Άνοιξε την κασετίνα και άσε την φαντασία σου ελεύθερη. Κράτα γερά τον χάρακα για να μετράς σωστά τις αποστάσεις και σχεδίασε τρίγωνα. Υπολόγισε γωνίες με μοιρογνωμόνιο και σχεδίασε με τον διαβήτη μικρούς και μεγάλους κύκλους. Ο δρόμος για την κορυφή σε περιμένει. Καλωσήρθες στην Γεωμετρία 🧗🏼

Γεωμετρία Α' Γυμνασίου

# Ορισμός εφεξής και διαδοχικών γωνιών 📐

## Εφεξής γωνίες είναι δύο γωνίες που:
1.   Έχουν την ίδια κορυφή 📍.
2.   Έχουν μία κοινή πλευρά ↔️.
3.   Δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο 🚫.

## Διαδοχικές γωνίες είναι δύο γωνίες που:

1. Έχουν κοινή κορυφή,

2. Κοινή πλευρά,

3. Και το σύνολό τους σχηματίζεται από εφεξής γωνίες.

👉 Δηλαδή, όταν έχεις σειρά από εφεξής γωνίες, τότε όλες μαζί λέγονται διαδοχικές.


# Ορισμός παραπληρωματικών, συμπληρωματικών και κατακορυφήν γωνιών 📐

1. Οι :tooltip[παραπληρωματικές γωνίες]{content="δύο γωνίες που όταν τις προσθέτουμε, το αποτέλεσμα είναι \(180°\). Κάθε μία από αυτές τις γωνίες λέγεται παραπληρωματική της άλλης."} είναι δύο γωνίες που όταν τις προσθέτουμε, το αποτέλεσμα είναι \(180°\). Κάθε μία από αυτές τις γωνίες λέγεται παραπληρωματική της άλλης. 
2. Οι :tooltip[συμπληρωματικές γωνίες]{content="δύο γωνίες που όταν τις προσθέτουμε, το αποτέλεσμα είναι \(90°\). Κάθε μία από αυτές τις γωνίες λέγεται συμπληρωματική της άλλης."} είναι δύο γωνίες που όταν τις προσθέτουμε, το αποτέλεσμα είναι \(90°\). Κάθε μία από αυτές τις γωνίες λέγεται συμπληρωματική της άλλης. 
3. Οι :tooltip[κατακορυφήν γωνίες]{content="δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντίθετες ημιευθείες."} είναι δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή και οι πλευρές τους είναι αντίθετες ημιευθείες. 🤩

:::fact{title="Το ήξερες;"}
Οι κατακορυφήν γωνίες μοιάζει να σχηματίζουν ένα μεγάλο γράμμα ✖️.

 Επιπλέον δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 🤝
:::

# Παράδειγμα 1: Εύρεση παραπληρωματικής γωνίας 📐

Στο παράδειγμα 1, έχουμε μια γωνία που ονομάζεται χÔy και το μέτρο της είναι \(α = 72°\). Θέλουμε να βρούμε και να σχεδιάσουμε την :tooltip[παραπληρωματική]{content="Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι 180°."} της γωνίας. 🤔

Για να το κάνουμε αυτό, ας πούμε ότι η παραπληρωματική γωνία της γωνίας \(α\) έχει μέτρο \(β\). Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα \(180°\), οπότε \(β = 180° - α\).

Στην περίπτωσή μας, \(β = 180° - 72° = 108°\).


# Παράδειγμα 2: Εύρεση συμπληρωματικής γωνίας


Ας δούμε το παράδειγμα 2, όπου ψάχνουμε τη :tooltip[συμπληρωματική γωνία]{content="Δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές όταν το άθροισμα των μέτρων τους είναι 90°."}. 📐

Έχουμε μια γωνία, την \(χÔψ\), που έχει μέτρο \(α = 33°\). Θέλουμε να βρούμε και να σχεδιάσουμε τη συμπληρωματική της γωνίας.

Για να το κάνουμε αυτό, ας πούμε ότι η συμπληρωματική της γωνίας \(α\) έχει μέτρο \(β\). Τότε, για να είναι συμπληρωματικές, πρέπει \(β = 90° - α\).

Αντικαθιστώντας την τιμή του \(α\), έχουμε: \(β = 90° - 33° = 57°\).


# Παράδειγμα 4: Εξέταση κατακορυφήν γωνιών με διαφανές χαρτί 📐


Στο παράδειγμα 4, θέλουμε να δούμε τι σχέση έχουν δύο :tooltip[κατακορυφήν γωνίες]{content="Γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και οι πλευρές της μιας είναι προεκτάσεις των πλευρών της άλλης."} χρησιμοποιώντας ένα διαφανές χαρτί. 🤔

Η διαδικασία είναι η εξής: Σχεδιάζουμε δύο κατακορυφήν γωνίες. Με ένα διαφανές χαρτί, αντιγράφουμε τη μία γωνία. Στη συνέχεια, αναποδογυρίζουμε το διαφανές χαρτί και το τοποθετούμε πάνω στην άλλη γωνία. ✍️

Αυτό που παρατηρούμε είναι ότι οι δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ακριβώς ίδιες.

Έτσι, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι: Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες. 🎉


01. Βασική Θεωρία

Πότε δύο γωνίες λέγονται εφεξής και πώς μια ολόκληρη σειρά τέτοιων γωνιών σχηματίζει διαδοχικές γωνίες.

Εφεξής και Διαδοχικές Γωνίες

Τι κάνει δύο γωνίες παραπληρωματικές, συμπληρωματικές ή κατακορυφήν, και γιατί οι κατακορυφήν βγαίνουν πάντα ίσες.

Παραπληρωματικές, Συμπληρωματικές και Κατακορυφήν Γωνίες

Λυμένα παραδείγματα υπολογισμού παραπληρωματικής και συμπληρωματικής γωνίας, και πείραμα με διαφανές χαρτί για τις κατακορυφήν.

Παραδείγματα Εφαρμογής

# Σχέσεις Γωνιών: Εφεξής, Παραπληρωματικές, Συμπληρωματικές, Κατακορυφήν 📐

**Εφεξής** λέγονται δύο γωνίες με ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και κανένα άλλο κοινό σημείο. Μια σειρά εφεξής γωνιών, όλες μαζί, λέγεται **διαδοχικές** γωνίες.

**Παραπληρωματικές** είναι δύο γωνίες με άθροισμα \(180°\)· **συμπληρωματικές** είναι δύο γωνίες με άθροισμα \(90°\). Κάθε γωνία λέγεται παραπληρωματική ή συμπληρωματική της άλλης, αντίστοιχα.

**Κατακορυφήν** είναι δύο γωνίες με κοινή κορυφή, των οποίων οι πλευρές είναι αντίθετες ημιευθείες ανά δύο.

:::fact{title="Γεγονός"}
Δύο κατακορυφήν γωνίες είναι πάντα ίσες μεταξύ τους.
:::

:::alert{title="Προσοχή στη σύγχυση όρων"}
«Εφεξής» αφορά τη **θέση**, όχι το άθροισμα. Παραπληρωματικές (\(180°\)) και συμπληρωματικές (\(90°\)) διαφέρουν στο άθροισμα· οι κατακορυφήν δεν έχουν σχέση αθροίσματος, μόνο ισότητας.
:::
