Άνοιξε την κασετίνα και άσε την φαντασία σου ελεύθερη. Κράτα γερά τον χάρακα για να μετράς σωστά τις αποστάσεις και σχεδίασε τρίγωνα. Υπολόγισε γωνίες με μοιρογνωμόνιο και σχεδίασε με τον διαβήτη μικρούς και μεγάλους κύκλους. Ο δρόμος για την κορυφή σε περιμένει. Καλωσήρθες στην Γεωμετρία 🧗🏼

Γεωμετρία Α' Γυμνασίου

# Επίκεντρη γωνία και αντίστοιχο τόξο 📐

Φανταστείτε ότι σχεδιάζουμε έναν κύκλο ⚪. Ας ονομάσουμε το κέντρο του κύκλου Ο και την απόσταση από το κέντρο μέχρι την περιφέρεια ρ. Τώρα, σχεδιάζουμε μια γωνία, την \(χÔγ\), έτσι ώστε η κορυφή της γωνίας να είναι το κέντρο Ο του κύκλου. Αυτή η γωνία ονομάζεται :tooltip[επίκεντρη γωνία]{content="Γωνία της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου."}.

Αν η πλευρά Οx της γωνίας \(χÔy\) τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο που ονομάζουμε Α, και η πλευρά Oy τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο που ονομάζουμε Β, τότε δημιουργείται ένα τόξο.

Τέλος, για να μετρήσουμε ένα τόξο, χρησιμοποιούμε το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας. Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο ενός τόξου το μετράμε σε μοίρες, όπως μετράμε και τις γωνίες.


# Ισότητα επίκεντρων γωνιών και τόξων 📐

Σε έναν κύκλο ⭕, ή αν έχουμε δύο κύκλους που είναι ίδιοι μεταξύ τους, ισχύει το εξής: Αν δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους στο κέντρο του κύκλου (:tooltip[επίκεντρες γωνίες]{content="Γωνίες που έχουν την κορυφή τους στο κέντρο του κύκλου."}) είναι ίσες, τότε τα κομμάτια του κύκλου (:tooltip[τόξα]{content="Ένα τμήμα της περιφέρειας ενός κύκλου."}) που βρίσκονται απέναντί τους είναι επίσης ίσα.

Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο: Αν έχουμε δύο ίσα τόξα σε έναν κύκλο (ή σε ίσους κύκλους), τότε οι επίκεντρες γωνίες που αντιστοιχούν σε αυτά τα τόξα είναι ίσες μεταξύ τους. ✨


01. Βασική Θεωρία

Τι σημαίνει μια γωνία να έχει κορυφή στο κέντρο ενός κύκλου, πώς γεννιέται από αυτήν ένα τόξο και πώς μετράμε το τόξο σε μοίρες.

Επίκεντρη Γωνία και Αντίστοιχο Τόξο

Πώς συνδέονται ίσες επίκεντρες γωνίες με ίσα τόξα σε έναν κύκλο ή σε ίσους κύκλους, και προς ποια κατεύθυνση ισχύει αυτή η σχέση.

Ισότητα Επίκεντρων Γωνιών και Τόξων

# Επίκεντρη Γωνία και Τόξο 📐

Επίκεντρη γωνία είναι μια γωνία με κορυφή στο κέντρο \(Ο\) ενός κύκλου. Οι πλευρές της τέμνουν την περιφέρεια σε δύο σημεία, και το κομμάτι του κύκλου μέσα στη γωνία λέγεται **αντίστοιχο τόξο** της.

:::fact{title="Μέτρηση τόξου"}
Το μέτρο ενός τόξου ισούται με το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας του.
:::

Σε έναν κύκλο, ή σε δύο ίσους κύκλους, ισχύει αμφίδρομη σχέση: ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν σε ίσα τόξα, και αντίστροφα, ίσα τόξα σε ίσες επίκεντρες γωνίες.


Γεωμετρία Α' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία