Προσθέτω και αφαιρώ δεκαδικούς αριθμούς ➕➖

Οι δεκαδικοί αριθμοί μάς βοηθούν να μετράμε πράγματα πιο ακριβή από τους ακέραιους: χρήματα, βάρος, μήκος. Όμως για να τους προσθέσουμε ή να τους αφαιρέσουμε σωστά, χρειαζόμαστε έναν κανόνα που δεν αλλάζει ποτέ. Αυτός ο κανόνας είναι η χρυσή αρχή των δεκαδικών.

Η χρυσή αρχή: υποδιαστολή κάτω από υποδιαστολή

Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε δεκαδικούς αριθμούς κάθετα, ο πιο σημαντικός κανόνας είναι ένας:

Η υποδιαστολή κάθε αριθμού πρέπει να βρίσκεται ακριβώς κάτω από την υποδιαστολή του άλλου αριθμού.

Αυτό εξασφαλίζει ότι κάθε ψηφίο προστίθεται ή αφαιρείται με το ψηφίο της ίδιας αξίας: μονάδες κάτω από μονάδες, δέκατα κάτω από δέκατα, εκατοστά κάτω από εκατοστά. Αν στοιχίσουμε τους αριθμούς μόνο δεξιά, όπως συνηθίζουμε με τους ακέραιους, το αποτέλεσμα βγαίνει λάθος.

Για παράδειγμα, για να προσθέσουμε $23,5 + 6,27$ , γράφουμε:

\begin{array}{r} 23{,}50 \\ +\ 6{,}27 \\ \hline 29{,}77 \end{array}

Παρατηρούμε ότι το 2 (δεκάδες) είναι κάτω από κενό, το 3 και το 6 (μονάδες) είναι η μία κάτω από την άλλη, η υποδιαστολή είναι κάτω από την υποδιαστολή, και τα δέκατα/εκατοστά είναι επίσης στοιχισμένα.

Το πιο συχνό λάθος!

Το πιο συχνό λάθος στην πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών είναι να στοιχίζονται οι αριθμοί δεξιά, όπως γίνεται με τους ακέραιους, αντί να στοιχίζεται η υποδιαστολή κάτω από την υποδιαστολή. Αν γράψουμε το 23,5 και το 6,27 δεξιά στοιχισμένα, θα προσθέσουμε κατά λάθος δέκατα με εκατοστά, και το αποτέλεσμα θα είναι εντελώς λανθασμένο. Πάντα πρώτα βρίσκουμε την υποδιαστολή και τη βάζουμε κάτω από την υποδιαστολή!

Συμπληρώνω με μηδενικά

Πολλές φορές οι δύο αριθμοί δεν έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων. Για παράδειγμα, ο ένας αριθμός έχει μόνο δέκατα (ένα δεκαδικό ψηφίο) και ο άλλος έχει και δέκατα και εκατοστά (δύο δεκαδικά ψηφία). Σε αυτή την περίπτωση, συμπληρώνουμε τον αριθμό με λιγότερα δεκαδικά ψηφία με μηδενικά στο τέλος, ώστε και οι δύο αριθμοί να έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων.

Το μηδενικό που προσθέτουμε δεν αλλάζει καθόλου την αξία του αριθμού: το 1,5 και το 1,50 είναι ακριβώς ο ίδιος αριθμός, γιατί $5$ δέκατα $= 50$ εκατοστά. Το μηδενικό απλώς μας βοηθάει να στοιχίσουμε σωστά τις πράξεις.

Παράδειγμα: για να προσθέσουμε $4,3 + 2,15$ , το 4,3 έχει μόνο ένα δεκαδικό ψηφίο, ενώ το 2,15 έχει δύο. Γράφουμε το 4,3 ως 4,30 και μετά κάνουμε την πράξη:

\begin{array}{r} 4{,}30 \\ +\ 2{,}15 \\ \hline 6{,}45 \end{array}

Ένας ακέραιος αριθμός, όπως το 5, μπορεί να θεωρηθεί δεκαδικός με μηδενικά δεκαδικά ψηφία: το 5 είναι το ίδιο με το 5,00. Έτσι, όταν προσθέτουμε έναν ακέραιο με έναν δεκαδικό, συμπληρώνουμε τον ακέραιο με τόσα μηδενικά όσα χρειάζονται.

Ξέρεις γιατί δεν αλλάζει η αξία;

Τα μηδενικά στο τέλος ενός δεκαδικού αριθμού δεν προσθέτουν καμία αξία, γιατί δεν υπάρχει τίποτα να μετρήσουν σε εκείνη τη θέση. Είναι σαν να λες «έχω 3 μήλα» ή «έχω 3 μήλα και 0 πορτοκάλια» — η ποσότητα των μήλων παραμένει ίδια!

