Συνήθως τον αποκαλούμε άγνωστο 'Χ'. Η αποστολή σου είναι να ανακαλύψεις τι κρύβει μέσα του. Για να το καταφέρεις θα αντιμετωπίσεις πολλές προκλήσεις. Θα λύσεις εξισώσεις, θα υπολογίσεις τετραγωνικές ρίζες και θα σχεδιάσεις γραφικές παραστάσεις. Ετοιμάσου για τη μεγάλη περιπέτεια 🦸🏻‍♂️

Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

# Οι Άρρητοι Αριθμοί ♾️

Οι :tooltip[Πυθαγόρειοι]{content="Μια ομάδα ανθρώπων που αγαπούσαν τα μαθηματικά και πίστευαν ότι τα πάντα μπορούν να εκφραστούν με απλούς αριθμούς."}, μια ομάδα ανθρώπων που αγαπούσαν τα μαθηματικά, πίστευαν ότι μπορούσαν να εκφράσουν τα πάντα με απλούς αριθμούς. Όμως, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος ανακάλυψε κάτι που τους τάραξε: τους άρρητους αριθμούς.

Ας δούμε πώς προέκυψε αυτό. Φανταστείτε ένα τετράγωνο με πλευρά 1 εκατοστό. Αν θέλουμε να βρούμε πόσο είναι η διαγώνιός του (την ονομάζουμε x), χρησιμοποιούμε το :tooltip[Πυθαγόρειο θεώρημα]{content="Ένα θεώρημα που συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου: \(α^2 + β^2 = γ^2\)."}. Έτσι, βρίσκουμε ότι \(x^2 = 1^2 + 1^2 = 2\), που σημαίνει ότι \(x = \sqrt{2}\).

Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν ότι ο αριθμός \(\sqrt{2}\) δεν μπορεί να γραφτεί ως ένα κλάσμα \(\frac{μ}{ν}\), όπου μ και ν είναι :tooltip[ακέραιοι αριθμοί]{content="Ολόκληροι αριθμοί (χωρίς δεκαδικά μέρη), θετικοί, αρνητικοί ή μηδέν."} (δηλαδή ολόκληροι αριθμοί) και το ν δεν είναι 0. Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι ρητός αριθμός, και έτσι τον ονόμασαν άρρητο.

### Ορισμός Άρρητου Αριθμού 🤯

Γενικά, :tooltip[άρρητος αριθμός]{content="Αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος \(\frac{μ}{ν}\), όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί και το ν δεν είναι 0."} είναι κάθε αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος \(\frac{μ}{ν}\), όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί και το ν δεν είναι 0.

Αυτό σημαίνει ότι ένας άρρητος αριθμός δεν μπορεί να γραφτεί ούτε σαν δεκαδικός αριθμός που τελειώνει, ούτε σαν δεκαδικός αριθμός που επαναλαμβάνεται.

Για να καταλάβουμε καλύτερα τον \(\sqrt{2}\), μπορούμε να δούμε ότι:

\(1 = 1^2 < 2 < 2^2 = 4\)

\(1,96 = 1,4^2 < 2 < 1,5^2 = 2,25\)

\(1,9881 = (1,41)^2 < 2 < (1,42)^2 = 2,0164\)

\(1,9994 = (1,414)^2 < 2 < (1,415)^2 = 2,0022\)

\(1,99996 = (1,4142)^2 < 2 < (1,4143)^2 = 2,00024\)

\(1,9999899 = (1,41421)^2 < 2 < (1,41422)^2 = 2,000018\)

Έτσι, συμπεραίνουμε ότι:

\(1 < \sqrt{2} < 2\)

\(1,4 < \sqrt{2} < 1,5\)

\(1,41 < \sqrt{2} < 1,42\)

\(1,414 < \sqrt{2} < 1,415\)

\(1,4142 < \sqrt{2} < 1,4143\)

\(1,41421 < \sqrt{2} < 1,41422\)


# Άλλοι Άρρητοι Αριθμοί 🌀

Οι αριθμοί \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{7}\), \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{10}\), \(\sqrt{11}\), ... είναι άρρητοι αριθμοί. Εκτός από αυτούς, υπάρχουν και άλλοι άρρητοι αριθμοί που δεν είναι ρίζες ρητών αριθμών. Ένα παράδειγμα είναι ο αριθμός :tooltip[π]{content="Αριθμός που εκφράζει τη σχέση μεταξύ της περιφέρειας ενός κύκλου και της διαμέτρου του."}, που χρησιμοποιείται για να μετρήσουμε τον κύκλο. 🧮

# Προσεγγιστικός υπολογισμός ριζών 🧮

Μπορούμε να βρούμε μια κοντινή τιμή για τις τετραγωνικές ρίζες χρησιμοποιώντας ένα μικρό κομπιουτεράκι. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε μια κοντινή τιμή για την \( \sqrt{2} \), πατάμε τα κουμπιά 2 και \( \sqrt{} \) στο κομπιουτεράκι. Τότε, στην οθόνη θα δούμε τον αριθμό 1,414213. Αυτός ο αριθμός είναι μια :tooltip[προσέγγιση]{content="Μια κοντινή τιμή σε μια ακριβή τιμή."} της \( \sqrt{2} \) με έξι δεκαδικά ψηφία. Στο παρελθόν, για να υπολογίσουμε τις ρίζες, χρησιμοποιούσαμε ειδικούς πίνακες. 😮


# Φυσικοί και Ακέραιοι Αριθμοί στην Ευθεία 🔢

Ας δούμε τους αριθμούς που έχουμε μάθει μέχρι τώρα και πώς τους δείχνουμε σε μια γραμμή. 📏

**Φυσικοί Αριθμοί:** Αυτοί είναι οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, και συνεχίζουν έτσι. Μπορούμε να τους δείξουμε σε μια ευθεία γραμμή με κουκκίδες. Στο σημείο που ξεκινάμε, το σημείο Ο, βάζουμε το μηδέν (0). 📍

**Ακέραιοι Αριθμοί:** Αυτοί είναι όλοι οι αριθμοί ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... και συνεχίζουν και προς τις δύο κατευθύνσεις. Και αυτούς τους δείχνουμε με κουκκίδες σε μια ευθεία γραμμή. Στα δεξιά του σημείου Ο (του μηδέν) βάζουμε τους :tooltip[θετικούς]{content="Ακέραιοι αριθμοί μεγαλύτεροι του μηδενός."} ακέραιους αριθμούς (1, 2, 3, ...), και στα αριστερά βάζουμε τους :tooltip[αρνητικούς]{content="Ακέραιοι αριθμοί μικρότεροι του μηδενός."} ακέραιους αριθμούς (-1, -2, -3, ...). ➕➖


# Ρητοί Αριθμοί στην Ευθεία 🔢

Οι :tooltip[ρητοί αριθμοί]{content="Αριθμοί που μπορούν να γραφτούν σαν ένα κλάσμα μ/ν, όπου μ είναι ακέραιος και ν είναι φυσικός αριθμός."} είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν σαν ένα κλάσμα \(\frac{μ}{ν}\), όπου \(μ\) είναι ένας ακέραιος αριθμός (όπως -2, -1, 0, 1, 2...) και \(ν\) είναι ένας φυσικός αριθμός (όπως 1, 2, 3...). ➕➖➗

Αυτοί οι αριθμοί, όταν τους γράφουμε σε δεκαδική μορφή, έχουν ένα συγκεκριμένο μοτίβο. Μπορείς να τους φανταστείς σαν να "γεμίζουν" μια γραμμή, αλλά δεν την γεμίζουν εντελώς. 😮 Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν και άλλοι αριθμοί που δεν είναι ρητοί και βρίσκονται επίσης πάνω στη γραμμή. 📍


# Πραγματικοί Αριθμοί και Άξονας 💯

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί μαζί, δηλαδή οι :tooltip[ρητοί]{content="Αριθμοί που μπορούν να γραφτούν ως πηλίκο δύο ακεραίων."} και οι :tooltip[άρρητοι]{content="Αριθμοί που δεν μπορούν να γραφτούν ως πηλίκο δύο ακεραίων."}. Φαντάσου μια γραμμή 📏. Οι πραγματικοί αριθμοί γεμίζουν όλη αυτή τη γραμμή, χωρίς να αφήνουν κανένα κενό. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο πάνω στη γραμμή αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό, και κάθε πραγματικός αριθμός έχει μια συγκεκριμένη θέση πάνω στη γραμμή. Επειδή οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν όλη τη γραμμή, την ονομάζουμε "ευθεία των πραγματικών αριθμών" ή "άξονα των πραγματικών αριθμών". 🚀


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 ✏️

Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1" σε προτρέπει να ανακαλύψεις ρητές προσεγγίσεις του αριθμού \(\sqrt{13}\) (τετραγωνική :tooltip[ρίζα]{content="Ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει έναν συγκεκριμένο αριθμό."} του 13) μέχρι και τρία δεκαδικά ψηφία. 🧐

Για να το πετύχουμε αυτό, χρησιμοποιούμε διαδοχικές δοκιμές:

*   Ξεκινάμε βρίσκοντας δύο :tooltip[ακέραιους]{content="Ένας αριθμός χωρίς κλασματικά ή δεκαδικά μέρη."} αριθμούς ανάμεσα στους οποίους βρίσκεται η \(\sqrt{13}\). Επειδή \(3^2 = 9\) και \(4^2 = 16\), ξέρουμε ότι \(3 < \sqrt{13} < 4\).
*   Στη συνέχεια, δοκιμάζουμε δεκαδικούς αριθμούς. Επειδή \((3,6)^2 = 12,96\) και \((3,7)^2 = 13,69\), ξέρουμε ότι \(3,6 < \sqrt{13} < 3,7\).
*   Συνεχίζουμε με δύο δεκαδικά ψηφία. Επειδή \((3,60)^2 = 12,960\) και \((3,61)^2 = 13,032\), ξέρουμε ότι \(3,60 < \sqrt{13} < 3,61\).
*   Τέλος, δοκιμάζουμε με τρία δεκαδικά ψηφία. Επειδή \((3,605)^2 = 12,996\) και \((3,606)^2 = 13,003\), ξέρουμε ότι \(3,605 < \sqrt{13} < 3,606\).

Έτσι, η ρητή προσέγγιση του \(\sqrt{13}\) είναι \(3,605\). 🎉

Σημείωση: \( \sqrt{13} = 3,605\) με έλλειψη και \( \sqrt{13} = 3,606\) με υπερβολή.


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 📱

Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2" σου δείχνει πώς να χρησιμοποιήσεις ένα :tooltip[μικροϋπολογιστή]{content="Ένας μικρός υπολογιστής χειρός, όπως ένα κομπιουτεράκι."} τσέπης (όπως ένα κομπιουτεράκι) για να βρεις μια προσέγγιση των :tooltip[τετραγωνικών ριζών]{content="Ένας αριθμός ο οποίος, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει έναν συγκεκριμένο αριθμό."} κάποιων αριθμών. Θέλουμε η προσέγγιση να είναι ακριβής μέχρι τρία δεκαδικά ψηφία.

Για παράδειγμα:
α) Για να βρούμε την τετραγωνική ρίζα του 3 (\(\sqrt{3}\)), πατάμε τα πλήκτρα "3" και το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας (\(\sqrt{}\)) στον υπολογιστή. Στην οθόνη θα εμφανιστεί ο αριθμός 1,7320508. Επειδή θέλουμε μόνο τρία δεκαδικά ψηφία, η προσέγγιση για την τετραγωνική ρίζα του 3 είναι 1,732. Δηλαδή, \(\sqrt{3} = 1,732\).

β) Ομοίως, η τετραγωνική ρίζα του 50 (\(\sqrt{50}\)) είναι περίπου 7,071.

γ) Η τετραγωνική ρίζα του 72 (\(\sqrt{72}\)) είναι περίπου 8,485.

δ) Η τετραγωνική ρίζα του 1764 (\(\sqrt{1764}\)) είναι ακριβώς 42.

ε) Η τετραγωνική ρίζα του 427 (\(\sqrt{427}\)) είναι περίπου 20,664. 💯


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3 ✏️

Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3" σου ζητάει να τοποθετήσεις διάφορους αριθμούς στην :tooltip[ευθεία των πραγματικών αριθμών]{content="Μια γραμμή όπου κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν πραγματικό αριθμό."}. Οι αριθμοί αυτοί είναι: \(-4, -2,38, \frac{4}{9}, -\sqrt{13}, 4,13, 3,6, \frac{1}{\sqrt{5}}, 1, 2\). 💯

Για να το κάνεις αυτό, μπορείς να γράψεις όλους τους αριθμούς σε :tooltip[δεκαδική μορφή]{content="Ένας τρόπος αναπαράστασης αριθμών με βάση το 10, χρησιμοποιώντας ένα δεκαδικό σημείο για να διαχωρίσει το ακέραιο μέρος από το κλασματικό."}. Για τους :tooltip[άρρητους αριθμούς]{content="Αριθμοί που δεν μπορούν να εκφραστούν ως πηλίκο δύο ακεραίων."}, χρησιμοποιείς μια προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων. 🤔

Έτσι, έχεις:
*   \(-\sqrt{13} = -3,61\)
*   \(\frac{4}{9} = 0,4\)
*   \(\frac{1}{\sqrt{5}} = 0,45\)

Μετά, τοποθετείς όλους τους αριθμούς στην ευθεία, ξεκινώντας από τον μικρότερο (-4) και φτάνοντας στον μεγαλύτερο (4,13). Η σειρά των αριθμών στην ευθεία είναι: \(-4 < -\sqrt{13} = -3,61 < -3 < -2,38 < -2 < 0 < \frac{4}{9} = 0,4 < \frac{1}{\sqrt{5}} = 0,45 < 1 < 2 < 3,6 < 4 < 4,13\). 📈


01. Βασική Θεωρία

Πώς η μελέτη της διαγωνίου ενός τετραγώνου οδήγησε τον Ίππασο τον Μεταπόντιο στην ανακάλυψη αριθμών που δεν γράφονται ως κλάσμα ακεραίων.

