Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους 📐

Τι είναι ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων 🧩

Μια εξίσωση της μορφής $y = \lambda x + \beta$ παριστάνει πάντα μία ευθεία πάνω σε ένα σύστημα αξόνων. Το $\lambda$ λέγεται κλίση της ευθείας και μας δείχνει πόσο "γέρνει", ενώ το $\beta$ μας δείχνει σε ποιο ύψος η ευθεία κόβει τον άξονα y.

Όταν έχουμε δύο τέτοιες εξισώσεις μαζί, μία δίπλα στην άλλη, έχουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:

Κάθε μία από τις δύο εξισώσεις είναι μια ευθεία, την $\varepsilon_1$ και την $\varepsilon_2$. Το να "λύσουμε" το σύστημα σημαίνει να βρούμε ένα ζευγάρι αριθμών $(x, y)$ που να κάνει και τις δύο εξισώσεις αληθινές ταυτόχρονα — όχι μόνο τη μία.

Γεωμετρικά, κάθε λύση $(x, y)$ του συστήματος είναι ένα σημείο που ανήκει και στις δύο ευθείες ταυτόχρονα. Άρα, για να βρούμε τη λύση ενός συστήματος γραφικά, αρκεί να σχεδιάσουμε τις δύο ευθείες και να δούμε πού συναντιούνται (αν συναντιούνται καν).

Πώς ελέγχουμε αν ένα ζευγάρι αριθμών είναι λύση ✅

Πριν δούμε τα γραφήματα, είναι χρήσιμο να ξέρουμε πώς ελέγχουμε αλγεβρικά αν ένα συγκεκριμένο ζευγάρι $(x, y)$ είναι λύση ενός συστήματος. Η ιδέα είναι απλή: αντικαθιστούμε τις τιμές στις δύο εξισώσεις, μία-μία, και ελέγχουμε αν επαληθεύονται και οι δύο.

Βήμα 1. Αντικαθιστούμε τις τιμές του $x$ και του $y$ στην πρώτη εξίσωση και ελέγχουμε αν προκύπτει αληθής ισότητα.

Βήμα 2. Κάνουμε το ίδιο στη δεύτερη εξίσωση.

Βήμα 3. Αν και οι δύο εξισώσεις επαληθεύονται, το ζευγάρι είναι λύση του συστήματος. Αν έστω και μία από τις δύο δεν επαληθεύεται, το ζευγάρι δεν είναι λύση.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Θέλουμε να ελέγξουμε αν το ζευγάρι $(5, 2)$ είναι λύση του συστήματος:

Αντικαθιστούμε $x = 5$ και $y = 2$ στην πρώτη εξίσωση: $5 - 2 = 3$, δηλαδή $3 = 3$. Επαληθεύεται! Αντικαθιστούμε τώρα στη δεύτερη: $5 - 2 \cdot 2 = 0$, δηλαδή $5 - 4 = 0$, άρα $1 = 0$. Αυτό είναι ψευδές. Επειδή η δεύτερη εξίσωση δεν επαληθεύεται, το ζευγάρι $(5, 2)$ δεν είναι λύση του συστήματος — παρόλο που ταίριαζε στην πρώτη εξίσωση.

Αυτή η μέθοδος είναι χρήσιμη και όταν μας δίνουν πολλά υποψήφια ζευγάρια και πρέπει να βρούμε ποιο είναι η πραγματική λύση: ελέγχουμε το καθένα, μέχρι να βρούμε αυτό που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Οι τρεις περιπτώσεις: πόσες λύσεις μπορεί να έχει ένα σύστημα 🔍

Όταν σχεδιάζουμε δύο ευθείες στο ίδιο σύστημα αξόνων, υπάρχουν ακριβώς τρεις δυνατότητες για το πώς μπορούν να σχετίζονται μεταξύ τους. Κάθε μία αντιστοιχεί σε διαφορετικό αριθμό λύσεων για το σύστημα.

Περίπτωση 1: Οι ευθείες τέμνονται — μοναδική λύση ✂️

Αν οι ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ τέμνονται σε ένα σημείο, τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι η μοναδική λύση του συστήματος. Αυτό βγαίνει λογικό: το σημείο τομής είναι το μοναδικό σημείο που ανήκει και στις δύο ευθείες ταυτόχρονα — άρα είναι το μοναδικό ζευγάρι $(x,y)$ που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Πότε συμβαίνει αυτό; Δύο ευθείες με διαφορετική κλίση δεν μπορεί παρά να τέμνονται κάπου — αφού "γέρνουν" διαφορετικά, αναγκαστικά θα σταυρώσουν τους δρόμους τους σε ένα σημείο. Άρα:

Για παράδειγμα, αν οι ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_2$ τέμνονται στο σημείο $A(3, 2)$, τότε η μοναδική λύση του συστήματός τους είναι το ζεύγος $(x, y) = (3, 2)$.