Κρατούμενο και δανεικό στους δεκαδικούς

Η κάθετη πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών αριθμών λειτουργεί ακριβώς όπως και με τους ακέραιους αριθμούς: αν το άθροισμα δύο ψηφίων μιας στήλης ξεπερνάει το 9, κρατάμε 1 και το μεταφέρουμε στην επόμενη στήλη αριστερά (κρατούμενο). Αν πρέπει να αφαιρέσουμε ένα μεγαλύτερο ψηφίο από ένα μικρότερο, δανειζόμαστε 1 από την επόμενη στήλη αριστερά (δανεικό).

Αυτό ισχύει σε όλες τις στήλες: και στις στήλες των δεκαδικών ψηφίων (δέκατα, εκατοστά), και στις στήλες του ακέραιου μέρους (μονάδες, δεκάδες). Το κρατούμενο μπορεί μάλιστα να περάσει από τα δεκαδικά ψηφία στο ακέραιο μέρος, ακριβώς πάνω από την υποδιαστολή.

Παράδειγμα πρόσθεσης με κρατούμενο: $2,8 + 0,5$

\begin{array}{r} 2{,}8 \\ +\ 0{,}5 \\ \hline 3{,}3 \end{array}

Στα δέκατα: $8 + 5 = 13$ . Γράφουμε 3 και κρατάμε 1, το οποίο προστίθεται στις μονάδες: $2 + 0 + 1 = 3$ .

Παράδειγμα αφαίρεσης με δανεικό: $3,2 - 1,5$

\begin{array}{r} 3{,}2 \\ -\ 1{,}5 \\ \hline 1{,}7 \end{array}

Στα δέκατα, το 2 είναι μικρότερο από το 5, άρα δανειζόμαστε 1 μονάδα από το ακέραιο μέρος. Αυτή η μονάδα γίνεται 10 δέκατα, οπότε έχουμε $12 - 5 = 7$ δέκατα. Στις μονάδες μένει $2 - 1 = 1$ .

Εκτιμώ το αποτέλεσμα πριν υπολογίσω

Πριν κάνουμε την ακριβή πράξη, είναι πολύ χρήσιμο να εκτιμούμε το αποτέλεσμα, δηλαδή να υπολογίζουμε γρήγορα περίπου πόσο θα βγει. Αυτό γίνεται στρογγυλοποιώντας τους δεκαδικούς αριθμούς στον πλησιέστερο ακέραιο και κάνοντας την πράξη με αυτούς τους απλούστερους αριθμούς.

Για παράδειγμα, για να εκτιμήσουμε το $4,80 + 3,10$ , στρογγυλοποιούμε: το 4,80 είναι κοντά στο 5, το 3,10 είναι κοντά στο 3. Άρα το αποτέλεσμα θα είναι περίπου $5 + 3 = 8$ . Το ακριβές αποτέλεσμα είναι 7,90, πολύ κοντά στην εκτίμησή μας.

Η εκτίμηση δεν αντικαθιστά την ακριβή πράξη, αλλά μας βοηθάει να ελέγξουμε αν το αποτέλεσμα που βρήκαμε είναι λογικό. Αν κάναμε λάθος στη στοίχιση της υποδιαστολής και το αποτέλεσμα βγήκε πολύ μακριά από την εκτίμησή μας, καταλαβαίνουμε αμέσως ότι κάτι πήγε στραβά.

Η εκτίμηση σε σώζει από λάθη!

Αν προσθέσεις 4,80 και 3,10 χωρίς να στοιχίσεις σωστά την υποδιαστολή, μπορεί να βγει κάτι σαν 8,11 ή 0,811 αντί για 7,90. Επειδή ξέρεις ήδη ότι η εκτίμηση είναι «περίπου 8», καταλαβαίνεις αμέσως ότι κάτι δεν πήγε καλά και ξαναελέγχεις την πράξη σου.

Τα βήματα με τη σειρά

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε σωστά δύο δεκαδικούς αριθμούς κάθετα, ακολουθούμε πάντα αυτά τα βήματα:

Γράφουμε τους αριθμούς κάθετα, ώστε η υποδιαστολή του ενός να είναι ακριβώς κάτω από την υποδιαστολή του άλλου.
Συμπληρώνουμε με μηδενικά όποιον αριθμό έχει λιγότερα δεκαδικά ψηφία, ώστε και οι δύο να έχουν το ίδιο πλήθος δεκαδικών ψηφίων.
Κάνουμε την πράξη (πρόσθεση ή αφαίρεση) στήλη-στήλη, από δεξιά προς αριστερά, χρησιμοποιώντας κρατούμενο ή δανεικό όπου χρειάζεται.
Βάζουμε την υποδιαστολή στο αποτέλεσμα ακριβώς κάτω από τις υποδιαστολές των δύο αριθμών.

Αν ακολουθήσουμε αυτά τα βήματα με τη σειρά, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα σωστό — και η εκτίμηση μάς επιβεβαιώνει ότι δεν ξεχάσαμε κανένα βήμα.