Συνήθως τον αποκαλούμε άγνωστο 'Χ'. Η αποστολή σου είναι να ανακαλύψεις τι κρύβει μέσα του. Για να το καταφέρεις θα αντιμετωπίσεις πολλές προκλήσεις. Θα λύσεις εξισώσεις, θα υπολογίσεις τετραγωνικές ρίζες και θα σχεδιάσεις γραφικές παραστάσεις. Ετοιμάσου για τη μεγάλη περιπέτεια 🦸🏻‍♂️

Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

# Δραστηριότητα 1 🔍

Η "Δραστηριότητα 1" είναι ένα πρόβλημα που αφορά την Πηνελόπη, η οποία έγινε :tooltip[αρχιτέκτονας]{content="Επαγγελματίας που σχεδιάζει κτίρια και άλλες κατασκευές."} 👷‍♀️ και πρέπει να χτίσει ένα σπίτι.

Το σπίτι θα έχει τετραγωνική βάση και βρίσκεται σε ένα οικόπεδο σε γωνία. Η :tooltip[Πολεοδομία]{content="Δημόσια υπηρεσία που ρυθμίζει την ανάπτυξη και δόμηση σε μια περιοχή."} είπε ότι το σπίτι μπορεί να έχει εμβαδόν \(289\) m\(^2\).

Το πρόβλημα ρωτάει: Πόσο πρέπει να είναι το μήκος \(x\) κάθε πλευράς της τετραγωνικής βάσης του σπιτιού;

**Λύση:**

Γνωρίζουμε ότι το :tooltip[εμβαδόν]{content="Η επιφάνεια που καταλαμβάνει ένα σχήμα."} ενός τετραγώνου είναι: \(E = x^2\).
Άρα, πρέπει \(x^2 = 289\). Δηλαδή, ψάχνουμε έναν αριθμό \(x\), ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, να δίνει \(289\).

*   **Μήπως είναι \(x = 10\);** Τότε \(x^2 = 10^2 = 100\) (πολύ μικρό).
*   **Μήπως είναι \(x = 20\);** Τότε \(x^2 = 20^2 = 400\) (πολύ μεγάλο).
*   **Μήπως είναι \(x = 15\);** Τότε \(x^2 = 15^2 = 225\) (λίγο μικρό).
*   **Μήπως είναι \(x = 17\);** Τότε \(x^2 = 17^2 = 289\) (αυτό είναι!). 🎉

Άρα, το σπίτι θα έχει τετραγωνική βάση με πλευρά \(17\) μέτρα.

Ο αριθμός \(17\), όταν υψωθεί στο τετράγωνο (\(17^2\)), μας δίνει \(289\). Γι' αυτό, ο αριθμός \(17\) ονομάζεται :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει έναν συγκεκριμένο αριθμό."} του \(289\) και το γράφουμε \( \sqrt{289} = 17\). 💡


# Ορισμός τετραγωνικής ρίζας 🔢

Η :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού \(α\) είναι ένας αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον \(α\)."} ενός θετικού αριθμού \(α\) είναι ένας άλλος θετικός αριθμός. Όταν αυτός ο άλλος αριθμός υψωθεί στο τετράγωνο (δηλαδή πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του), τότε το αποτέλεσμα είναι ο αρχικός αριθμός \(α\). 🤔

Για να δείξουμε την τετραγωνική ρίζα του \(α\), χρησιμοποιούμε το σύμβολο \(\sqrt{α}\). 💡

Για παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του 289 είναι ο αριθμός 17, επειδή \(17 \cdot 17 = 17^2 = 289\).  Έτσι, γράφουμε \(\sqrt{289} = 17\). 😃


# Τετραγωνική ρίζα του 0 0️⃣

Η :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Ένας αριθμός ο οποίος, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει έναν συγκεκριμένο αριθμό."} του 0 είναι 0. Αυτό συμβαίνει επειδή όταν πολλαπλασιάζουμε το 0 με τον εαυτό του \(0^2\), το αποτέλεσμα είναι 0. Έτσι, ορίζουμε ότι \(\sqrt{0} = 0\). 😃


# Παραδείγματα τετραγωνικών ριζών 🧐

Αυτή η ενότητα περιέχει παραδείγματα για την κατανόηση της :tooltip[τετραγωνικής ρίζας]{content="Ένας αριθμός ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, μας δίνει τον αρχικό αριθμό."} ενός αριθμού.

