Ξεκίνα να μετράς από το μηδέν και φτάσε στο άπειρο!  Ύστερα "κόψε" τους αριθμούς και "μοίρασέ τους" με τη βοήθεια των κλασμάτων. Μάθε τα ποσοστά στο 100% και συνέχισε το μέτρημα ανάποδα, με τους αρνητικούς αριθμούς. Έφτασε η στιγμή να ανακαλύψεις τη δύναμη των αριθμών 🧮

Άλγεβρα Α' Γυμνασίου

# Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε: Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών 🧮

Όταν πολλαπλασιάζουμε :tooltip[ρητούς αριθμούς]{content="Αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως πηλίκο δύο ακεραίων."}, πρέπει να προσέχουμε τα πρόσημά τους. 🤔

1.   **Ομόσημοι αριθμοί:** Όταν οι δύο αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο (είτε και οι δύο θετικοί, είτε και οι δύο αρνητικοί), τότε πολλαπλασιάζουμε τις :tooltip[απόλυτες τιμές]{content="Η απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν στον αριθμητικό άξονα, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο."} τους (δηλαδή τους αριθμούς χωρίς το πρόσημο) και το αποτέλεσμα έχει πάντα θετικό πρόσημο (+). ➕

    *   Παράδειγμα: \(+ \cdot + = +\), όπως στο \( (+1,5) \cdot (+2,2) = (+3,3) \)
    *   Παράδειγμα: \(- \cdot - = +\), όπως στο \( (-1,5) \cdot (-2,2) = (+3,3) \)
2.   **Ετερόσημοι αριθμοί:** Όταν οι δύο αριθμοί έχουν διαφορετικό πρόσημο (ένας θετικός και ένας αρνητικός), τότε πολλαπλασιάζουμε τις :tooltip[απόλυτες τιμές]{content="Η απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν στον αριθμητικό άξονα, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πρόσημο."} τους και το αποτέλεσμα έχει πάντα αρνητικό πρόσημο (-). ➖

    *   Παράδειγμα: \(+ \cdot - = -\), όπως στο \( (+1,5) \cdot (-2,2) = (-3,3) \)
    *   Παράδειγμα: \(- \cdot + = -\), όπως στο \( (-1,5) \cdot (+2,2) = (-3,3) \)

Με απλά λόγια, αν τα πρόσημα είναι ίδια, το αποτέλεσμα είναι θετικό. ✅ Αν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό. ❌


# Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε: Διαίρεση ρητών αριθμών ➗

Όταν διαιρούμε δύο ρητούς αριθμούς, πρώτα διαιρούμε τις :tooltip[απόλυτες τιμές]{content="Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι η απόστασή του από το μηδέν."} τους. Μετά, για να βρούμε το πρόσημο του αποτελέσματος (:tooltip[πηλίκου]{content="Το αποτέλεσμα της διαίρεσης."}), ακολουθούμε αυτούς τους κανόνες:

*   Αν οι δύο αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο (δηλαδή είναι και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί), τότε το πηλίκο είναι θετικό (+). 👍 Αυτό σημαίνει ότι:
    *   \(+ : + = +\)
    *   \(- : - = +\)
*   Αν οι δύο αριθμοί έχουν διαφορετικό πρόσημο (δηλαδή ο ένας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός), τότε το πηλίκο είναι αρνητικό (-). 👎 Αυτό σημαίνει ότι:
    *   \(+ : - = -\)
    *   \(- : + = -\)

Με απλά λόγια, αν τα πρόσημα είναι ίδια, το αποτέλεσμα είναι θετικό, και αν τα πρόσημα είναι διαφορετικά, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό. 😊


# ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: Πολλαπλασιασμός ρητών 🧮

## Παράδειγμα

Ας δούμε μερικά παραδείγματα και ασκήσεις για τον πολλαπλασιασμό :tooltip[ρητών]{content="Αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως πηλίκο δύο ακεραίων."} αριθμών.

1.  **Υπολογισμός γινομένων:**

    *   (α) \( (-1,4) \cdot 5 = -1,4 \cdot 5 = -7 \)
      
    *   (β) \( (+\frac{2}{3}) \cdot (-2,1) = -(\frac{2}{3} \cdot 2,1) = -1,4 \)
    *   (γ) \( (-10) \cdot (-0,7) = +10 \cdot 0,7 = +7 \)

2.  **Υπολογισμός του γινομένου \( (-1) \cdot α \):**
    Εδώ, πρέπει να υπολογίσουμε το γινόμενο του -1 με διάφορες τιμές του \( α \).

    *    \( (-1) \cdot (+3) = -3 \)
    *    \( (-1) \cdot (-1,2) = +1,2 \)
    *   \( (-1) \cdot (+\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3} \)
    *    \( (-1) \cdot (-2) = +2 \)

        Όταν πολλαπλασιάζουμε το -1 με έναν αριθμό, αλλάζει το πρόσημο του αριθμού. Αν είναι θετικός, γίνεται αρνητικός, και αν είναι αρνητικός, γίνεται θετικός. ➕➖


3.  **Υπολογισμός της τιμής μιας παράστασης:**

    \( (-1) \cdot (-20) \cdot (+\frac{2}{3}) \cdot (-3) \cdot (-0,25) \)

    Επειδή έχουμε τέσσερις αρνητικούς παράγοντες (άρτιος αριθμός), το αποτέλεσμα θα είναι θετικό. 👍

    \( (-1) \cdot (-20) \cdot (+\frac{2}{3}) \cdot (-3) \cdot (-0,25) \) \( = +(1 \cdot 20 \cdot \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot 0,25) = +(20 \cdot \frac{2}{3} \cdot 0,75) = +10 \)
    


# ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: Διαίρεση ρητών


Ας δούμε μερικά παραδείγματα για το πώς κάνουμε διαίρεση με :tooltip[ρητούς αριθμούς]{content="Αριθμοί που μπορούν να εκφραστούν ως πηλίκο δύο ακεραίων, με τον παρονομαστή διάφορο του μηδενός."}. ➗

**Παράδειγμα 1:**

*   \( (+1,5) : (+5) = +(1,5 : 5) = +0,3 \)

Εδώ, διαιρούμε δύο θετικούς αριθμούς. Το αποτέλεσμα είναι θετικό και ίσο με \(+0,3\). 👍

**Παράδειγμα 2:**

*   \( \left(+\frac{2}{3}\right) : \left(-\frac{7}{5}\right) = -\left(\frac{2}{3} : \frac{7}{5}\right) = -\left(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}\right) = -\frac{10}{21} \)

Σε αυτό το παράδειγμα, διαιρούμε έναν θετικό με έναν αρνητικό αριθμό. Το αποτέλεσμα είναι αρνητικό και ίσο με \( -\frac{10}{21} \). 😮

**Παράδειγμα 3:**

*   \( (-0,45) : (-0,15) = +(0,45 : 0,15) = +3 \)

Εδώ, διαιρούμε δύο αρνητικούς αριθμούς. Το αποτέλεσμα είναι θετικό και ίσο με \(+3\). 😎


# Να βρεθεί η τιμή της παράστασης 🧮



Να βρεθεί η τιμή της παράστασης σημαίνει να κάνουμε τις πράξεις που μας δίνονται και να βρούμε το αποτέλεσμα. 🎯

Στο παράδειγμα που έχουμε, πρέπει να υπολογίσουμε τα :tooltip[πηλίκα]{content="Το αποτέλεσμα της διαίρεσης."}, δηλαδή τα αποτελέσματα των διαιρέσεων:

(α) \( (+1,5) : (+5) = +(1,5 : 5) = +0,3 \)

Εδώ, διαιρούμε το \( +1,5 \) με το \( +5 \). Το αποτέλεσμα είναι \( +0,3 \). ✅

(β) \( (+\frac{2}{3}) : (-\frac{7}{5}) = -(\frac{2}{3} : \frac{7}{5}) = -(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}) = -\frac{10}{21} \)

Εδώ, διαιρούμε το \( +\frac{2}{3} \) με το \( -\frac{7}{5} \). Για να διαιρέσουμε κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με το αντίστροφο του δεύτερου. Επειδή διαιρούμε έναν θετικό με έναν αρνητικό αριθμό, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό, δηλαδή \( -\frac{10}{21} \). ➗

(γ) \( (-0,45) : (-0,15) = +(0,45 : 0,15) = +3 \)

Εδώ, διαιρούμε το \( -0,45 \) με το \( -0,15 \). Επειδή διαιρούμε δύο αρνητικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα είναι θετικό, δηλαδή \( +3 \). 👍


01. Βασική Θεωρία

Πώς βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου δύο ρητών αριθμών ανάλογα με το αν είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι.

Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών

Πώς βρίσκουμε το πρόσημο του πηλίκου δύο ρητών αριθμών, με κανόνες αντίστοιχους του πολλαπλασιασμού.

Διαίρεση ρητών αριθμών

Λυμένα παραδείγματα με γινόμενα ρητών αριθμών, πολλαπλασιασμό με το -1, και πολλαπλασιασμό πολλών παραγόντων μαζί.

Εφαρμογές στον πολλαπλασιασμό

Λυμένα παραδείγματα διαίρεσης ρητών αριθμών, με δεκαδικούς και με κλάσματα, και εύρεση της τιμής παραστάσεων.

Εφαρμογές στη διαίρεση

# Ό,τι πρέπει να θυμάσαι: Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση Ρητών ✖️➗

Στον πολλαπλασιασμό και στη διαίρεση ρητών αριθμών, η δουλειά γίνεται σε δύο βήματα: πρώτα βρίσκουμε το **πρόσημο** του αποτελέσματος και μετά υπολογίζουμε την **απόλυτη τιμή** του (δηλαδή πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τους αριθμούς σαν να μην είχαν πρόσημο).

## Κανόνας προσήμων στον πολλαπλασιασμό

*   **Ομόσημοι** αριθμοί (ίδιο πρόσημο, και οι δύο θετικοί ή και οι δύο αρνητικοί) → το γινόμενο είναι **θετικό**: \(+ \cdot + = +\) και \(- \cdot - = +\)
*   **Ετερόσημοι** αριθμοί (διαφορετικό πρόσημο) → το γινόμενο είναι **αρνητικό**: \(+ \cdot - = -\) και \(- \cdot + = -\)

:::fact{title="Συμβουλή"}
Ίδια πρόσημα → θετικό αποτέλεσμα. Διαφορετικά πρόσημα → αρνητικό αποτέλεσμα. 👍
:::

## Κανόνας προσήμων στη διαίρεση

Ο κανόνας είναι ακριβώς ο ίδιος με τον πολλαπλασιασμό:

*   Ίδιο πρόσημο → πηλίκο **θετικό**: \(+ : + = +\) και \(- : - = +\)
*   Διαφορετικό πρόσημο → πηλίκο **αρνητικό**: \(+ : - = -\) και \(- : + = -\)

## Πολλαπλασιασμός με το -1

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με το \(-1\), το αποτέλεσμα είναι ο :tooltip[αντίθετος]{content="Ο αριθμός με το ίδιο απόλυτο μέγεθος αλλά αντίθετο πρόσημο."} του αριθμού αυτού — δηλαδή απλώς αλλάζει το πρόσημό του.

:::fact{title="Παρατήρηση"}
Πολλαπλασιάζοντας με το -1, αλλάζουμε το πρόσημο του αριθμού! 😮
:::

## Γινόμενο περισσότερων παραγόντων

Για να βρούμε το πρόσημο ενός γινομένου με πολλούς παράγοντες, μετράμε πόσοι από αυτούς είναι αρνητικοί:

*   **Άρτιος** αριθμός αρνητικών παραγόντων → το γινόμενο είναι **θετικό**
*   **Περιττός** αριθμός αρνητικών παραγόντων → το γινόμενο είναι **αρνητικό**

:::alert{title="Προσοχή!"}
Μην κοιτάς μόνο τα θετικά ή μόνο τα αρνητικά πρόσημα μεμονωμένα — μέτρα το πλήθος των αρνητικών παραγόντων σε όλη την παράσταση για να βρεις το τελικό πρόσημο. 🧐
:::

## Διαίρεση κλασμάτων

Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε το πρώτο με τον :tooltip[αντίστροφο]{content="Το κλάσμα που προκύπτει αν αντιστρέψουμε αριθμητή και παρονομαστή."} του δεύτερου. Το πρόσημο του αποτελέσματος καθορίζεται πάντα πρώτα, με βάση τον κανόνα ομόσημων/ετερόσημων αριθμών.
