σε γινόμενο που περιέχει τέλεια τέταρτη δύναμη:

\[
\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 2 \cdot \sqrt[4]{2}
\]

---

**(β)** \(\sqrt[3]{\dfrac{24}{27}}\)

**Λύση:**

\[
\sqrt[3]{\frac{24}{27}} = \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{8 \cdot 3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{3}}{3} = \frac{2\sqrt[3]{3}}{3}
\]

---

**(γ)** \(\sqrt[3]{5^5 \cdot 2^6}\)

**Λύση:** Αναλύουμε τις δυνάμεις ώστε να εξάγουμε ό,τι μπορούμε από τη ρίζα:

\[
\sqrt[3]{5^5 \cdot 2^6} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5^2 \cdot (2^2)^3} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{(2^2)^3} \cdot \sqrt[3]{5^2} = 5 \cdot 2^2 \cdot \sqrt[3]{25} = 20\sqrt[3]{25}
\]

---

## 📝 Παράδειγμα - Πράξεις με ρίζες

Να κάνετε τις πράξεις:

**(α)** \(\sqrt{50} - \sqrt{2}\)

**Λύση:** Απλοποιούμε πρώτα το \(\sqrt{50}\) βγάζοντας τέλειο τετράγωνο:

\[
\sqrt{50} - \sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} = 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2}
\]

---

**(β)** \(\sqrt{12} + \sqrt{27}\)

**Λύση:** Απλοποιούμε κάθε ρίζα χωριστά και μετά προσθέτουμε τους :tooltip[όμοιους όρους]{content="Όροι που περιέχουν την ίδια ρίζα, π.χ. 2√3 και 3√3 είναι όμοιοι γιατί και οι δύο περιέχουν √3."}:

\[
\sqrt{12} + \sqrt{27} = \sqrt{4 \cdot 3} + \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}
\]

---

**(γ)** \((\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(\sqrt{3} - 4\sqrt{5})\)

**Λύση:** Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό εφαρμόζοντας την :tooltip[επιμεριστική ιδιότητα]{content="Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της πρώτης παρένθεσης με κάθε όρο της δεύτερης."}:

\[
(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(\sqrt{3} - 4\sqrt{5}) = (\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} - 8 \cdot (\sqrt{5})^2
\]

\[
= 3 - 4\sqrt{15} + 2\sqrt{15} - 8 \cdot 5 = 3 - 2\sqrt{15} - 40 = -37 - 2\sqrt{15}
\]

---

**(δ)** \((5 - \sqrt{x})^2\), \(x \geq 0\)

**Λύση:** Εφαρμόζουμε την ταυτότητα \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):

\[
(5 - \sqrt{x})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 25 - 10\sqrt{x} + x
\]