*   **Παράδειγμα 1:** \(\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\)
    Αυτό σημαίνει ότι η τετραγωνική ρίζα του \(\frac{4}{9}\) είναι \(\frac{2}{3}\). Αυτό συμβαίνει επειδή αν πολλαπλασιάσουμε το \(\frac{2}{3}\) επί τον εαυτό του, δηλαδή \((\frac{2}{3})^2\), τότε παίρνουμε \(\frac{4}{9}\).

*   **Παράδειγμα 2:** \(\sqrt{0,64} = 0,8\)
    Εδώ, η τετραγωνική ρίζα του 0,64 είναι 0,8. Γιατί; Επειδή αν υψώσουμε το 0,8 στο τετράγωνο, δηλαδή \(0,8^2\), παίρνουμε 0,64.

*   **Παράδειγμα 3:** \(\sqrt{17,64} = 4,2\)
    Σε αυτό το παράδειγμα, η τετραγωνική ρίζα του 17,64 είναι 4,2. Αυτό συμβαίνει επειδή \(4,2^2 = 17,64\).



# Μη ύπαρξη ρίζας αρνητικού αριθμού 🚫

Δεν μπορούμε να βρούμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού 😥. Αυτό συμβαίνει επειδή δεν υπάρχει κανένας αριθμός που, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του (δηλαδή τον υψώσουμε στο :tooltip[τετράγωνο]{content="Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με τον εαυτό του."}), να μας δώσει έναν αρνητικό αριθμό.

Για παράδειγμα, η \(\sqrt{-25}\) δεν έχει νόημα. Δεν μπορούμε να βρούμε έναν αριθμό ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, να μας δώσει \(-25\) 🤔.


# Σχέση τετραγωνικής ρίζας και αριθμού 🧐

Η :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Ένας αριθμός ο οποίος, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αρχικό αριθμό."} ενός αριθμού \(α\) είναι ένας άλλος αριθμός \(x\), έτσι ώστε όταν πολλαπλασιάσεις τον \(x\) με τον εαυτό του (δηλαδή \(x^2\)), να παίρνεις τον αριθμό \(α\).

Σύμφωνα με τον ορισμό:
Αν \(α = x\), όπου \(α ≥ 0\), τότε \(x ≥ 0\) και \(x^2 = α\).

Αυτό σημαίνει ότι αν η τετραγωνική ρίζα του \(α\) είναι \(x\), τότε ο \(α\) είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός, ο \(x\) είναι επίσης μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός, και όταν υψώσεις τον \(x\) στο :tooltip[τετράγωνο]{content="Η πράξη ύψωσης ενός αριθμού στη δεύτερη δύναμη."}, παίρνεις τον \(α\) 👍.


# Τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας 🔁

Από τον ορισμό της :tooltip[τετραγωνικής ρίζας]{content="Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού \(α\) είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό \(α\)."}, αν έχουμε έναν αριθμό \(α\) που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του μηδενός (\(α ≥ 0\)), τότε το τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας του \(α\) ισούται με \(α\). Δηλαδή, \((\sqrt{α})^2 = α\). 💡

:::fact{title="Με απλά λόγια"}
Με απλά λόγια, το τετράγωνο και η τετραγωνική ρίζα απαλοίφονται (το ένα διώχνει το άλλο). 🙅
:::


# Σύμφωνα με τα παραπάνω: 📋

Σύμφωνα με τα παραπάνω, πρέπει να προσέχουμε όταν υπολογίζουμε την :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Ένας αριθμός ο οποίος, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει έναν συγκεκριμένο αριθμό."} ενός αριθμού. 🤔

*   Είναι λάθος να πούμε ότι \(\sqrt{25} = -5\), παρόλο που \((-5)^2 = 25\). Αυτό συμβαίνει επειδή η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού πρέπει να είναι πάντα θετική ή μηδέν. Επειδή το -5 είναι μικρότερο του 0, δεν μπορεί να είναι η τετραγωνική ρίζα του 25. Το σωστό είναι \(\sqrt{25} = 5\). ✅

*   Επίσης, είναι λάθος να πούμε ότι \(\sqrt{(-5)^2} = -5\), επειδή το -5 είναι μικρότερο του 0. Για να το βρούμε σωστά, πρώτα υπολογίζουμε το \((-5)^2\), που είναι 25, και μετά βρίσκουμε την τετραγωνική ρίζα του 25, που είναι 5. Άρα, το σωστό είναι \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\). 💯


# Εφαρμογή 1 ✏️

Η "Εφαρμογή 1" σου ζητάει να βρεις την :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Ένας αριθμός ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αρχικό αριθμό."} κάποιων αριθμών. 🧐 Συγκεκριμένα, πρέπει να βρεις τους αριθμούς: \(\sqrt{25}\), \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{64}\), και \(\sqrt{121}\).

*   Για το \(\sqrt{25}\), ψάχνουμε έναν αριθμό που όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του να μας δώσει 25. Αυτός ο αριθμός είναι το 5, γιατί \(5 \cdot 5 = 25\). Άρα, \(\sqrt{25} = 5\). ✅

*   Για το \(\sqrt{49}\), ψάχνουμε έναν αριθμό που όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του να μας δώσει 49. Αυτός ο αριθμός είναι το 7, γιατί \(7 \cdot 7 = 49\). Άρα, \(\sqrt{49} = 7\). ✅

*   Για το \(\sqrt{64}\), ψάχνουμε έναν αριθμό που όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του να μας δώσει 64. Αυτός ο αριθμός είναι το 8, γιατί \(8 \cdot 8 = 64\). Άρα, \(\sqrt{64} = 8\). ✅

*   Για το \(\sqrt{121}\), ψάχνουμε έναν αριθμό που όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του να μας δώσει 121. Αυτός ο αριθμός είναι το 11, γιατί \(11 \cdot 11 = 121\). Άρα, \(\sqrt{121} = 11\). ✅


# Εφαρμογή 2 ✏️

Η "Εφαρμογή 2" σου δείχνει πώς να υπολογίζεις τις :tooltip[τετραγωνικές ρίζες]{content="Ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει έναν συγκεκριμένο αριθμό."} κάποιων αριθμών. 🧮

Έχει τρία παραδείγματα:
α) Να βρεις την τετραγωνική ρίζα του 16 (\(\sqrt{16}\)). Επειδή γνωρίζουμε ότι \(4^2 = 4 \cdot 4 = 16\), τότε η τετραγωνική ρίζα του 16 είναι 4. Άρα, \(\sqrt{16} = 4\).

β) Να βρεις την τετραγωνική ρίζα του 0,16 (\(\sqrt{0,16}\)). Επειδή γνωρίζουμε ότι \((0,4)^2 = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16\), τότε η τετραγωνική ρίζα του 0,16 είναι 0,4. Άρα, \(\sqrt{0,16} = 0,4\).

γ) Να βρεις την τετραγωνική ρίζα του 0,0016 (\(\sqrt{0,0016}\)). Επειδή γνωρίζουμε ότι \((0,04)^2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016\), τότε η τετραγωνική ρίζα του 0,0016 είναι 0,04. Άρα, \(\sqrt{0,0016} = 0,04\). 🎉


# Εφαρμογή 3 ✏️

Η "Εφαρμογή 3" σε προκαλεί να ανακαλύψεις την άγνωστη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου! 🤔

Για να το καταφέρεις, θα χρησιμοποιήσεις το :tooltip[Πυθαγόρειο θεώρημα]{content="Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών."}. Αυτό το θεώρημα μας λέει ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της :tooltip[υποτείνουσας]{content="Η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία."} (η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών. 📐

Στο τρίγωνο που σου δίνεται, η μία πλευρά είναι 2,8, η υποτείνουσα είναι 3,5 και η άλλη πλευρά είναι η άγνωστη πλευρά β.

Έτσι, χρησιμοποιείς την εξίσωση:
\(β^2 + 2,8^2 = 3,5^2\)

Αυτό σημαίνει:
\(β^2 + 7,84 = 12,25\)

Μετά, βρίσκεις το \(β^2\):
\(β^2 = 12,25 - 7,84\)
\(β^2 = 4,41\)

Τέλος, για να βρεις το β, παίρνεις την τετραγωνική ρίζα του 4,41:
\(β = \sqrt{4,41} = 2,1\)

Άρα, η άγνωστη πλευρά β είναι 2,1. Επειδή \(2,1^2 = 4,41\). 🎉


# Εφαρμογή 4 ✏️

Η "Εφαρμογή 4" μας δείχνει πώς να βρούμε την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων 🏙️, της πόλης Α και της πόλης Β, χρησιμοποιώντας το :tooltip[Πυθαγόρειο θεώρημα]{content="Ένα θεμελιώδες θεώρημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας που εκφράζει τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου."}.

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΒΓ, ισχύει ότι: \(AB^2 + ΑΓ^2 = ΒΓ^2\).
Αυτό σημαίνει ότι \(AB^2 + 15^2 = 17^2\).
Έτσι, \(AB^2 + 225 = 289\).
Αφαιρούμε το 225 και από τα δύο μέλη της εξίσωσης και έχουμε: \(AB^2 = 289 - 225\), άρα \(AB^2 = 64\).
Για να βρούμε το ΑΒ, υπολογίζουμε την :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Ένας αριθμός ο οποίος, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει έναν συγκεκριμένο αριθμό."} του 64: \(ΑΒ = \sqrt{64}\), οπότε \(ΑΒ = 8\).

