Η πόρτα πίσω σου έκλεισε και ο συναγερμός ενεργοποιήθηκε. 🚨 Μπροστά σου, ακτίνες λέιζερ... άλλες ευθείες και άλλες καμπύλες-παραβολές που κινούνται απρόβλεπτα. Για να φτάσεις στον χρυσό χάρακα, χρειάζεσαι απόλυτη ψυχραιμία, στρατηγική και αλάνθαστους υπολογισμούς. Μέτρα αποστάσεις, υπολόγισε πιθανότητες και κινήσου με ακρίβεια. Ένα λάθος… και όλα χάνονται! 📏

Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου (Β' Τεύχος)

# 🎯 Τι είναι ένα Γραμμικό Σύστημα;

Φαντάσου δύο ευθείες γραμμές, την \( \epsilon_1 \) και την \( \epsilon_2 \).  Κάθε ευθεία έχει τη δική της "συνταγή" (εξίσωση) που μας λέει πού βρίσκεται:

*   \( \epsilon_1: y = \lambda_1 x + \beta_1 \)
*   \( \epsilon_2: y = \lambda_2 x + \beta_2 \)

Εδώ, τα \( \lambda_1, \lambda_2, \beta_1, \beta_2 \) είναι απλά αριθμοί. 🔢

Όταν έχουμε αυτές τις δύο εξισώσεις μαζί, τις λέμε :tooltip[γραμμικό σύστημα]{content="Ένα σύστημα δύο ή περισσότερων γραμμικών εξισώσεων."}. Θέλουμε να βρούμε ένα σημείο \( (x, y) \) που να "ταιριάζει" και στις δύο συνταγές ταυτόχρονα. Αυτό το σημείο, αν υπάρχει, είναι η :tooltip[λύση]{content="Το σημείο (ή τα σημεία) που ικανοποιούν όλες τις εξισώσεις ενός συστήματος."} του συστήματος. 🤔

#  Τεμνόμενες Ευθέιες ↔️

Όταν οι δύο ευθείες, \( \epsilon_1 \) και \( \epsilon_2 \), :tooltip[τέμνονται]{content="Όταν δύο γραμμές διασταυρώνονται σε ένα μόνο σημείο."} (δηλαδή συναντιούνται σε ένα μόνο σημείο), τότε αυτό το σημείο είναι η **μοναδική λύση** του συστήματος.

Αυτό συμβαίνει όταν οι αριθμοί \( \lambda_1 \) και \( \lambda_2 \) είναι διαφορετικοί:

Αν \(\lambda_1 \neq \lambda_2\), τότε το σύστημα έχει **μοναδική λύση**.

:::fact{title="Παράδειγμα"}
Σκέψου τις δύο ευθείες να τέμνονται στο σημείο \( A(3,2) \). Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα των εξισώσεών τους έχει λύση το ζεύγος \( (3,2) \).
:::

# 🛤️ Παράλληλες Ευθείες

Αν οι δύο ευθείες \( \epsilon_1 \) και \( \epsilon_2 \) είναι :tooltip[παράλληλες]{content="Δύο γραμμές που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται ποτέ."}, τότε δεν συναντιούνται ποτέ! 🙅‍♀️

Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα των εξισώσεων **δεν έχει λύση** και το ονομάζουμε :tooltip[αδύνατο σύστημα]{content="Ένα σύστημα εξισώσεων που δεν έχει λύση."}.

Αυτό συμβαίνει όταν:
*   Οι αριθμοί \( \lambda_1 \) και \( \lambda_2 \) είναι ίσοι (\( \lambda_1 = \lambda_2 \)).
*   Αλλά οι αριθμοί \( \beta_1 \) και \( \beta_2 \) είναι διαφορετικοί (\( \beta_1 \neq \beta_2 \)).

Έτσι, αν \(\lambda_1 = \lambda_2\) και \(\beta_1 \neq \beta_2\), τότε το σύστημα **δεν έχει λύση**.

:::fact{title="Παράδειγμα"}
Φαντάσου τις ευθείες \( \epsilon_1 \) και \( \epsilon_2 \) να είναι παράλληλες. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει κανένα κοινό σημείο και επομένως το σύστημα των εξισώσεών τους δεν έχει λύση.
:::

# 🤝 Ταυτιζόμενες Ευθείες

Όταν οι δύο ευθείες \( \epsilon_1 \) και \( \epsilon_2 \) είναι στην πραγματικότητα η **ίδια** ευθεία, τότε τις λέμε :tooltip[ταυτιζόμενες]{content="Όταν δύο γραμμές είναι ακριβώς οι ίδιες και επικαλύπτονται πλήρως."}.

Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα των εξισώσεων έχει **άπειρες λύσεις**, γιατί κάθε σημείο της μίας ευθείας είναι και σημείο της άλλης! ✨

Αυτό συμβαίνει όταν:
*   Οι αριθμοί \( \lambda_1 \) και \( \lambda_2 \) είναι ίσοι (\( \lambda_1 = \lambda_2 \)).
*   Και οι αριθμοί \( \beta_1 \) και \( \beta_2 \) είναι επίσης ίσοι (\( \beta_1 = \beta_2 \)).

Έτσι, αν \(\lambda_1 = \lambda_2\) και \(\beta_1 = \beta_2\), τότε το σύστημα έχει **άπειρες λύσεις**.

:::fact{title="Παράδειγμα"}
Σκέψου τις ευθείες \( \epsilon_1 \) και \( \epsilon_2 \) να είναι η μία πάνω στην άλλη. Αυτό σημαίνει ότι έχουν άπειρα κοινά σημεία, άρα το σύστημα των εξισώσεών τους έχει άπειρες λύσεις.
:::

01. Μαθαίνω

Ξεκινάμε από την εξίσωση μιας ευθείας και βλέπουμε τι σημαίνει να έχουμε δύο μαζί και να ψάχνουμε ένα κοινό ζευγάρι λύσης.

Τι είναι ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων

Μαθαίνουμε τη μέθοδο αντικατάστασης σε βήματα, με ένα παράδειγμα που δείχνει γιατί δεν αρκεί να ελέγξεις μόνο τη μία εξίσωση.

Πώς ελέγχουμε αν ένα ζευγάρι αριθμών είναι λύση

Ανακαλύπτουμε τι συμβαίνει όταν δύο ευθείες τέμνονται, όταν είναι παράλληλες και όταν ταυτίζονται, και πόσες λύσεις δίνει κάθε περίπτωση.

Οι τρεις περιπτώσεις: πόσες λύσεις μπορεί να έχει ένα σύστημα

Συγκεντρώνουμε όλες τις περιπτώσεις σε έναν πίνακα και βλέπουμε πώς προβλέπουμε το πλήθος των λύσεων χωρίς καν να σχεδιάσουμε τις ευθείες.

Η ανακεφαλαίωση: πώς αποφασίζουμε βλέποντας τις εξισώσεις

Εξασκούμαστε στο να εντοπίζουμε δύο ευθείες σε ένα σχήμα και να διαβάζουμε κατευθείαν τη λύση του συστήματός τους, χωρίς υπολογισμούς.

Πώς διαβάζουμε τη λύση πάνω σε ένα έτοιμο γράφημα

Δοκιμάζουμε την αντίστροφη πορεία: μας δίνουν μια ιδιότητα που θέλουμε να έχει το σύστημα και φτιάχνουμε εμείς τις εξισώσεις που ταιριάζουν.

Κατασκευή συστήματος με δεδομένη ιδιότητα

# Γραφική Επίλυση Γραμμικού Συστήματος Δύο Εξισώσεων με Δύο Αγνώστους 📐

Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους αποτελείται από δύο εξισώσεις ευθειών, \(\varepsilon_1: y = \lambda_1 x + \beta_1\) και \(\varepsilon_2: y = \lambda_2 x + \beta_2\), και η λύση του είναι κάθε ζευγάρι \((x, y)\) που επαληθεύει **και τις δύο** εξισώσεις ταυτόχρονα — δηλαδή κάθε σημείο που ανήκει και στις δύο ευθείες. Για να ελέγξουμε αν ένα συγκεκριμένο ζευγάρι είναι λύση, το αντικαθιστούμε και στις δύο εξισώσεις: αν επαληθεύεται μόνο η μία, το ζευγάρι **δεν** είναι λύση του συστήματος.

Γραφικά, υπάρχουν ακριβώς τρεις περιπτώσεις. Αν \(\lambda_1 \neq \lambda_2\), οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο και το σύστημα έχει **μοναδική λύση** — τις συντεταγμένες εκείνου του σημείου. Αν \(\lambda_1 = \lambda_2\) και \(\beta_1 \neq \beta_2\), οι ευθείες είναι παράλληλες και διαφορετικές, δεν τέμνονται πουθενά, και το σύστημα **δεν έχει καμία λύση** (:tooltip[αδύνατο]{content="Σύστημα εξισώσεων χωρίς καμία λύση."} σύστημα). Αν \(\lambda_1 = \lambda_2\) και \(\beta_1 = \beta_2\), οι δύο εξισώσεις παριστάνουν την ίδια ακριβώς ευθεία, οπότε το σύστημα έχει **άπειρες λύσεις** — κάθε σημείο της κοινής ευθείας.

:::alert{title="Πρώτα φέρε τις εξισώσεις στην ίδια μορφή"}
Για να συγκρίνεις σωστά τις κλίσεις και τους σταθερούς όρους, και οι δύο εξισώσεις πρέπει να είναι γραμμένες στη μορφή \(y = \lambda x + \beta\). Μια εξίσωση όπως \(2x + y = 2\) πρέπει πρώτα να λυθεί ως προς \(y\) (εδώ γίνεται \(y = -2x + 2\)) πριν τη συγκρίνεις με άλλη.
:::

:::fact{title="Δύο κοινά σημεία σημαίνουν άπειρα"}
Αν ένα σύστημα έχει δύο διαφορετικές γνωστές λύσεις, τότε έχει σίγουρα άπειρες λύσεις — γιατί από δύο διαφορετικά σημεία περνά μία και μοναδική ευθεία, άρα οι δύο ευθείες του συστήματος αναγκαστικά ταυτίζονται.
:::

Η ίδια λογική χρησιμοποιείται και αντίστροφα, για να κατασκευάσουμε ένα σύστημα με δεδομένη ιδιότητα: επιλέγουμε δεύτερη ευθεία με διαφορετική κλίση από τη δεδομένη (ώστε να έχει μοναδική λύση σε συγκεκριμένο σημείο), με ίδια κλίση και ίδιο σταθερό όρο (ώστε να έχει άπειρες λύσεις), ή με ίδια κλίση και διαφορετικό σταθερό όρο (ώστε να μην έχει καμία λύση).