Συνήθως τον αποκαλούμε άγνωστο 'Χ'. Η αποστολή σου είναι να ανακαλύψεις τι κρύβει μέσα του. Για να το καταφέρεις θα αντιμετωπίσεις πολλές προκλήσεις. Θα λύσεις εξισώσεις, θα υπολογίσεις τετραγωνικές ρίζες και θα σχεδιάσεις γραφικές παραστάσεις. Ετοιμάσου για τη μεγάλη περιπέτεια 🦸🏻‍♂️

Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

# Ανάλογα Ποσά - Η συνάρτηση y = αx: Ορισμός 📈

Όταν βλέπουμε φράσεις όπως «η τιμή της βενζίνης μειώθηκε ανάλογα με τη μείωση του πετρελαίου» ⛽, καταλαβαίνουμε ότι ένα ποσό αλλάζει μαζί με ένα άλλο.

Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν, αν πολλαπλασιάσουμε τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό, τότε και οι τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό. 👍 Για παράδειγμα, η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο 🚗 και η :tooltip[κατανάλωση καυσίμου]{content="Η ποσότητα καυσίμου που χρησιμοποιείται για τη λειτουργία ενός οχήματος."} είναι ανάλογα ποσά.


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 ✏️

**Τι ζητάει η άσκηση:**

Να σχεδιάσεις την ευθεία που περιγράφεται από την εξίσωση \(y = -0,6x\). 🤔

### Λύση:

1.  **Κατανόηση της εξίσωσης:** Η εξίσωση \(y = -0,6x\) είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Αυτή η ευθεία περνάει από το σημείο \(O\), δηλαδή την :tooltip[αρχή των αξόνων]{content="Το σημείο όπου οι δύο άξονες τέμνονται."} (το σημείο όπου οι δύο άξονες τέμνονται). 📍
2.  **Εύρεση ενός επιπλέον σημείου:** Για να σχεδιάσουμε μια ευθεία, χρειαζόμαστε τουλάχιστον δύο σημεία. Γνωρίζουμε ήδη ότι η ευθεία περνάει από το \(O\). Ας βρούμε ένα άλλο σημείο. 🧐
    *   Αν βάλουμε \(x = 3\), τότε \(y = -0,6 \cdot 3 = -1,8\).
    *   Άρα, η ευθεία περνάει από το σημείο \(A(3, -1,8)\).
3.  **Σχεδίαση της ευθείας:** Τώρα που έχουμε δύο σημεία (το \(O\) και το \(A\)), μπορούμε να σχεδιάσουμε την ευθεία γραμμή που τα ενώνει. Η γραφική παράσταση της ευθείας φαίνεται στο σχήμα. ✍️


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 ✏️

Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2" σου ζητάει να σχεδιάσεις τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων: \(y = x\) και \(y = -x\). 📈

*   **Για τη συνάρτηση \(y = x\):** Η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία γραμμή που περνάει από την :tooltip[αρχή των αξόνων]{content="Το σημείο όπου οι δύο άξονες τέμνονται, δηλαδή το (0,0)."}. Για να σχεδιάσουμε μια ευθεία, χρειαζόμαστε τουλάχιστον δύο σημεία. Ένα σημείο είναι η αρχή των αξόνων. Ένα δεύτερο σημείο μπορούμε να βρούμε δίνοντας μια τιμή στο \(x\). Αν \(x = 1\), τότε \(y = 1\). Άρα, η ευθεία περνάει και από το σημείο A(1, 1). Η ευθεία \(y = x\) είναι η διχοτόμος των γωνιών \(xOy\) του 1ου και 3ου τεταρτημόριου. 📐

*   **Για τη συνάρτηση \(y = -x\):** Ομοίως, η γραφική παράσταση της \(y = -x\) είναι επίσης μια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. Για να βρούμε ένα δεύτερο σημείο, αν \(x = 1\), τότε \(y = -1\). Άρα, η ευθεία περνάει και από το σημείο Β(1, -1). Η ευθεία \(y = -x\) είναι η διχοτόμος του 2ου και 4ου τεταρτημόριου.

# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 ✏️

Αυτή η εφαρμογή μας δείχνει πώς να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής όταν γνωρίζουμε δύο πράγματα:

1.  Η ευθεία περνάει από την :tooltip[αρχή των αξόνων]{content="Το σημείο όπου οι δύο άξονες x και y συναντιούνται, δηλαδή το (0,0)."}. 
2.  Η ευθεία περνάει επίσης από ένα άλλο σημείο, το Α(−2, 1).

### **Λύση**

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, χρειαζόμαστε έναν τύπο που μας βοηθά να βρούμε την :tooltip[κλίση]{content="Μας λέει πόσο 'απότομη' είναι η ευθεία."} της ευθείας. Η κλίση (που συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα α) μας λέει πόσο "απότομη" είναι η ευθεία.

Ο τύπος για την κλίση \(α\) είναι:

\(α = \frac{y}{x}\)

Όπου \(x\) και \(y\) είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου πάνω στην ευθεία.

Στην περίπτωσή μας, έχουμε το σημείο Α(−2, 1), που σημαίνει ότι \(x = -2\) και \(y = 1\). Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στον τύπο:

\(α = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}\)

Τώρα που βρήκαμε την κλίση \(α = -\frac{1}{2}\), μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση της ευθείας. Επειδή η ευθεία περνάει από την αρχή των αξόνων, η εξίσωσή της έχει την απλή μορφή:

\(y = αx\)

Αντικαθιστούμε την τιμή της κλίσης \(α\) που βρήκαμε:

\(y = -\frac{1}{2}x\)

Αυτή είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(−2, 1). 📐✨


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4 ✏️

**α) Πώς υπολογίζουμε την έκπτωση και την τελική τιμή;** 🤔

Έστω ότι ένα ζευγάρι παπούτσια 👟 κοστίζει αρχικά 100 €. Το πολυκατάστημα κάνει έκπτωση 20% σε όλα τα είδη.