Επομένως, η πόλη Α απέχει 8 χιλιόμετρα 📏 από την πόλη Β.


01. Βασική Θεωρία

Τι σημαίνει τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού και πώς προκύπτει μέσα από ένα πρόβλημα με το εμβαδόν ενός τετραγώνου.

Ορισμός της τετραγωνικής ρίζας

Γιατί η τετραγωνική ρίζα του μηδενός ορίζεται ίση με το μηδέν.

Η τετραγωνική ρίζα του μηδενός

Πώς υπολογίζεται η τετραγωνική ρίζα όταν ο αριθμός είναι κλάσμα ή δεκαδικός αριθμός.

Παραδείγματα με κλάσματα και δεκαδικούς

Γιατί δεν μπορούμε να ορίσουμε την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού.

Μη ύπαρξη ρίζας αρνητικού αριθμού

Ο κανόνας που συνδέει έναν μη αρνητικό αριθμό με την τετραγωνική του ρίζα και το πρόσημό της.

Σχέση της τετραγωνικής ρίζας με τον αριθμό

Πώς το τετράγωνο και η τετραγωνική ρίζα αλληλοαναιρούνται για μη αρνητικούς αριθμούς.

Το τετράγωνο της τετραγωνικής ρίζας

Ποια λανθασμένα συμπεράσματα κάνουν συχνά οι μαθητές σχετικά με το πρόσημο της τετραγωνικής ρίζας και ποιο είναι το σωστό σκεπτικό.

Συνηθισμένα λάθη με το πρόσημο

Πώς χρησιμοποιείται η τετραγωνική ρίζα για να βρεθεί μια άγνωστη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου.

Εφαρμογή στο Πυθαγόρειο θεώρημα

# Τετραγωνική Ρίζα: Τα Βασικά 🧮

Η τετραγωνική :tooltip[ρίζα]{content="Η αντίστροφη πράξη της ύψωσης στο τετράγωνο."} ενός θετικού αριθμού \(α\) είναι ο θετικός αριθμός \(x\), ο οποίος όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει τον \(α\). Συμβολίζεται \(\sqrt{α}\). Για παράδειγμα, \(\sqrt{289} = 17\), αφού \(17^2 = 289\).

Ειδική περίπτωση είναι το μηδέν: \(\sqrt{0} = 0\), αφού \(0^2 = 0\).

Η τετραγωνική ρίζα βρίσκεται και σε κλάσματα και σε δεκαδικούς αριθμούς, όχι μόνο σε ακέραιους. Ισχύει δηλαδή ότι \(\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\), αφού \((\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\), καθώς και ότι \(\sqrt{0,64} = 0,8\), αφού \(0,8^2 = 0,64\).

:::alert{title="Δεν ορίζεται για αρνητικούς αριθμούς"}
Κανένας αριθμός, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δεν δίνει αρνητικό αποτέλεσμα. Γι' αυτό η τετραγωνική ρίζα ορίζεται μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς: η \(\sqrt{-25}\) δεν έχει νόημα.
:::

Ο ορισμός συνδέει τη ρίζα και τον αριθμό με έναν κανόνα: αν \(α ≥ 0\) και \(\sqrt{α} = x\), τότε ισχύει πάντα \(x ≥ 0\) και \(x^2 = α\). Δηλαδή η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού είναι πάντα μη αρνητική.

Άμεση συνέπεια του ορισμού είναι ότι το τετράγωνο και η τετραγωνική ρίζα αλληλοαναιρούνται όταν \(α ≥ 0\):
\[
(\sqrt{α})^2 = α
\]

:::fact{title="Προσοχή στο πρόσημο"}
Είναι λάθος να γράψουμε \(\sqrt{25} = -5\), παρόλο που \((-5)^2 = 25\), γιατί η τετραγωνική ρίζα είναι εξ ορισμού μη αρνητική· το σωστό είναι \(\sqrt{25} = 5\). Ομοίως, το \(\sqrt{(-5)^2}\) δεν ισούται με \(-5\): πρώτα υπολογίζουμε το τετράγωνο, \((-5)^2 = 25\), και μετά τη ρίζα, οπότε \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5\).
:::

Η τετραγωνική ρίζα χρησιμοποιείται και στην επίλυση προβλημάτων με το Πυθαγόρειο θεώρημα, όπου, αφού υπολογιστεί το τετράγωνο μιας άγνωστης πλευράς, η ίδια η πλευρά βρίσκεται παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα του αποτελέσματος.