Περίπτωση 2: Οι ευθείες είναι παράλληλες — καμία λύση 🛤️

Αν οι ευθείες είναι παράλληλες και διαφορετικές μεταξύ τους, τότε δεν συναντιούνται πουθενά — όσο κι αν τις προεκτείνουμε. Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο, δεν υπάρχει ζευγάρι $(x, y)$ που να ανήκει και στις δύο. Άρα το σύστημα δεν έχει καμία λύση.

Δύο ευθείες είναι παράλληλες ακριβώς όταν έχουν την ίδια κλίση — "γέρνουν" με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, οπότε κρατούν σταθερή απόσταση μεταξύ τους παντού. Αν όμως κόβουν τον άξονα y σε διαφορετικό ύψος ($\beta_1 \neq \beta_2$), τότε είναι πράγματι δύο διαφορετικές ευθείες, όχι η ίδια:

Για παράδειγμα, οι ευθείες $\varepsilon_1: y = -2x + 7$ και $\varepsilon_4: y = -2x + 2$ έχουν την ίδια κλίση $\lambda = -2$ αλλά διαφορετικό σημείο τομής με τον άξονα y ($7 \neq 2$). Άρα είναι παράλληλες, δεν τέμνονται, και το σύστημά τους είναι αδύνατο.

Περίπτωση 3: Οι ευθείες ταυτίζονται — άπειρες λύσεις 🤝

Τι γίνεται αν οι δύο "διαφορετικές" εξισώσεις περιγράφουν στην πραγματικότητα την ίδια ακριβώς ευθεία; Τότε λέμε ότι οι ευθείες ταυτίζονται. Κάθε σημείο της μίας είναι αυτόματα και σημείο της άλλης — άρα υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία, όχι μόνο ένα. Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις: κάθε σημείο πάνω στην κοινή ευθεία είναι λύση.

Αυτό συμβαίνει όταν οι δύο ευθείες έχουν την ίδια κλίση και το ίδιο σημείο τομής με τον άξονα y:

Πολλές φορές δύο εξισώσεις μοιάζουν διαφορετικές στην αρχική τους μορφή, αλλά είναι στην ουσία η ίδια ευθεία γραμμένη διαφορετικά. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις $x - 2y = -4$ και $-x + 2y = 4$ φαίνονται διαφορετικές, όμως αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη με $-1$ παίρνουμε ακριβώς τη δεύτερη. Άρα παριστάνουν την ίδια ευθεία, και το σύστημά τους έχει άπειρες λύσεις — όλα τα σημεία αυτής της ευθείας.

Η ανακεφαλαίωση: πώς αποφασίζουμε βλέποντας τις εξισώσεις 📋

Παρατηρώντας τα $\lambda$ (κλίσεις) και τα $\beta$ (σημεία τομής με τον άξονα y) δύο εξισώσεων της μορφής $y = \lambda x + \beta$, μπορούμε αμέσως να προβλέψουμε πόσες λύσεις έχει το σύστημα, χωρίς καν να σχεδιάσουμε τις ευθείες:

Για να μετατρέψουμε μια εξίσωση στη μορφή $y = \lambda x + \beta$, απομονώνουμε το $y$ στο ένα μέλος. Για παράδειγμα, η εξίσωση $2x + y = 2$ γίνεται $y = -2x + 2$ (αφαιρούμε το $2x$ και από τα δύο μέλη). Ομοίως, η εξίσωση $3 - 2x = y$ γράφεται ισοδύναμα ως $y = -2x + 3$ — απλώς γράφουμε τους όρους στη συνηθισμένη σειρά.

Δες πώς δουλεύει αυτό σε ένα πλήρες παράδειγμα. Θέλουμε να βρούμε το πλήθος των λύσεων του συστήματος:

χωρίς να το λύσουμε αλγεβρικά. Μετατρέπουμε πρώτα και τις δύο εξισώσεις στη μορφή $y = \lambda x + \beta$:

• Η πρώτη γίνεται: $y = -2x + 3$
• Η δεύτερη γίνεται: $y = -2x + 2$

Συγκρίνουμε: οι κλίσεις είναι ίδιες ($\lambda_1 = \lambda_2 = -2$), αλλά οι σταθεροί όροι είναι διαφορετικοί ($3 \neq 2$). Άρα οι ευθείες είναι παράλληλες και διαφορετικές, οπότε το σύστημα δεν έχει καμία λύση.