*   **Υπολογισμός έκπτωσης:** Για να βρούμε πόσο είναι η έκπτωση σε ευρώ, πολλαπλασιάζουμε την :tooltip[αρχική τιμή]{content="Η τιμή ενός προϊόντος πριν από οποιαδήποτε έκπτωση ή επιβάρυνση."} \(x\) (100 €) με το ποσοστό της έκπτωσης (20%). Έτσι, η έκπτωση είναι \( \frac{20}{100} \cdot 100 = 20 \) €.
*   **Υπολογισμός τελικής τιμής:** Αφαιρούμε την έκπτωση από την αρχική τιμή. Δηλαδή, \( 100 - 20 = 80 \) €. Άρα, η :tooltip[τελική τιμή]{content="Η τιμή που πληρώνει ο πελάτης μετά την αφαίρεση της έκπτωσης."} που θα πληρώσουμε για τα παπούτσια μετά την έκπτωση είναι 80 €. 💰

**β) Συμπλήρωση πίνακα:** 📝

Μπορούμε να συμπληρώσουμε έναν πίνακα με διάφορες αρχικές τιμές \(x\) και να υπολογίσουμε την αντίστοιχη έκπτωση και την τελική τιμή \(ω\). Για παράδειγμα:

| Αρχική τιμή \(x\) | 100 | 200 | 50 | 80 | 150 |
| :----------------: | :---: | :---: | :--: | :--: | :---: |
|     Έκπτωση     |  20  |  40  |  10 |  16 |  30  |
|   Τελική τιμή \(ω\)   |  80  | 160 |  40 |  64 | 120 |

**γ) Σχέση μεταξύ ποσών:** 📊

*   **Σχέση μεταξύ \(x\) και \(y\):** Τα ποσά \(x\) (αρχική τιμή) και \(y\) (έκπτωση) είναι :tooltip[ανάλογα]{content="Όταν δύο ποσά αυξάνονται ή μειώνονται μαζί στην ίδια αναλογία."}. Η σχέση είναι \( \frac{y}{x} = \frac{20}{100} = 0.2 \), άρα \( y = 0.2x \).
*   **Σχέση μεταξύ \(x\) και \(ω\):** Τα ποσά \(x\) (αρχική τιμή) και \(ω\) (τελική τιμή) είναι επίσης ανάλογα. Η σχέση είναι \( \frac{ω}{x} = \frac{80}{100} = 0.8 \), άρα \( ω = 0.8x \).


01. Βασική Θεωρία

Τι σημαίνει δύο ποσά να είναι ανάλογα και πώς αυτή η σχέση περιγράφεται με τη συνάρτηση y = αx.

Ανάλογα ποσά και ο ορισμός της συνάρτησης y = αx

Πώς σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = αx βρίσκοντας ένα δεύτερο σημείο εκτός της αρχής των αξόνων.

Σχεδίαση ευθείας της μορφής y = αx

Γιατί οι ευθείες y = x και y = -x είναι διχοτόμοι συγκεκριμένων τεταρτημορίων και πώς ξεχωρίζουν από τις υπόλοιπες.

Οι ειδικές περιπτώσεις y = x και y = -x

Πώς υπολογίζουμε την κλίση μιας ευθείας που περνάει από την αρχή των αξόνων, όταν γνωρίζουμε ένα ακόμη σημείο της.

Εύρεση της εξίσωσης ευθείας από ένα σημείο

Πώς η σχέση ανάμεσα σε αρχική τιμή, έκπτωση και τελική τιμή σε μια αγορά εκφράζεται με συναρτήσεις της μορφής y = αx.

Εφαρμογή σε ποσοστιαία έκπτωση

# Ανάλογα Ποσά και η Συνάρτηση y = αx 📈

Δύο ποσά είναι **ανάλογα** όταν, πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός με έναν αριθμό, οι τιμές του άλλου πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό. Η σχέση τους εκφράζεται με τη συνάρτηση

\[
y = αx
\]

όπου \(α \neq 0\) είναι η **κλίση**, που δείχνει πόσο "απότομη" είναι η ευθεία και υπολογίζεται από ένα σημείο της (εκτός της αρχής των αξόνων) με τον τύπο \(α = \frac{y}{x}\).

:::fact{title="Γιατί αρκεί ένα σημείο;"}
Η γραφική παράσταση της y = αx είναι πάντα **ευθεία** που διέρχεται από την αρχή των αξόνων O(0, 0) — γι' αυτό αρκεί ένα ακόμη σημείο για να τη σχεδιάσουμε.
:::

Το πρόσημο του \(α\) καθορίζει τα τεταρτημόρια από τα οποία περνάει η ευθεία: αν \(α > 0\), περνάει από το **1ο και 3ο**· αν \(α < 0\), από το **2ο και 4ο**. Ειδικές περιπτώσεις είναι η \(y = x\) (διχοτόμος 1ου-3ου) και η \(y = -x\) (διχοτόμος 2ου-4ου).

:::alert{title="Προσοχή στο α = 0"}
Αν \(α = 0\), η y = 0 ταυτίζεται με τον άξονα \(x'x\), όχι με πλάγια ευθεία.
:::

Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας από την αρχή των αξόνων και ένα γνωστό σημείο, υπολογίζουμε \(α = \frac{y}{x}\) και το αντικαθιστούμε στο \(y = αx\). Η σχέση αυτή περιγράφει και πρακτικές αναλογίες, όπως την ποσοστιαία έκπτωση πάνω σε μια τιμή.