Η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών

Ο ακριβής ορισμός του άρρητου αριθμού και γιατί δεν μπορεί να εκφραστεί ούτε ως τελειώνων ούτε ως περιοδικός δεκαδικός.

Ορισμός του άρρητου αριθμού

Η μέθοδος με την οποία εντοπίζουμε ανάμεσα σε ποιους ρητούς αριθμούς βρίσκεται μια τετραγωνική ρίζα, με ολοένα μεγαλύτερη ακρίβεια.

Ρητές προσεγγίσεις τετραγωνικών ριζών

Ποιες άλλες τετραγωνικές ρίζες είναι άρρητες και γιατί ο αριθμός π θεωρείται επίσης άρρητος.

Άλλοι γνωστοί άρρητοι αριθμοί

Πώς παριστάνονται οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί με κουκκίδες πάνω σε μια ευθεία γραμμή.

Φυσικοί και ακέραιοι αριθμοί στην ευθεία

Γιατί οι ρητοί αριθμοί γεμίζουν πυκνά την ευθεία, αλλά αφήνουν κενά ανάμεσά τους.

Ρητοί αριθμοί στην ευθεία

Πώς το σύνολο ρητών και άρρητων μαζί καλύπτει πλήρως την ευθεία, σχηματίζοντας τον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Οι πραγματικοί αριθμοί και ο άξονάς τους

# Άρρητοι Αριθμοί σε Λίγα Λόγια 🌍

:tooltip[Άρρητος αριθμός]{content="Αριθμός που δεν μπορεί να γραφτεί με τη μορφή κλάσματος μ/ν, όπου μ και ν είναι ακέραιοι αριθμοί και το ν δεν είναι 0."} είναι κάθε αριθμός που **δεν** μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα \(\frac{μ}{ν}\) με μ, ν ακέραιους και \(ν \neq 0\). Ένα κλασικό παράδειγμα είναι το \(\sqrt{2}\), η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά 1: οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως όλα εκφράζονται με απλούς αριθμούς, ώσπου ο Ίππασος ο Μεταπόντιος απέδειξε ότι το \(\sqrt{2}\) δεν γράφεται σαν κλάσμα.

:::alert{title="Τι μπερδεύει συχνά"}
Ένας άρρητος αριθμός δεν γράφεται ούτε ως δεκαδικός που τελειώνει, ούτε ως δεκαδικός που επαναλαμβάνεται (περιοδικός). Τα δεκαδικά του ψηφία συνεχίζονται χωρίς κανένα σταθερό μοτίβο.
:::

Επειδή δεν μπορούμε να τους γράψουμε με ακρίβεια, βρίσκουμε **ρητές προσεγγίσεις** τους: εντοπίζουμε ανάμεσα σε ποιους ρητούς βρίσκεται ο άρρητος, δοκιμάζοντας τετράγωνα δεκαδικών με όλο και περισσότερα ψηφία, ώστε το διάστημα να στενεύει σταδιακά. Εκτός από το \(\sqrt{2}\), άρρητοι είναι και οι \(\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}\) κ.ά., καθώς και ο αριθμός \(\pi\), που συνδέεται με τον κύκλο.

:::fact{title="Πριν τα κομπιουτεράκια"}
Οι ρητές προσεγγίσεις τετραγωνικών ριζών υπολογίζονταν παλαιότερα με ειδικούς πίνακες, ενώ σήμερα βρίσκονται εύκολα με κομπιουτεράκι.
:::

Στην ευθεία των αριθμών, οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί παριστάνονται με μεμονωμένες κουκκίδες. Οι ρητοί αριθμοί (κλάσματα \(\frac{μ}{ν}\) με μ ακέραιο και ν φυσικό) είναι πυκνότεροι και «γεμίζουν» περισσότερο την ευθεία, αλλά αφήνουν κενά -ακριβώς εκεί βρίσκονται οι άρρητοι. Οι **πραγματικοί αριθμοί** είναι το σύνολο όλων των ρητών και άρρητων αριθμών μαζί: γεμίζουν εντελώς την ευθεία, χωρίς κανένα κενό. Γι' αυτό η ευθεία αυτή ονομάζεται «ευθεία» ή «άξονας των πραγματικών αριθμών».


Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία