Άξονας Συμμετρίας 🦋
Τι είναι η συμμετρία
Κοίταξε μια πεταλούδα. Το αριστερό της φτερό και το δεξί της φτερό είναι ακριβώς ίδια, σαν να το ένα είναι ο καθρέφτης του άλλου. Αυτό λέμε συμμετρία.
Ένα σχήμα είναι συμμετρικό όταν υπάρχει μια νοητή γραμμή που το χωρίζει σε δύο κομμάτια, και τα δύο αυτά κομμάτια είναι ολόιδια — το ένα είναι το ακριβές είδωλο του άλλου, σαν να κοιτάζεις σε καθρέφτη.
Η συμμετρία δεν υπάρχει μόνο στα μαθηματικά. Την βλέπουμε παντού: στο ανθρώπινο πρόσωπο (δύο μάτια, δύο αυτιά στις ίδιες θέσεις), σε ένα φύλλο δέντρου, στα φτερά μιας πεταλούδας ή μιας λιβελούλης, σε νιφάδες χιονιού, αλλά και σε έργα τέχνης, σε χαλιά, σε παράθυρα εκκλησιών και σε διακοσμητικά σχέδια που φτιάχνουν άνθρωποι σε όλο τον κόσμο.
Σχεδόν όλα τα ζώα έχουν συμμετρικό σώμα: δύο μάτια, δύο αυτιά, δύο χέρια ή φτερά, το ένα απέναντι από το άλλο. Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι αυτό βοηθάει τα ζώα να κινούνται πιο εύκολα και ισορροπημένα!
Ο άξονας συμμετρίας
Η νοητή γραμμή που χωρίζει ένα συμμετρικό σχήμα στα δύο ίσα μέρη λέγεται άξονας συμμετρίας. Μπορούμε να τον φανταστούμε σαν τη γραμμή όπου θα διπλώναμε ένα χαρτί.
Πώς ελέγχουμε αν μια γραμμή είναι πράγματι άξονας συμμετρίας; Κάνουμε νοερά (ή και στην πράξη, με ένα χαρτί) το εξής:
- Διπλώνουμε το σχήμα πάνω στη γραμμή που υποψιαζόμαστε ότι είναι άξονας.
- Κοιτάμε αν τα δύο μέρη ταιριάζουν ακριβώς, άκρη με άκρη.
- Αν ταιριάζουν απόλυτα, τότε η γραμμή αυτή είναι άξονας συμμετρίας. Αν κάπου περισσεύει ή λείπει κομμάτι, δεν είναι.
Σκέψου το γράμμα Α: αν το διπλώσεις κατακόρυφα στη μέση, η αριστερή πλευρά πέφτει ακριβώς πάνω στη δεξιά. Το Α έχει άξονα συμμετρίας. Το γράμμα Τ έχει κι αυτό έναν κατακόρυφο άξονα συμμετρίας, για τον ίδιο λόγο. Αντίθετα, το γράμμα Ρ δεν έχει κανέναν άξονα συμμετρίας — όπως κι αν το διπλώσεις, τα δύο μέρη δεν ταιριάζουν.
Πολλά παιδιά νομίζουν ότι μια γραμμή είναι άξονας συμμετρίας απλώς επειδή χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσα κομμάτια σε μέγεθος (δηλαδή ίδιο εμβαδόν). Αυτό δεν αρκεί! Τα δύο μέρη πρέπει να έχουν και το ίδιο σχήμα, τοποθετημένο κατοπτρικά. Για παράδειγμα, το γράμμα Ν μπορεί να χωριστεί σε δύο κομμάτια ίσου εμβαδού με μια κατακόρυφη γραμμή στη μέση, όμως τα δύο κομμάτια δεν είναι το ένα καθρέφτης του άλλου — άρα το Ν δεν έχει άξονα συμμετρίας εκεί.
Σχήματα με έναν, πολλούς ή κανέναν άξονα
Δεν έχουν όλα τα σχήματα τον ίδιο αριθμό αξόνων συμμετρίας. Μερικά έχουν έναν μόνο, άλλα έχουν πολλούς, και κάποια δεν έχουν κανέναν.
Ένας μόνο άξονας. Το γράμμα Μ έχει έναν μόνο άξονα συμμετρίας: μια κατακόρυφη γραμμή στη μέση του. Το ίδιο συμβαίνει και με το ανθρώπινο πρόσωπο (αν το φανταστούμε τέλεια συμμετρικό): υπάρχει μία μόνο γραμμή, κάθετη, που περνά από τη μύτη και χωρίζει το πρόσωπο σε δύο ίδια μισά.
Περισσότεροι από έναν άξονες. Ένα ορθογώνιο (που δεν είναι τετράγωνο) έχει δύο άξονες συμμετρίας: έναν οριζόντιο και έναν κατακόρυφο, που περνούν από τα μέσα των πλευρών του. Αν το διπλώσουμε σε οποιαδήποτε από τις δύο αυτές γραμμές, οι δύο πλευρές ταιριάζουν ακριβώς.
Ένα τετράγωνο έχει ακόμα περισσότερους: τέσσερις άξονες συμμετρίας. Δύο από αυτούς περνούν από τα μέσα των απέναντι πλευρών (όπως στο ορθογώνιο), και οι άλλοι δύο είναι οι διαγώνιοί του, που ενώνουν τις απέναντι κορυφές.
Ένας κύκλος πάει ακόμα πιο μακριά: έχει άπειρους άξονες συμμετρίας! Κάθε ευθεία που περνά από το κέντρο του κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα ημικύκλια, το ένα καθρέφτης του άλλου. Επειδή μπορούμε να φέρουμε άπειρες τέτοιες ευθείες από το κέντρο, ο κύκλος έχει άπειρους άξονες συμμετρίας.
| Σχήμα | Αριθμός αξόνων συμμετρίας |
|---|---|
| Γράμμα Μ, ανθρώπινο πρόσωπο | 1 |
| Ορθογώνιο (όχι τετράγωνο) | 2 |
| Τετράγωνο | 4 |
| Κύκλος | άπειροι |
Κανένας άξονας. Υπάρχουν όμως και σχήματα χωρίς κανέναν άξονα συμμετρίας. Το γράμμα Ρ, ένα σύννεφο με ακανόνιστο περίγραμμα, ή μια τσαλακωμένη σελίδα χαρτιού δεν έχουν καμία γραμμή δίπλωσης που να κάνει τα δύο μέρη να ταιριάξουν. Το να μην έχει ένα σχήμα άξονα συμμετρίας είναι εξίσου φυσιολογικό όσο το να έχει έναν ή περισσότερους.
Άνθρωποι σε όλο τον κόσμο χρησιμοποιούν τη συμμετρία εδώ και χιλιάδες χρόνια, χωρίς καν να ξέρουν τη μαθηματική της εξήγηση — απλώς επειδή τα συμμετρικά σχέδια φαίνονται πιο όμορφα και τακτοποιημένα στο μάτι μας. Θα τη βρεις σε παραδοσιακά υφαντά, σε ξυλόγλυπτα σε εκκλησίες, σε αγγεία και σε διακοσμητικά μοτίβα κάθε λαού.
Ιδιότητες των δύο συμμετρικών μερών
Όταν ένα σχήμα χωρίζεται από άξονα συμμετρίας σε δύο μέρη, αυτά τα δύο μέρη δεν είναι απλώς «περίπου ίδια» — είναι ίσα με την πλήρη μαθηματική έννοια. Αυτό σημαίνει ότι:
- Έχουν την ίδια περίμετρο — αν μετρήσουμε το μήκος γύρω-γύρω από το καθένα, θα βρούμε τον ίδιο αριθμό.
- Έχουν το ίδιο εμβαδόν — καλύπτουν ακριβώς τον ίδιο χώρο.
- Έχουν ακριβώς το ίδιο σχήμα, μόνο που το ένα είναι «γυρισμένο» σαν καθρέφτης σε σχέση με το άλλο.
Αυτό μας βοηθάει πρακτικά: αν ξέρουμε την περίμετρο ή το εμβαδόν του ενός μισού ενός συμμετρικού σχήματος, ξέρουμε αμέσως και του άλλου μισού, χωρίς να χρειάζεται να το μετρήσουμε ξανά.
Πώς σχεδιάζουμε το συμμετρικό μισό
Πολύ συχνά μας δίνουν το μισό ενός σχήματος και έναν άξονα, και μας ζητούν να σχεδιάσουμε το άλλο μισό ώστε ολόκληρο το σχήμα να είναι συμμετρικό. Για να το πετύχουμε αυτό, ακολουθούμε ένα απλό βήμα-βήμα:
- Διαλέγουμε ένα σημείο του μισού σχήματος που έχουμε ήδη.
- Μετράμε την απόστασή του από τον άξονα (π.χ. πόσα τετραγωνάκια απέχει, αν δουλεύουμε σε τετραγωνισμένο χαρτί).
- Βρίσκουμε το αντίστοιχο σημείο στην απέναντι πλευρά του άξονα, στην ίδια ακριβώς απόσταση.
- Επαναλαμβάνουμε για όλα τα σημεία, τις γραμμές και τις καμπύλες του σχήματος, μέχρι να ολοκληρωθεί το δεύτερο μισό.
Το αποτέλεσμα πρέπει να μοιάζει σαν να βλέπουμε το πρώτο μισό μέσα σε καθρέφτη τοποθετημένο πάνω στον άξονα. Αν σχεδιάσουμε, για παράδειγμα, το μισό πρόσωπο ενός ανθρώπου με ένα μάτι, ένα αυτί και μισό στόμα, το συμμετρικό μισό θα έχει το άλλο μάτι στην ίδια ακριβώς απόσταση από τον άξονα, το άλλο αυτί στην ίδια θέση, και το υπόλοιπο μισό στόμα.
Όταν σχεδιάζουμε το συμμετρικό μισό, το πιο συνηθισμένο λάθος είναι να ζωγραφίζουμε ένα σημείο στην ίδια πλευρά αντί για την αντίθετη, ή να μην κρατάμε ακριβώς την ίδια απόσταση από τον άξονα. Ακόμα κι αν το σχήμα φαίνεται «περίπου» σωστό, αν οι αποστάσεις δεν είναι ίσες και ακριβείς, το σχήμα δεν είναι πραγματικά συμμετρικό.