Πώς διαβάζουμε τη λύση πάνω σε ένα έτοιμο γράφημα 📊

Πολλές φορές το πρόβλημα σού δίνει έτοιμο ένα σύστημα αξόνων με σχεδιασμένες κάποιες ευθείες, και σου ζητά να βρεις τη λύση ενός συστήματος βλέποντας το σχήμα, χωρίς υπολογισμούς. Η μέθοδος είναι:

Βήμα 1. Εντόπισε τις δύο ευθείες του συστήματος που σε ενδιαφέρει πάνω στο σχήμα (κάθε ευθεία έχει συνήθως μια ετικέτα, π.χ. $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$).

Βήμα 2. Κοίταξε αν οι δύο ευθείες τέμνονται, είναι παράλληλες, ή ταυτίζονται.

Βήμα 3α. Αν τέμνονται, διάβασε τις συντεταγμένες του σημείου τομής από τους άξονες — αυτή είναι η μοναδική λύση.

Βήμα 3β. Αν είναι παράλληλες (δεν συναντιούνται πουθενά στο σχήμα, όσο κι αν το φαντάζεσαι να επεκτείνεται), το σύστημα δεν έχει λύση.

Βήμα 3γ. Αν φαίνονται να είναι η ίδια ακριβώς γραμμή, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις — κάθε σημείο πάνω στην κοινή ευθεία.

Για παράδειγμα, αν σε ένα σχήμα οι ευθείες $\varepsilon_1$ και $\varepsilon_3$ τέμνονται στο σημείο $(-1, 4)$, τότε το σύστημά τους έχει μοναδική λύση το ζεύγος $(x, y) = (-1, 4)$ — δεν χρειάζεται κανένας υπολογισμός, μόνο ανάγνωση του σχήματος.

Κατασκευή συστήματος με δεδομένη ιδιότητα 🛠️

Μια άλλη χρήσιμη δεξιότητα είναι η αντίστροφη πορεία: αντί να μας δίνουν σύστημα και να βρίσκουμε πόσες λύσεις έχει, μας δίνουν μια ιδιότητα που πρέπει να έχει το σύστημα (π.χ. να έχει μοναδική λύση ένα συγκεκριμένο σημείο, ή να μην έχει καμία λύση) και μας ζητούν να κατασκευάσουμε ένα τέτοιο σύστημα.

Η λογική είναι να δουλέψουμε ανάποδα, χρησιμοποιώντας ακριβώς τις ίδιες συνθήκες που είδαμε παραπάνω:

• Θέλουμε μοναδική λύση σε συγκεκριμένο σημείο: επιλέγουμε δύο ευθείες με διαφορετική κλίση που να περνούν και οι δύο από εκείνο το σημείο.
• Θέλουμε άπειρες λύσεις: γράφουμε την ίδια ευθεία με άλλη (ισοδύναμη) μορφή.
• Θέλουμε καμία λύση: επιλέγουμε μια ευθεία με ίδια κλίση αλλά διαφορετικό σταθερό όρο από τη δεδομένη.

Ας δούμε πώς κατασκευάζουμε ένα σύστημα με μοναδική λύση το σημείο $(-1, 4)$. Χρειαζόμαστε δύο ευθείες που περνούν από αυτό το σημείο αλλά έχουν διαφορετική κλίση, ώστε σίγουρα να τέμνονται εκεί και μόνο εκεί.

Επιλέγουμε πρώτη ευθεία με κλίση $1$: αντικαθιστούμε το σημείο $(-1, 4)$ στη γενική μορφή $y - y_0 = \lambda(x - x_0)$ και παίρνουμε $y - 4 = 1 \cdot (x + 1)$, δηλαδή $y = x + 5$.

Επιλέγουμε δεύτερη ευθεία με διαφορετική κλίση, π.χ. $-1$: $y - 4 = -1 \cdot (x + 1)$, δηλαδή $y = -x + 3$.

Το σύστημα

έχει τις δύο ευθείες να περνούν και οι δύο από το $(-1,4)$, με διαφορετική κλίση ($1 \neq -1$) — άρα τέμνονται ακριβώς εκεί, και το σύστημα έχει μοναδική λύση το $(-1, 4)$, όπως ζητούνταν.

Παρόμοια, αν ξεκινάμε από την εξίσωση $y - 2x = 3$ (δηλαδή $y = 2x + 3$) και θέλουμε να τη συμπληρώσουμε με δεύτερη εξίσωση ώστε:

• να έχει μοναδική λύση: διαλέγουμε οποιαδήποτε ευθεία με κλίση διαφορετική του $2$, π.χ. $y = x$.
• να έχει άπειρες λύσεις: διαλέγουμε την ίδια ακριβώς ευθεία, γραμμένη διαφορετικά, π.χ. $y = 2x + 3$ η ίδια.
• να μην έχει λύση: διαλέγουμε ευθεία με την ίδια κλίση $2$ αλλά διαφορετικό σταθερό όρο, π.χ. $y = 2x - 1$.