Συνήθως τον αποκαλούμε άγνωστο 'Χ'. Η αποστολή σου είναι να ανακαλύψεις τι κρύβει μέσα του. Για να το καταφέρεις θα αντιμετωπίσεις πολλές προκλήσεις. Θα λύσεις εξισώσεις, θα υπολογίσεις τετραγωνικές ρίζες και θα σχεδιάσεις γραφικές παραστάσεις. Ετοιμάσου για τη μεγάλη περιπέτεια 🦸🏻‍♂️

Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

# Εισαγωγή στη συνάρτηση y = αx + β 📊

Σε αυτό το τμήμα, μαθαίνουμε για τη συνάρτηση \(y = αx + β\). 💡

Ξέρουμε ήδη ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = αx\) είναι μια ευθεία γραμμή που περνάει από το σημείο Ο, που είναι η :tooltip[αρχή των αξόνων]{content="Το σημείο όπου οι άξονες x και y τέμνονται σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων."}. 

Τώρα, θα εξετάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = αx + β\). Για να το καταλάβουμε καλύτερα, θα δούμε ένα παράδειγμα. 🧐

## **Δραστηριότητα:**

Η Κατερίνα έχει ένα κινητό τηλέφωνο 📱 και πληρώνει 0,9€ για κάθε λεπτό που μιλάει. Η εταιρεία τηλεφωνίας χρεώνει επίσης 10€ το μήνα επιπλέον ανεξάρτητα με τα λεπτά που μίλησε η Κατερίνα. 

*   Αν ονομάσουμε \(x\) το χρόνο ομιλίας σε λεπτά και \(y\) το ποσό που πληρώνει σε ευρώ, πρέπει να συμπληρώσουμε έναν πίνακα.

*   Έπειτα, πρέπει να γράψουμε το \(y\) ως συνάρτηση του \(x\) και να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης.

### **Λύση:**

Η συνάρτηση (αν δεν υπήρχε το πάγιο ποσό των 10€), θα ήταν \(y = 0,9x\). Ωστόσο λόγο του πάγιου ποσού των extra 10€ θα έχουμε \(y = 0,9x + 10\). ✅

# Γραφική παράσταση της y = αx + β 📉

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = αx + β\), όταν το \(β\) δεν είναι 0 (\(β ≠ 0\)), είναι μια ευθεία γραμμή 📏. Αυτή η ευθεία είναι παράλληλη με μια άλλη ευθεία που έχει εξίσωση \(y = αx\). Επιπλέον, η ευθεία \(y = αx + β\) περνάει από ένα συγκεκριμένο σημείο στον :tooltip[άξονα]{content="Σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου στο χώρο."} \(y'y\), και αυτό το σημείο είναι το (0, \(β\)) 📍.


# Η κλίση της ευθείας y = αx + β 📐

Όταν έχουμε μια ευθεία γραμμή που περιγράφεται από την εξίσωση \(y = αx + β\), ο αριθμός \(α\) ονομάζεται :tooltip[κλίση]{content="Ο αριθμός \(α\) στην εξίσωση \(y = αx + β\)."} της ευθείας. Αυτό σημαίνει ότι η κλίση \(α\) στην εξίσωση \(y = αx\), είναι επίσης η κλίση στην εξίσωση \(y = αx + β\). 📐

# Δραστηριότητα 2: Αγορά κρέατος και πατάτας 🥩🥔

Η Δραστηριότητα 2 αφορά ένα πρόβλημα όπου η κυρία Μαρίκα θέλει να αγοράσει κρέας και πατάτες με 15€. Το κρέας κοστίζει 6€ το κιλό και οι πατάτες 2€ το κιλό. Το ερώτημα είναι: ποια σχέση συνδέει τα κιλά :tooltip[κρέας]{content="Τρόφιμο ζωικής προέλευσης πλούσιο σε πρωτεΐνες."} με τα κιλά :tooltip[πατάτας]{content="Κονδυλώδες λαχανικό, βασική τροφή σε πολλές χώρες."} που θα αγοράσει; 🤔

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τα εξής:
*   Έστω ότι η κυρία Μαρίκα αγοράζει \(x\) κιλά κρέας και \(y\) κιλά πατάτες.
*   Το κρέας θα κοστίσει \(6x\) ευρώ και οι πατάτες \(2y\) ευρώ.
*   Επειδή έχει μόνο 15€, πρέπει \(6x + 2y = 15\).

Αυτή η τελευταία σχέση, \(6x + 2y = 15\), συνδέει τα κιλά κρέατος \(x\) και τα κιλά πατάτας \(y\) που μπορεί να αγοράσει η κυρία Μαρίκα. 🛒


01. Βασική Θεωρία

Θυμόμαστε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx είναι ευθεία που περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων.

Υπενθύμιση της y=αx

Ένα παράδειγμα με χρέωση κινητού τηλεφώνου δείχνει πώς προκύπτει μια συνάρτηση της μορφής y=αx+β από μια πραγματική κατάσταση.

Πρόβλημα με πάγιο κόστος

Πώς είναι η ευθεία της συνάρτησης y=αx+β, γιατί είναι παράλληλη με την y=αx και από ποιο σημείο του άξονα y'y περνάει.

Γραφική παράσταση της y=αx+β

Τι σημαίνει ο αριθμός α στην εξίσωση y=αx+β και γιατί είναι η ίδια κλίση με αυτή της y=αx.

Η κλίση της ευθείας

Ένα παράδειγμα αγοράς δύο προϊόντων με σταθερό συνολικό ποσό δείχνει πώς προκύπτει μια σχέση ανάμεσα σε δύο άγνωστες ποσότητες.

Πρόβλημα με δύο μεταβλητές

# Η Συνάρτηση y=αx+β 📈

Η γραφική παράσταση της \(y = αx\) είναι ευθεία που περνάει από την :tooltip[αρχή των αξόνων]{content="Το σημείο όπου οι άξονες x και y τέμνονται σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων."} Ο(0,0). Προσθέτοντας έναν σταθερό όρο \(β ≠ 0\) προκύπτει η συνάρτηση \(y = αx + β\), που περιγράφει π.χ. μια αμοιβή ανά μονάδα με πάγιο κόστος.

:::fact{title="Ένα πρόβλημα, μια εξίσωση"}
Καθημερινά προβλήματα με πάγιο κόστος και χρέωση ανά μονάδα (π.χ. συνδρομή κινητού) περιγράφονται ακριβώς με μια σχέση της μορφής \(y = αx + β\).
:::

## Γραφική παράσταση

Η γραφική παράσταση της \(y = αx + β\) (με \(β ≠ 0\)) είναι ευθεία **παράλληλη** προς την \(y = αx\). Δεν περνάει από το Ο(0,0)· τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο (0, β).

## Κλίση της ευθείας

Ο αριθμός \(α\) λέγεται **κλίση** της ευθείας \(y = αx + β\) — η ίδια κλίση που έχει και η \(y = αx\). Δύο ευθείες με ίδια κλίση είναι πάντα παράλληλες.

:::alert{title="Προσοχή στο β"}
Το \(β\) δεν επηρεάζει την κλίση, μόνο το σημείο τομής με τον y'y. Ίδιο \(α\) και διαφορετικό \(β\) σημαίνει παράλληλες ευθείες, όχι ίδιες.
:::


Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία