Πολλαπλασιάζω και διαιρώ δεκαδικούς με το 10, το 100 και το 1000 🔟
Ξέρουμε ήδη ότι ένας δεκαδικός αριθμός έχει μονάδες, δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά. Τώρα θα μάθουμε ένα πολύ χρήσιμο κόλπο: πώς πολλαπλασιάζουμε και πώς διαιρούμε έναν δεκαδικό αριθμό με το 10, το 100 ή το 1000, χωρίς να κάνουμε καθόλου πράξη με το χέρι. Αρκεί να μετακινήσουμε την υποδιαστολή!
Τι σημαίνει «×10»: κάθε ψηφίο πηγαίνει μια θέση πιο ψηλά
Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με το 10, κάθε ψηφίο του αριθμού γίνεται 10 φορές μεγαλύτερο: τα δέκατα γίνονται μονάδες, οι μονάδες γίνονται δεκάδες, τα εκατοστά γίνονται δέκατα και ούτω καθεξής. Αυτό συμβαίνει επειδή το σύστημα αρίθμησής μας βασίζεται στο 10: κάθε θέση αξίζει 10 φορές περισσότερο από τη θέση ακριβώς δεξιά της.
Αν δούμε τι συμβαίνει στην υποδιαστολή, παρατηρούμε κάτι πολύ βολικό: όλα τα ψηφία «σπρώχνονται» μια θέση προς τα αριστερά, πράγμα που είναι ακριβώς το ίδιο με το να μετακινηθεί η υποδιαστολή μια θέση προς τα δεξιά.
Για παράδειγμα:
Η υποδιαστολή «πήδηξε» μία θέση δεξιά: από ανάμεσα στο 3 και το 2, πήγε ανάμεσα στο 2 και το 5.
Ο κανόνας για ×10, ×100, ×1000
Ο κανόνας γενικεύεται πολύ απλά: το πλήθος των μηδενικών στο 10, στο 100 ή στο 1000 μάς λέει πόσες θέσεις θα μετακινηθεί η υποδιαστολή προς τα δεξιά.
- ×10 (ένα μηδενικό) → η υποδιαστολή πάει 1 θέση δεξιά
- ×100 (δύο μηδενικά) → η υποδιαστολή πάει 2 θέσεις δεξιά
- ×1000 (τρία μηδενικά) → η υποδιαστολή πάει 3 θέσεις δεξιά
Παραδείγματα:
Στο δεύτερο παράδειγμα, το 0,036 έχει μόνο τρία δεκαδικά ψηφία. Μετακινώντας την υποδιαστολή τρεις θέσεις δεξιά, τα ψηφία «τελειώνουν» ακριβώς εκεί που σταματάει η υποδιαστολή, και ο αριθμός γίνεται ακέραιος: 36.
Το πιο συχνό λάθος είναι να προσθέτουμε μηδενικά αντί να μετακινούμε την υποδιαστολή. Το 2,5 × 10 δεν είναι 2,50 — αυτό θα ήταν λάθος, γιατί το 2,50 έχει την ίδια αξία με το 2,5, δεν είναι δεκαπλάσιο! Το σωστό είναι να μετακινήσουμε την υποδιαστολή μία θέση δεξιά: 2,5 × 10 = 25. Αν τα ψηφία τελειώσουν πριν φτάσουμε στο σημείο που πρέπει, τότε προσθέτουμε μηδενικά για να «γεμίσουμε» τις θέσεις που λείπουν, όπως στο (χρειάστηκε ένα μηδενικό στο τέλος).
Η αντίστροφη πράξη: διαιρώ με 10, 100, 1000
Η διαίρεση με το 10, το 100 ή το 1000 είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού: αντί να μεγαλώνει ο αριθμός, μικραίνει. Κάθε ψηφίο γίνεται 10, 100 ή 1000 φορές μικρότερο, δηλαδή οι μονάδες γίνονται δέκατα, οι δεκάδες γίνονται μονάδες κ.ο.κ. Η υποδιαστολή μετακινείται με τον ίδιο τρόπο, αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση: προς τα αριστερά.
- ÷10 (ένα μηδενικό) → η υποδιαστολή πάει 1 θέση αριστερά
- ÷100 (δύο μηδενικά) → η υποδιαστολή πάει 2 θέσεις αριστερά
- ÷1000 (τρία μηδενικά) → η υποδιαστολή πάει 3 θέσεις αριστερά
Παραδείγματα:
Στο δεύτερο παράδειγμα, το 7 δεν έχει αρκετά ψηφία για να μετακινήσουμε την υποδιαστολή δύο θέσεις αριστερά, οπότε συμπληρώνουμε με μηδενικά πριν από αυτό: το 7 γίνεται 0,07.
Το κόλπο δουλεύει επειδή το 10, το 100 και το 1000 είναι δυνάμεις του 10, και το σύστημα αρίθμησής μας είναι δεκαδικό: κάθε θέση αξίζει ακριβώς 10 φορές περισσότερο από την επόμενη δεξιά της. Πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με μια δύναμη του 10, απλώς «σπρώχνουμε» κάθε ψηφίο τόσες θέσεις όσες μηδενικά έχει εκείνη η δύναμη, χωρίς να χρειάζεται καμία άλλη πράξη.
Η σχέση με τα δέκατα, τα εκατοστά και τα χιλιοστά
Αυτός ο κανόνας εξηγεί κάτι πολύ σημαντικό για τη δομή των δεκαδικών αριθμών: γιατί ένα δέκατο, ένα εκατοστό και ένα χιλιοστό συνδέονται μεταξύ τους με το 10.
- Ένα δέκατο (0,1) επί 10 δίνει μία ολόκληρη μονάδα:
- Ένα εκατοστό (0,01) επί 10 δίνει ένα δέκατο:
- Ένα χιλιοστό (0,001) επί 10 δίνει ένα εκατοστό:
Δηλαδή, κάθε θέση δεξιά από την υποδιαστολή είναι 10 φορές μικρότερη από την προηγούμενή της. Αυτό δεν είναι τυχαίο· είναι ο ίδιος κανόνας του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης με το 10 που μόλις μάθαμε, μόνο που εδώ τον βλέπουμε «μέσα» στον ίδιο τον αριθμό.
Νοερός υπολογισμός με δεκαδικούς
Επειδή ο κανόνας είναι τόσο απλός, μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε δεκαδικούς με το 10, το 100 και το 1000 νοερά, δηλαδή με το μυαλό, χωρίς χαρτί και μολύβι. Αρκεί να θυμόμαστε δύο πράγματα: προς ποια κατεύθυνση κινείται η υποδιαστολή (δεξιά στον πολλαπλασιασμό, αριστερά στη διαίρεση) και πόσες θέσεις (όσα τα μηδενικά).
Αυτή η δεξιότητα είναι πολύ χρήσιμη στην καθημερινή ζωή. Για παράδειγμα, αν ένα αυτοκολλητάκι κοστίζει 0,15 €, τότε 100 αυτοκολλητάκια κοστίζουν €. Αν 10 φίλοι μοιράζονται δίκαια 3,50 € που βρήκαν, ο καθένας παίρνει €.
Ένα καλό κόλπο για να ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα είναι λογικό: όταν πολλαπλασιάζουμε με το 10, το 100 ή το 1000, ο αριθμός πρέπει πάντα να μεγαλώνει. Όταν διαιρούμε με αυτούς τους αριθμούς, ο αριθμός πρέπει πάντα να μικραίνει. Αν το αποτέλεσμά μας κάνει το αντίθετο, σίγουρα κάναμε λάθος στην κατεύθυνση της υποδιαστολής.