Συνήθως τον αποκαλούμε άγνωστο 'Χ'. Η αποστολή σου είναι να ανακαλύψεις τι κρύβει μέσα του. Για να το καταφέρεις θα αντιμετωπίσεις πολλές προκλήσεις. Θα λύσεις εξισώσεις, θα υπολογίσεις τετραγωνικές ρίζες και θα σχεδιάσεις γραφικές παραστάσεις. Ετοιμάσου για τη μεγάλη περιπέτεια 🦸🏻‍♂️

Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

# Δραστηριότητα 1 - Ποδοσφαιρικές προτιμήσεις ⚽

Ας δούμε μια έρευνα 🧐 που έγινε σε ένα γυμνάσιο στη Βόρεια Ελλάδα 🇬🇷 για να μάθουμε τι ομάδες ποδοσφαίρου ⚽ προτιμούν οι μαθητές.

**Τι έδειξε η έρευνα;**

Από τους 60 μαθητές που συμμετείχαν:

*   18 μαθητές προτιμούν τον :tooltip[Άρη]{content="Ελληνική ποδοσφαιρική ομάδα με έδρα τη Θεσσαλονίκη."}.
*   12 μαθητές προτιμούν τον :tooltip[ΠΑΟΚ]{content="Ελληνική ποδοσφαιρική ομάδα με έδρα τη Θεσσαλονίκη."}.
*   6 μαθητές προτιμούν την :tooltip[ΑΕΚ]{content="Ελληνική ποδοσφαιρική ομάδα με έδρα την Αθήνα."}.
*   9 μαθητές προτιμούν τον :tooltip[Ολυμπιακό]{content="Ελληνική ποδοσφαιρική ομάδα με έδρα τον Πειραιά."}.
*   3 μαθητές προτιμούν τον :tooltip[Παναθηναϊκό]{content="Ελληνική ποδοσφαιρική ομάδα με έδρα την Αθήνα."}.
*   9 μαθητές προτιμούν τον :tooltip[Ηρακλή]{content="Ελληνική ποδοσφαιρική ομάδα με έδρα τη Θεσσαλονίκη."}.
*   3 μαθητές προτιμούν τον :tooltip[ΟΦΗ]{content="Ελληνική ποδοσφαιρική ομάδα με έδρα το Ηράκλειο Κρήτης."}.

**Πώς βρίσκουμε τα ποσοστά;**

Για να βρούμε το :tooltip[ποσοστό]{content="Ένας τρόπος έκφρασης ενός αριθμού ως μέρος του 100."} των μαθητών που προτιμούν μια ομάδα, διαιρούμε τον αριθμό των μαθητών που την προτιμούν με τον συνολικό αριθμό των μαθητών (60) και πολλαπλασιάζουμε επί 100.

*   **Άρης:** \( \frac{18}{60} = 0,3 = 30\% \)
*   **ΠΑΟΚ:** \( \frac{12}{60} = 0,2 = 20\% \)
*   **Ηρακλής:** \( \frac{9}{60} = 0,15 = 15\% \)
*   **Ολυμπιακός:** \( \frac{9}{60} = 0,15 = 15\% \)
*   **ΑΕΚ:** \( \frac{6}{60} = 0,1 = 10\% \)
*   **Παναθηναϊκός:** \( \frac{3}{60} = 0,05 = 5\% \)
*   **ΟΦΗ:** \( \frac{3}{60} = 0,05 = 5\% \)

**Είναι αξιόπιστα τα αποτελέσματα για όλη την Ελλάδα;**

Όχι, τα αποτελέσματα αυτής της έρευνας δεν είναι απαραίτητα αντιπροσωπευτικά για όλους τους μαθητές γυμνασίου στην Ελλάδα. Για να έχουμε μια πιο αξιόπιστη εικόνα, θα έπρεπε να κάνουμε έρευνα σε περισσότερα γυμνάσια σε διάφορες περιοχές της Ελλάδας. 🌍


# Ορισμός Πληθυσμού 🧑‍🤝‍🧑

Όταν κάνουμε μια έρευνα 🧐, ο "πληθυσμός" είναι το σύνολο των ανθρώπων 🧑‍🤝‍🧑 ή πραγμάτων που μας ενδιαφέρουν.

Για παράδειγμα, αν θέλουμε να μάθουμε τι ομάδα ποδοσφαίρου ⚽ υποστηρίζουν οι μαθητές των Γυμνασίων στην Ελλάδα 🇬🇷, τότε όλοι αυτοί οι μαθητές είναι ο "πληθυσμός" μας.

