Το Εμβαδόν: Πόσο Χώρο Καλύπτει ένα Σχήμα 📐

Τι είναι το εμβαδόν

Κάθε επίπεδο σχήμα καλύπτει έναν χώρο πάνω στο χαρτί ή στο έδαφος. Το πόσο μεγάλος είναι αυτός ο χώρος λέγεται εμβαδόν του σχήματος. Όταν ρωτάμε «ποιο είναι το εμβαδόν αυτού του τραπεζιού;», ρωτάμε στην ουσία «πόσο χώρο καλύπτει η επιφάνεια αυτού του τραπεζιού;».

Δύο σχήματα μπορεί να έχουν πολύ διαφορετικό σχήμα, αλλά ίδιο εμβαδόν — φτάνει να καλύπτουν την ίδια ποσότητα χώρου. Για παράδειγμα, ένα μακρόστενο ορθογώνιο και ένα πιο στρογγυλεμένο σχήμα μπορούν να «γεμίζουν» ακριβώς τον ίδιο χώρο, παρόλο που δεν μοιάζουν καθόλου μεταξύ τους.

Εμβαδόν ή περίμετρος;

Το εμβαδόν δεν είναι το ίδιο με το μήκος γύρω από ένα σχήμα. Το μήκος γύρω-γύρω λέγεται περίμετρος και μετράει μια γραμμή. Το εμβαδόν μετράει μια επιφάνεια — αυτό που είναι μέσα στο σχήμα, όχι το περίγραμμά του.

Πώς συγκρίνουμε επιφάνειες χωρίς αριθμούς

Πριν μάθουμε να μετράμε το εμβαδόν με αριθμούς, μπορούμε να συγκρίνουμε δύο σχήματα με απλούς τρόπους:

Χρωματίζουμε κάθε σχήμα με διαφορετικό χρώμα και βλέπουμε ποιο χρώμα καλύπτει περισσότερο χώρο.
Αντιγράφουμε το ένα σχήμα σε διάφανο χαρτί, το κόβουμε και το τοποθετούμε πάνω στο άλλο, για να δούμε αν το καλύπτει.

Αυτοί οι τρόποι μας δείχνουν ποιο σχήμα είναι μεγαλύτερο, αλλά όχι πόσο μεγαλύτερο είναι. Για να το πούμε αυτό με ακρίβεια, χρειαζόμαστε μια μονάδα μέτρησης.

Μετράμε με μοναδιαία τετράγωνα

Για να μετρήσουμε ένα εμβαδόν με ακρίβεια, διαλέγουμε ένα μικρό τετράγωνο σαν μονάδα — για παράδειγμα ένα τετράγωνο με πλευρά 1 εκατοστό — και μετράμε πόσες φορές αυτό το τετράγωνο χωράει μέσα στο σχήμα.

Φαντάσου ότι σκεπάζεις ένα σχήμα με πολλά ίδια μικρά τετραγωνάκια, το ένα δίπλα στο άλλο, χωρίς κενά και χωρίς να αλληλεπικαλύπτονται. Το πλήθος των τετραγωνιδίων που χρειάζονται για να καλυφθεί ολόκληρο το σχήμα είναι το εμβαδόν του, εκφρασμένο σε αυτή τη μονάδα.

Αν ένα σχήμα καλύπτεται ακριβώς από 13 τέτοια τετραγωνάκια, τότε το εμβαδόν του είναι 13 τετραγωνικά εκατοστά — άσχετα με το αν το σχήμα είναι τετράγωνο, ορθογώνιο ή έχει ακανόνιστη μορφή.

Προσοχή στο λάθος που κάνουν πολλά παιδιά!

Όταν μετράμε εμβαδόν, μετράμε τετράγωνα που γεμίζουν την επιφάνεια, όχι πλευρές γύρω-γύρω. Αν μπερδέψεις το μέτρημα των τετραγωνιδίων μέσα στο σχήμα με το μέτρημα του μήκους γύρω από το σχήμα, θα υπολογίσεις περίμετρο αντί για εμβαδόν — δύο τελείως διαφορετικά πράγματα!

Γιατί ο τύπος «μήκος × πλάτος» δίνει το εμβαδόν του ορθογωνίου

Το μέτρημα τετράγωνο-τετράγωνο δουλεύει πάντα, αλλά για ένα ορθογώνιο υπάρχει ένας πιο γρήγορος τρόπος — και δεν είναι μαγικό κόλπο, βγαίνει ακριβώς από το ίδιο μέτρημα.

Σκέψου ένα ορθογώνιο που το χωρίζουμε σε μοναδιαία τετράγωνα, σαν σκακιέρα. Τα τετραγωνάκια δεν είναι σκόρπια· είναι τακτοποιημένα σε γραμμές (σειρές) και στήλες:

Το πλήθος των τετραγωνιδίων σε μία γραμμή είναι ακριβώς όσα εκατοστά έχει το μήκος της πλευράς.
Το πλήθος των γραμμών που χωράνε η μία πάνω στην άλλη είναι ακριβώς όσα εκατοστά έχει το πλάτος της κάθετης πλευράς.

Για να βρούμε πόσα τετράγωνα υπάρχουν συνολικά, δεν χρειάζεται να τα μετρήσουμε ένα-ένα: αρκεί να πολλαπλασιάσουμε το πλήθος τετραγώνων σε μία γραμμή επί το πλήθος των γραμμών — δηλαδή μήκος × πλάτος. Αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από τον πολλαπλασιασμό «τόσα ανά γραμμή, επί τόσες γραμμές», τον ίδιο που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε καρέκλες σε σειρές μιας αίθουσας.

Παράδειγμα: ένα ορθογώνιο με μήκος 5 εκατοστά και πλάτος 3 εκατοστά χωρίζεται σε 3 γραμμές των 5 τετραγωνιδίων η καθεμία. Συνολικά:

5 \times 3 = 15 \text{ τετραγωνικά εκατοστά}

Αν μετρούσαμε τα τετράγωνα ένα-ένα θα βρίσκαμε ακριβώς 15 — ο τύπος απλώς μας γλιτώνει το μέτρημα.

Το ίδιο μοτίβο, παντού

Ο πολλαπλασιασμός «γραμμές επί στήλες» είναι ο ίδιος τρόπος σκέψης που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε πόσα αυγά έχει μια συσκευασία με 4 σειρές των 6 αυγών, ή πόσα θρανία υπάρχουν σε μια τάξη με 5 σειρές των 4 θρανίων. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι ακριβώς αυτό, αλλά με τετραγωνάκια αντί για αυγά.

Έτσι προκύπτει ο τύπος για το εμβαδόν $Ε$ ενός ορθογωνίου με μήκος $μ$ και πλάτος $π$ :

Ε = μ \times π

Το εμβαδόν του τετραγώνου

Το τετράγωνο είναι ένα ειδικό ορθογώνιο, όπου το μήκος και το πλάτος είναι ίσα — και τα δύο είναι απλώς η «πλευρά» του τετραγώνου. Γι' αυτό ο ίδιος τρόπος σκέψης δίνει:

Ε = πλευρά \times πλευρά

Αν ένα τετράγωνο έχει πλευρά 4 εκατοστά, χωρίζεται σε 4 γραμμές των 4 τετραγωνιδίων:

4 \times 4 = 16 \text{ τετραγωνικά εκατοστά}

Οι μονάδες μέτρησης του εμβαδού

Επειδή το εμβαδόν μετράει επιφάνεια και όχι μήκος, χρειάζεται τις δικές του μονάδες — διαφορετικές από τις μονάδες μήκους (εκατοστό, δεκατόμετρο, μέτρο). Κάθε μονάδα εμβαδού είναι ένα τετράγωνο με ορισμένη πλευρά:

Μονάδα εμβαδού	Τι είναι
Τετραγωνικό εκατοστό (τ.εκ.)	Τετράγωνο με πλευρά 1 εκατοστό
Τετραγωνικό δεκατόμετρο (τ.δεκ.)	Τετράγωνο με πλευρά 1 δεκατόμετρο
Τετραγωνικό μέτρο (τ.μ.)	Τετράγωνο με πλευρά 1 μέτρο (η βασική μονάδα)

Το τετραγωνικό μέτρο είναι η βασική μονάδα εμβαδού, όπως το μέτρο είναι η βασική μονάδα μήκους. Επειδή 1 μέτρο = 10 δεκατόμετρα = 100 εκατοστά, όταν χτίζουμε το αντίστοιχο τετράγωνο βρίσκουμε:

1 \text{ τ.μ.} = 100 \text{ τ.δεκ.}

1 \text{ τ.μ.} = 10.000 \text{ τ.εκ.}

Μην μπερδεύεις τη μονάδα μήκους με τη μονάδα εμβαδού!

1 μέτρο και 1 τετραγωνικό μέτρο δεν μετράνε το ίδιο πράγμα: το πρώτο μετράει μήκος (μια γραμμή), το δεύτερο μετράει επιφάνεια (έναν χώρο). Γι' αυτό και οι σχέσεις τους διαφέρουν: 1 μέτρο = 100 εκατοστά (μήκος), ενώ 1 τετραγωνικό μέτρο = 10.000 τετραγωνικά εκατοστά (εμβαδόν) — επειδή στο εμβαδόν πολλαπλασιάζουμε δύο φορές, όχι μία.

Πώς διαλέγουμε τη σωστή μονάδα

Διαλέγουμε τη μονάδα ανάλογα με το μέγεθος της επιφάνειας που μετράμε:

Για μικρές επιφάνειες, όπως ένα φύλλο χαρτί ή ένα βιβλίο, χρησιμοποιούμε τετραγωνικά εκατοστά.
Για μεγάλες επιφάνειες, όπως το πάτωμα μιας τάξης, μια αυλή ή ένα οικόπεδο, χρησιμοποιούμε τετραγωνικά μέτρα.

Έτσι, όταν λέμε ότι μια τάξη έχει εμβαδόν 40 τ.μ., εννοούμε ότι 40 τετράγωνα με πλευρά 1 μέτρο θα κάλυπταν ακριβώς το πάτωμά της.