Γενικά, :tooltip[πληθυσμός]{content="Ένα σύνολο του οποίου τα μέλη μελετάμε για κάποιο συγκεκριμένο χαρακτηριστικό."} είναι ένα σύνολο του οποίου τα μέλη μελετάμε για κάποιο συγκεκριμένο χαρακτηριστικό. Το χαρακτηριστικό που μελετάμε (όπως η ομάδα που υποστηρίζουν) ονομάζεται :tooltip[μεταβλητή]{content="Το χαρακτηριστικό που μελετάμε σε έναν πληθυσμό."}.


# Δειγματοληψία και Δείγμα 🎯

Όταν θέλουμε να μάθουμε κάτι για μια μεγάλη ομάδα ανθρώπων, που ονομάζεται :tooltip[πληθυσμός]{content="Το σύνολο των ατόμων ή αντικειμένων που μας ενδιαφέρουν."}, συχνά δεν μπορούμε να ρωτήσουμε όλους. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να μάθουμε τι ομάδα ποδοσφαίρου ⚽ προτιμούν οι μαθητές Γυμνασίου στην Ελλάδα 🇬🇷, δεν μπορούμε να ρωτήσουμε και τους 400.000 μαθητές.

Αντί να ρωτήσουμε όλους, παίρνουμε ένα μικρό κομμάτι από τον πληθυσμό, που το ονομάζουμε :tooltip[δείγμα]{content="Ένα μικρότερο σύνολο ατόμων ή αντικειμένων που επιλέγεται από τον πληθυσμό."}. Η διαδικασία που ακολουθούμε για να πάρουμε αυτό το δείγμα λέγεται :tooltip[δειγματοληψία]{content="Η διαδικασία επιλογής ενός δείγματος από έναν πληθυσμό."} ή δημοσκόπηση.

Στο παράδειγμα με τους μαθητές, αντί να ρωτήσουμε και τους 400.000, ρωτήσαμε μόνο 60 μαθητές. Αυτοί οι 60 μαθητές είναι το δείγμα μας. Ο αριθμός των ατόμων που ρωτάμε στο δείγμα (στην περίπτωσή μας, 60) ονομάζεται :tooltip[μέγεθος του δείγματος]{content="Ο αριθμός των ατόμων ή αντικειμένων στο δείγμα."}.

Όμως, πρέπει να προσέχουμε! 🤔 Αν το δείγμα μας δεν είναι καλό, τα αποτελέσματα που θα βγάλουμε μπορεί να μην ισχύουν για όλους τους μαθητές στην Ελλάδα. Για παράδειγμα, αν ρωτήσουμε μόνο μαθητές από μια συγκεκριμένη περιοχή, τα αποτελέσματα μπορεί να μην είναι αντιπροσωπευτικά για όλους τους μαθητές της Ελλάδας.

Η δειγματοληψία είναι πιο γρήγορη 🚀 και φθηνή 💸 από το να ρωτήσουμε όλους, αλλά πρέπει να την κάνουμε με προσοχή για να βγάλουμε σωστά συμπεράσματα.


# Απογραφή και Δειγματοληψία 📊

Η συγκέντρωση πληροφοριών για στατιστικούς σκοπούς γίνεται με τρεις βασικούς τρόπους: απογραφή, διαρκής εγγραφή και :tooltip[δειγματοληψία]{content="Μέθοδος συλλογής δεδομένων από ένα υποσύνολο του πληθυσμού για εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο."}.

*   **Απογραφή:** Στην απογραφή, μαζεύουμε πληροφορίες από όλους τους ανθρώπους 🧑‍🤝‍🧑 ή τα αντικείμενα 📦 που μας ενδιαφέρουν, σε μια συγκεκριμένη στιγμή. Στην Ελλάδα, η απογραφή πληθυσμού γίνεται κάθε 10 χρόνια από την :tooltip[Εθνική Στατιστική Υπηρεσία]{content="Η Εθνική Στατιστική Υπηρεσία της Ελλάδας (ΕΣΥΕ) είναι υπεύθυνη για τη συλλογή και ανάλυση στατιστικών δεδομένων στην Ελλάδα."} της Ελλάδας (ΕΣΥΕ).
*   **Διαρκής Εγγραφή:** Η διαρκής εγγραφή είναι η συνεχής καταγραφή γεγονότων. Γίνεται καθημερινά σε μέρη όπως τα ληξιαρχεία 🏢 (όπου καταγράφονται γεννήσεις 👶, γάμοι 💍 κ.λπ.), τα τελωνεία (για τα εμπορεύματα) και τα νοσοκομεία 🏥 (για τις ασθένειες).


# Σύγκριση Δειγματοληψίας και Απογραφής 📊

Η :tooltip[δειγματοληψία]{content="Συλλογή δεδομένων από ένα υποσύνολο ενός συνόλου για συμπεράσματα για ολόκληρο το σύνολο."} και η απογραφή είναι δύο μέθοδοι συλλογής πληροφοριών.

Στη δειγματοληψία, συλλέγουμε δεδομένα μόνο από ένα τμήμα του συνόλου που μας ενδιαφέρει, το δείγμα. Στη συνέχεια, εξάγουμε συμπεράσματα για ολόκληρο το σύνολο με βάση αυτό το δείγμα. 🤔

Η δειγματοληψία είναι πιο οικονομική 💰 και γρήγορη 🚀 από την απογραφή. Ωστόσο, απαιτεί προσεκτικό σχεδιασμό και εκτέλεση για να διασφαλιστεί η ακρίβεια των συμπερασμάτων. 🎯 Αν δεν προσέξουμε, τα συμπεράσματα που θα βγάλουμε μπορεί να μην είναι σωστά. ⚠️


# Δραστηριότητα 1 - Μουσικές προτιμήσεις 🎶

Μια δισκογραφική εταιρεία 🏢 θέλει να πουλήσει περισσότερους δίσκους σε εφήβους 🧑‍🎤. Για να βρει ποια μουσική αρέσει στους μαθητές, έκανε μια έρευνα σε 200 μαθητές 🧑‍🎓 από όλη την Ελλάδα 🇬🇷.

Ο υπεύθυνος της έρευνας έδειξε στον διευθυντή της εταιρείας τρία γραφήματα με τα αποτελέσματα.

Η έρευνα ρώτησε:
α) Πόσοι μαθητές προτιμούν κάθε είδος μουσικής;
β) Σε ποια είδη μουσικής θα ήταν καλύτερα να επενδύσει η εταιρεία;

Από την έρευνα φάνηκε ότι:
* 60 μαθητές από τους 200 προτιμούν :tooltip[λαϊκό]{content="Ελληνική μουσική με παραδοσιακά στοιχεία και σύγχρονη ενορχήστρωση."} τραγούδι (το \(30\%\)).
* 40 μαθητές από τους 200 προτιμούν :tooltip[ροκ]{content="Είδος μουσικής με ηλεκτρικές κιθάρες, μπάσο και ντραμς."} (το \(20\%\)).
* 50 μαθητές από τους 200 προτιμούν :tooltip[δημοτικό]{content="Παραδοσιακή ελληνική μουσική από διάφορες περιοχές της Ελλάδας."} τραγούδι (το \(25\%\)).
* 30 μαθητές από τους 200 προτιμούν :tooltip[ελαφρύ]{content="Είδος μουσικής με απαλή μελωδία και απλό στίχο."} τραγούδι (το \(15\%\)).
* 20 μαθητές από τους 200 προτιμούν :tooltip[μέταλ]{content="Είδος μουσικής με έντονο ήχο, παραμορφωμένες κιθάρες και δυνατά ντραμς."} μουσική (το \(10\%\)).

Η εταιρεία θα πρέπει να επενδύσει πρώτα στο λαϊκό, μετά στο δημοτικό, μετά στο ροκ, μετά στο ελαφρύ και τέλος στο μέταλ. 👍


# Εισαγωγή στις Γραφικές Παραστάσεις 📊

Τα διαγράμματα είναι ένας τρόπος να δείχνουμε τα αποτελέσματα μιας έρευνας με εικόνες, ώστε να είναι πιο εύκολο να τα καταλάβουμε. Τα βλέπουμε συχνά σε εφημερίδες και περιοδικά. Ας δούμε μερικά είδη διαγραμμάτων που χρησιμοποιούμε:

*   **Εικονογράμματα:** Στα εικονογράμματα, χρησιμοποιούμε εικόνες για να δείξουμε πόσες φορές βλέπουμε κάτι στην έρευνά μας. Πρέπει να υπάρχει ένας τίτλος που να μας λέει για τι πράγμα είναι η έρευνα, και μια :tooltip[κλίμακα]{content="Μια σειρά αριθμών που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση ή την αναπαράσταση δεδομένων."} που να δείχνει πόσα πράγματα αντιπροσωπεύει κάθε εικόνα. Επίσης, πρέπει να υπάρχει τίτλος σε κάθε στήλη. Για παράδειγμα, σε ένα εικονόγραμμα, κάθε CD μπορεί να δείχνει 10 μαθητές. 💿
*   **Ραβδογράμματα:** Στα ραβδογράμματα, χρησιμοποιούμε ορθογώνια για να δείξουμε πόσοι μαθητές προτιμούν ένα συγκεκριμένο είδος μουσικής. Πρέπει να υπάρχει ένας τίτλος που να μας λέει για τι είναι το ραβδόγραμμα και τίτλοι στους άξονες. Οι τίτλοι των αξόνων μας δείχνουν ότι ο οριζόντιος άξονας δείχνει τα είδη της μουσικής και ο κάθετος άξονας δείχνει τον αριθμό των μαθητών. Τα ραβδογράμματα είναι πιο εύκολο να τα σχεδιάσουμε και είναι πιο ακριβή από τα εικονογράμματα. Τα ορθογώνια στα ραβδογράμματα μπορούν να είναι κάθετα ή οριζόντια. 📈
*   **Κυκλικά διαγράμματα:** Στα κυκλικά διαγράμματα, μπορούμε να δούμε τι μέρος του συνόλου προτιμά κάθε είδος μουσικής. Το σύνολο το δείχνουμε σαν έναν κυκλικό δίσκο, και οι τιμές που μετράμε τις δείχνουμε με κομμάτια του κύκλου. 🍕


# Εικονόγραμμα 📊

Ένα :tooltip[εικονόγραμμα]{content="Τρόπος παρουσίασης πληροφοριών με εικόνες αντί για αριθμούς."} είναι ένας τρόπος να δείχνουμε πληροφορίες χρησιμοποιώντας εικόνες. Αντί να χρησιμοποιούμε απλούς αριθμούς, χρησιμοποιούμε μια εικόνα που αντιπροσωπεύει κάτι που μετράμε.

Για να φτιάξουμε ένα εικονόγραμμα, χρειαζόμαστε:

1.  **Τίτλο:** Ένας τίτλος που να εξηγεί τι δείχνει το εικονόγραμμα, δηλαδή για ποιο θέμα γίνεται η έρευνα. 🤔
2.  **Εικόνες:** Επιλέγουμε μια εικόνα που ταιριάζει με αυτό που μετράμε. 🖼️
3.  **Κλίμακα:** Καθορίζουμε τι αντιπροσωπεύει κάθε εικόνα. Για παράδειγμα, μία εικόνα μπορεί να αντιστοιχεί σε 10 μαθητές. 📏
4.  **Τίτλους Στηλών:** Βάζουμε τίτλους σε κάθε στήλη για να δείξουμε τις κατηγορίες που μετράμε. 📝

Έτσι, με μια ματιά, μπορούμε να καταλάβουμε πόσο συχνά εμφανίζεται κάτι στην έρευνά μας. Για παράδειγμα, αν φτιάχνουμε ένα εικονόγραμμα για τα αγαπημένα είδη μουσικής των μαθητών, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε εικόνες από CD. Κάθε CD θα μπορούσε να αντιπροσωπεύει 10 μαθητές. Μετρώντας τα CD σε κάθε στήλη (π.χ. λαϊκό, ροκ, δημοτικό), θα βλέπαμε ποιο είδος μουσικής προτιμούν περισσότερο οι μαθητές. 🎶


# Ραβδόγραμμα 📊

Ένα ραβδόγραμμα είναι ένας τρόπος να δείξουμε πληροφορίες χρησιμοποιώντας ορθογώνια, σαν στήλες. Αυτές οι στήλες μας βοηθούν να δούμε πόσοι μαθητές προτιμούν ένα συγκεκριμένο είδος μουσικής. 🎶

Για να καταλάβουμε ένα ραβδόγραμμα, πρέπει να προσέξουμε τα εξής:

1.  **Τίτλος:** Ο τίτλος μας λέει για τι πράγμα είναι το ραβδόγραμμα, δηλαδή τι είδους έρευνας δείχνει. 🧐
2.  **Άξονες:** Έχουμε δύο άξονες, έναν οριζόντιο και έναν κάθετο.
    *   Ο οριζόντιος άξονας δείχνει τα είδη της μουσικής, όπως λαϊκό, ροκ, δημοτικό κ.λπ. 🎸
    *   Ο κάθετος άξονας δείχνει τον αριθμό των μαθητών που προτιμούν το κάθε είδος μουσικής. 🧑‍🎓

Τα ραβδογράμματα είναι εύκολο να τα σχεδιάσουμε και είναι πιο ακριβή από τα :tooltip[εικονογράμματα]{content="Ένας τρόπος παρουσίασης δεδομένων με εικόνες."}. 📊 Οι στήλες (ορθογώνια) μπορούν να είναι είτε κάθετες είτε οριζόντιες. 👍


# Κυκλικά Διαγράμματα 📊

Τα κυκλικά διαγράμματα είναι ένας τρόπος να δείξουμε τι μέρος ενός συνόλου προτιμά κάτι συγκεκριμένο, όπως ένα είδος μουσικής 🎵. Φανταστείτε ένα κυκλικό διάγραμμα σαν μια πίτα 🥧. Ολόκληρη η πίτα (ο :tooltip[κυκλικός δίσκος]{content="Ολόκληρο το κυκλικό διάγραμμα, που αντιπροσωπεύει το σύνολο των δεδομένων."}) αντιπροσωπεύει όλο το :tooltip[δείγμα]{content="Το σύνολο των ατόμων ή αντικειμένων που συμμετέχουν στην έρευνα."} (π.χ. όλους τους μαθητές που συμμετείχαν σε μια έρευνα). Κάθε κομμάτι της πίτας (:tooltip[κυκλικός τομέας]{content="Ένα τμήμα του κυκλικού διαγράμματος που αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο ποσοστό του συνόλου."}) δείχνει πόσοι από το δείγμα προτιμούν κάτι, και κάθε κομμάτι έχει διαφορετικό χρώμα 🎨.


# Χρονογράμματα 📈

Τα χρονογράμματα είναι διαγράμματα που χρησιμοποιούμε για να δείξουμε πώς αλλάζει κάτι με το πέρασμα του :tooltip[χρόνου]{content="Η συνεχής εξέλιξη της ύπαρξης και των γεγονότων στο παρελθόν, παρόν και μέλλον."}. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να δείξουμε τα κέρδη μιας εταιρείας σε χιλιάδες ευρώ 💰 για τα έτη 1998 έως 2004, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα χρονογράφημα.


# Εφαρμογή 1 - Κατασκευή Διαγραμμάτων 📊

Έχουμε μια έρευνα που έγινε σε 300 μαθητές σχετικά με το πόσα εξωσχολικά βιβλία διάβασαν τον τελευταίο μήνα. Θα φτιάξουμε τρία είδη διαγραμμάτων για να δείξουμε τα αποτελέσματα:

1.  **Ραβδόγραμμα:** Ένα ραβδόγραμμα χρησιμοποιεί ράβδους για να δείξει πόσο συχνά εμφανίζεται κάθε απάντηση. 📈
2.  **Κυκλικό Διάγραμμα:** Ένα :tooltip[κυκλικό διάγραμμα]{content="Δείχνει πώς ένα σύνολο δεδομένων χωρίζεται σε μέρη, με κάθε κομμάτι να αντιπροσωπεύει ένα ποσοστό του συνόλου."} (πίτα) δείχνει πώς ένα σύνολο δεδομένων χωρίζεται σε μέρη. 🍕
3.  **Εικονόγραμμα:** Ένα :tooltip[εικονόγραμμα]{content="Χρησιμοποιεί εικόνες για να αναπαραστήσει δεδομένα, όπου κάθε εικόνα αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη ποσότητα."} χρησιμοποιεί εικόνες για να αναπαραστήσει δεδομένα. Στην περίπτωσή μας, κάθε εικόνα θα αντιστοιχεί σε 10 μαθητές. 🧑‍🎓

Ο πίνακας με τα δεδομένα έχει δύο στήλες:

*   **Αριθμός βιβλίων:** Δείχνει πόσα βιβλία διάβασαν οι μαθητές (0, 1, 2, 3 ή 4). 📚
*   **Μαθητές:** Δείχνει πόσοι μαθητές διάβασαν τον αντίστοιχο αριθμό βιβλίων.

Για παράδειγμα:

*   50 μαθητές δεν διάβασαν κανένα βιβλίο (0 βιβλία).
*   110 μαθητές διάβασαν 1 βιβλίο.
*   80 μαθητές διάβασαν 2 βιβλία.
*   40 μαθητές διάβασαν 3 βιβλία.
*   20 μαθητές διάβασαν 4 βιβλία.


# Δραστηριότητα 1 - Μέση Τιμή Ταβέρνας 🧑‍🍳

Η "Δραστηριότητα 1 - Μέση Τιμή Ταβέρνας" αφορά ένα πρόβλημα όπου ο Γιώργος έχει μια ταβέρνα 🍺 και θέλουμε να βρούμε τον :tooltip[μέσο όρο]{content="Το άθροισμα των τιμών διαιρούμενο με τον αριθμό των τιμών."} των κερδών του για ένα έτος.

Ας υποθέσουμε ότι ο Γιώργος ήταν υπάλληλος στην ταβέρνα του. Θέλουμε να βρούμε πόσα χρήματα 💰 θα έπρεπε να παίρνει κάθε μήνα ώστε να έχει το ίδιο συνολικό εισόδημα στο τέλος του χρόνου.

Τα κέρδη του Γιώργου για κάθε μήνα ήταν: 0, 0, 100, 400, 1000, 1500, 2500, 5000, 1500, 250, 50, 0 ευρώ.

Πρώτα, πρέπει να βρούμε πόσα χρήματα κέρδισε συνολικά ο Γιώργος όλο το χρόνο. Προσθέτουμε όλα τα μηνιαία κέρδη:
\(0 + 0 + 100 + 400 + 1000 + 1500 + 2500 + 5000 + 1500 + 250 + 50 + 0 = 12300\) ευρώ.

Έτσι, ο Γιώργος κέρδισε συνολικά \(12300\) ευρώ.

Τώρα, για να βρούμε τον μηνιαίο μισθό που θα έπρεπε να παίρνει, διαιρούμε το συνολικό ποσό με τον αριθμό των μηνών, δηλαδή το \(12\):
\( \frac{12300}{12} = 1025\) ευρώ.

Άρα, ο Γιώργος θα έπρεπε να παίρνει \(1025\) ευρώ κάθε μήνα.

Αυτό σημαίνει ότι ο μέσος όρος των μηνιαίων κερδών του Γιώργου είναι \(1025\) ευρώ.

Γενικά, για να βρούμε τη μέση τιμή, προσθέτουμε όλους τους αριθμούς που έχουμε και διαιρούμε με το πόσοι είναι αυτοί οι αριθμοί. Στην περίπτωσή μας:

Μέση τιμή = \(\frac{άθροισμα \space των \space παρατηρήσεων}{πλήθος \space των \space παρατηρήσεων}\)


# Ορισμός Μέσης Τιμής 🧮

Η μέση τιμή είναι ένας τρόπος να βρούμε έναν αριθμό που αντιπροσωπεύει μια ομάδα αριθμών. 🧮

Για να βρούμε τη μέση τιμή, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1.  Προσθέτουμε όλους τους αριθμούς που έχουμε.➕
2.  Μετράμε πόσοι είναι όλοι οι αριθμοί.🔢
3.  Διαιρούμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης με τον αριθμό που βρήκαμε στο μέτρημα.➗

Έτσι, η μέση τιμή υπολογίζεται με τον εξής τύπο:

Μέση τιμή = \( \frac{άθροισμα \space των \space παρατηρήσεων}{πλήθος \space των \space παρατηρήσεων} \)

Για παράδειγμα, αν έχουμε τις τιμές 2, 4, και 6, τότε η :tooltip[μέση τιμή]{content="Ένας αριθμός που αντιπροσωπεύει μια ομάδα αριθμών."} είναι (2+4+6)/3 = 4. 👍


# Δραστηριότητα 2 - Μισθοί Εργαζομένων 💰

Η "Δραστηριότητα 2 - Μισθοί Εργαζομένων" αφορά τους μισθούς που παίρνουν οι εργαζόμενοι σε μια επιχείρηση. 🏢

Έχουμε τους μισθούς εννέα εργαζομένων: 700€, 600€, 2900€, 950€, 700€, 800€, 700€, 2100€, 900€.

Πρέπει να βρούμε:

α) Τη :tooltip[μέση τιμή]{content="Το άθροισμα όλων των τιμών διαιρούμενο με τον αριθμό των τιμών."} αυτών των μισθών. Προσθέτουμε όλους τους μισθούς μαζί και διαιρούμε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των εργαζομένων, που είναι 9. Έτσι, \( \frac{700 + 600 + 2900 + 950 + 700 + 800 + 700 + 2100 + 900}{9} = \frac{10350}{9} = 1150 \)€. Άρα, η μέση τιμή των μισθών είναι 1150€. 🧮

β) Ποια τιμή μισθού είναι πιο κοντά σε αυτό που παίρνουν οι περισσότεροι εργαζόμενοι. 🤔


# Ορισμός Διαμέσου 🎚️

Η :tooltip[διάμεσος]{content="Ένα μέγεθος που χρησιμοποιείται στην στατιστική."} είναι ένα μέγεθος που χρησιμοποιείται στην στατιστική. Ένας τρόπος για να βρούμε τη διάμεσο είναι ο εξής:

1.  Γράφουμε όλους τους αριθμούς που έχουμε σε σειρά, από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο. 🔢
2.  Μετά, σβήνουμε τον πρώτο και τον τελευταίο αριθμό. ❌
3.  Στη συνέχεια, σβήνουμε τον δεύτερο και τον προτελευταίο αριθμό. ✂️
4.  Συνεχίζουμε να σβήνουμε με αυτόν τον τρόπο, μέχρι να μείνει μόνο ένας αριθμός. Αυτός ο αριθμός είναι η διάμεσος. 🎯

Όταν έχουμε έναν μονό αριθμό παρατηρήσεων (π.χ. 5 αριθμούς), η διάμεσος είναι ο αριθμός που μένει στη μέση, αφού τους βάλουμε σε σειρά και σβήσουμε τους υπόλοιπους.

Αν έχουμε έναν ζυγό αριθμό παρατηρήσεων (π.χ. 6 αριθμούς), τότε στο τέλος θα μείνουν δύο αριθμοί στη μέση. Για να βρούμε τη διάμεσο, προσθέτουμε αυτούς τους δύο αριθμούς και διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2. Για παράδειγμα, αν οι δύο αριθμοί που μένουν είναι το 14 και το 15, τότε η διάμεσος είναι \(\frac{14 + 15}{2} = \frac{29}{2} = 14,5\). ➗


# Διάμεσος - Περιττός αριθμός παρατηρήσεων 📊

Όταν έχουμε έναν περιττό αριθμό από παρατηρήσεις (δηλαδή μετρήσεις ή δεδομένα ℹ️), για να βρούμε τη :tooltip[διάμεσο]{content="Η μέση τιμή ενός συνόλου δεδομένων."}, απλά παίρνουμε την παρατήρηση που βρίσκεται ακριβώς στη μέση. 🧮


# Διάμεσος - Άρτιος αριθμός παρατηρήσεων 📊

Όταν έχουμε έναν άρτιο αριθμό παρατηρήσεων, για να βρούμε τη :tooltip[διάμεσο]{content="Η μεσαία τιμή ενός συνόλου δεδομένων."}, δεν υπάρχει μία μόνο μεσαία παρατήρηση. Αντί γι' αυτό, παίρνουμε τον μέσο όρο των δύο μεσαίων παρατηρήσεων. Αυτό σημαίνει ότι προσθέτουμε τις δύο μεσαίες παρατηρήσεις και διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2. ➗

Για παράδειγμα, αν έχουμε τις παρατηρήσεις: 15, 11, 11, 12, 16, 17, 13, 14, 16, 19, τις βάζουμε σε σειρά από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη: 11, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 16, 17, 19. 🔢
Έχουμε 10 παρατηρήσεις, που είναι άρτιος αριθμός. Οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις είναι το 14 και το 15.
Για να βρούμε τη διάμεσο, υπολογίζουμε τον μέσο όρο τους: \(\frac{14 + 15}{2} = \frac{29}{2} = 14,5\). ➕
Έτσι, η διάμεσος είναι 14,5. ✅


01. Βασική Θεωρία

Τι είναι ο πληθυσμός μιας έρευνας, γιατί χρησιμοποιούμε δείγμα αντί να ρωτήσουμε όλους, και τι εννοούμε με τον όρο μεταβλητή.

Πληθυσμός, δείγμα και μεταβλητή

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σε απογραφή, διαρκή εγγραφή και δειγματοληψία, και πότε χρησιμοποιείται η καθεμία.

Τρόποι συλλογής στατιστικών στοιχείων

Πώς μετράμε πόσες φορές εμφανίζεται μια τιμή σε ένα σύνολο παρατηρήσεων και πώς την εκφράζουμε ως ποσοστό του συνόλου.

Συχνότητα και σχετική συχνότητα

Πώς παρουσιάζουμε στατιστικά στοιχεία με εικονογράμματα, ραβδογράμματα, κυκλικά διαγράμματα και χρονογράμματα.

Γραφικές παραστάσεις δεδομένων

Πώς υπολογίζεται η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων και τι μας δείχνει για τα δεδομένα.

Μέση τιμή

Πώς βρίσκουμε τη διάμεσο ενός συνόλου παρατηρήσεων, ξεχωριστά για περιττό και για άρτιο πλήθος τιμών.

Διάμεσος

Τι είναι η επικρατούσα τιμή και πώς εντοπίζεται η πιο συχνή παρατήρηση σε ένα σύνολο δεδομένων.

Επικρατούσα τιμή

# Περιγραφική Στατιστική 📊

## Πληθυσμός, δείγμα και μεταβλητή

Ο **πληθυσμός** είναι το σύνολο των ανθρώπων ή αντικειμένων που μας ενδιαφέρουν σε μια έρευνα. Το χαρακτηριστικό που μελετάμε για τα μέλη του πληθυσμού (π.χ. η ομάδα που υποστηρίζουν) λέγεται **μεταβλητή**.

Όταν ο πληθυσμός είναι πολύ μεγάλος, δεν ρωτάμε όλα του τα μέλη. Παίρνουμε ένα κομμάτι του, το **δείγμα**, και η διαδικασία επιλογής του λέγεται **δειγματοληψία**. Ο αριθμός των ατόμων που περιλαμβάνει το δείγμα λέγεται **μέγεθος του δείγματος**.

:::alert{title="Το δείγμα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό"}
Αν το δείγμα δεν αντιπροσωπεύει καλά τον πληθυσμό, τα συμπεράσματα της έρευνας μπορεί να μην ισχύουν για το σύνολο του πληθυσμού.
:::

## Τρόποι συλλογής στοιχείων

Υπάρχουν τρεις βασικοί τρόποι συγκέντρωσης στατιστικών πληροφοριών:

- **Απογραφή:** συλλέγουμε στοιχεία από όλα τα μέλη του πληθυσμού, σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Στην Ελλάδα η απογραφή πληθυσμού γίνεται κάθε 10 χρόνια.
- **Διαρκής εγγραφή:** συνεχής καταγραφή γεγονότων καθώς συμβαίνουν, όπως γεννήσεις και γάμοι στα ληξιαρχεία.
- **Δειγματοληψία:** συλλέγουμε στοιχεία μόνο από ένα δείγμα του πληθυσμού.

Η δειγματοληψία είναι πιο γρήγορη και πιο οικονομική από την απογραφή, αλλά απαιτεί μεγάλη προσοχή στον σχεδιασμό της, ώστε τα συμπεράσματα να είναι αξιόπιστα.

:::fact{title="Η πρώτη ελληνική απογραφή"}
Η πρώτη απογραφή στην Ελλάδα έγινε το 1828.
:::

## Συχνότητα και σχετική συχνότητα

Η **συχνότητα** μιας τιμής της μεταβλητής είναι το πλήθος των παρατηρήσεων που έχουν αυτή την τιμή. Η **σχετική συχνότητα** δείχνει τι μέρος του συνόλου αντιστοιχεί σε κάθε τιμή και υπολογίζεται διαιρώντας τη συχνότητα με το συνολικό πλήθος των παρατηρήσεων. Πολλαπλασιάζοντάς την επί 100 παίρνουμε το αντίστοιχο ποσοστό.

## Γραφικές παραστάσεις

Τα δεδομένα μιας έρευνας μπορούν να παρουσιαστούν με διαγράμματα, ώστε να γίνονται πιο εύκολα κατανοητά:

- **Εικονόγραμμα:** χρησιμοποιεί εικόνες, με καθορισμένη κλίμακα, για να δείξει πόσες φορές εμφανίζεται κάθε τιμή. Χρειάζεται τίτλο, εικόνες, κλίμακα και τίτλους στηλών.
- **Ραβδόγραμμα:** χρησιμοποιεί ορθογώνια (ράβδους) πάνω σε δύο άξονες, έναν οριζόντιο και έναν κάθετο, για να δείξει τη συχνότητα κάθε τιμής.
- **Κυκλικό διάγραμμα:** παρουσιάζει ολόκληρο το δείγμα ή τον πληθυσμό ως κύκλο, όπου κάθε τιμή καταλαμβάνει το ανάλογο κομμάτι της «πίτας».
- **Χρονόγραμμα:** δείχνει πώς μεταβάλλεται μια τιμή με το πέρασμα του χρόνου.

## Μέση τιμή

Η **μέση τιμή** είναι ένας αριθμός που αντιπροσωπεύει ένα σύνολο παρατηρήσεων. Υπολογίζεται προσθέτοντας όλες τις παρατηρήσεις και διαιρώντας το άθροισμα με το πλήθος τους:

\[
\text{Μέση τιμή} = \frac{\text{άθροισμα των παρατηρήσεων}}{\text{πλήθος των παρατηρήσεων}}
\]

## Διάμεσος

Η **διάμεσος** είναι μια άλλη τιμή που περιγράφει το «κέντρο» ενός συνόλου παρατηρήσεων. Για να τη βρούμε, γράφουμε πρώτα όλες τις παρατηρήσεις σε σειρά μεγέθους (από τη μικρότερη προς τη μεγαλύτερη).

- Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι **περιττός** αριθμός, η διάμεσος είναι η παρατήρηση που βρίσκεται ακριβώς στη μέση.
- Αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι **άρτιος** αριθμός, δεν υπάρχει μία μοναδική μεσαία παρατήρηση· η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

:::alert{title="Μην ξεχνάς τη σειρά μεγέθους"}
Η διάμεσος βρίσκεται μόνο αφού οι παρατηρήσεις έχουν τοποθετηθεί σε αύξουσα σειρά. Αν δεν τις ταξινομήσουμε πρώτα, η «μεσαία» παρατήρηση που θα διαλέξουμε μπορεί να είναι λάθος.
:::

## Επικρατούσα τιμή

Η **επικρατούσα τιμή** (ή κορυφή) ενός συνόλου παρατηρήσεων είναι η τιμή που εμφανίζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα, δηλαδή αυτή που «προτιμούν» οι περισσότερες παρατηρήσεις.


Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία