Ιδιότητες πράξεων και ισότητα/ανισότητα ⚖️

Οι ιδιότητες των πράξεων μας βοηθούν να κατανοήσουμε τις ισότητες και τις ανισότητες. Μια ισότητα ή ανισότητα είναι σαν μια ζυγαριά. Η ζυγαριά μπορεί να είναι σε ισορροπία, ή να γέρνει προς τη μία ή την άλλη πλευρά.

Αν έχουμε δύο αντικείμενα, το ένα με βάρος $α$ και το άλλο με βάρος $β$, τότε ισχύει μία από τις παρακάτω σχέσεις:

• $α = β$: Τα βάρη είναι ίσα, η ζυγαριά ισορροπεί. ⚖️
• $α < β$: Το βάρος $α$ είναι μικρότερο από το βάρος $β$, η ζυγαριά γέρνει προς το $β$. 📉
• $α > β$: Το βάρος $α$ είναι μεγαλύτερο από το βάρος $β$, η ζυγαριά γέρνει προς το $α$. 📈

Δραστηριότητα 1 - Ισορροπία ζυγαριάς 🍎 ⚖️ 🍏

Η "Δραστηριότητα 1 - Ισορροπία ζυγαριάς" είναι ένα πρόβλημα που μας βοηθά να καταλάβουμε τις ισότητες.

Ο Γιώργος έχει μια ζυγαριά που είναι σε ισορροπία. Στη μία πλευρά της ζυγαριάς έχει έναν κύβο και στην άλλη δύο κώνους. Ο κύβος έχει το ίδιο βάρος με τους δύο κώνους μαζί.

Μετά, ο Γιώργος βάζει μια μπάλα στην πλευρά της ζυγαριάς που έχει τον κύβο. Τώρα, η ζυγαριά δεν είναι σε ισορροπία, γιατί η πλευρά με τον κύβο και την μπάλα είναι πιο βαριά.

Για να ισορροπήσει ξανά η ζυγαριά, πρέπει να βάλουμε το ίδιο βάρος και στην άλλη πλευρά, δηλαδή στην πλευρά με τους δύο κώνους. Άρα, πρέπει να βάλουμε μία μπάλα και στην πλευρά με τους κώνους.

Έτσι, έχουμε: ένας κύβος και μία μπάλα ισορροπούν με δύο κώνους και μία μπάλα.

Αυτό μας δείχνει ότι μπορούμε να προσθέσουμε το ίδιο βάρος και στις δύο πλευρές μιας ζυγαριάς (ή μιας ισότητας) και η ζυγαριά (ή η ισότητα) θα παραμείνει σε ισορροπία.

Πρόσθεση και ισότητα ➕ ⚖️

Αυτό που βλέπουμε εδώ αφορά το τι συμβαίνει όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές μιας ισότητας.

Ας πούμε ότι έχουμε μια ισότητα, που σημαίνει ότι δύο πράγματα είναι ίσα. Μπορούμε να το φανταστούμε σαν μια ζυγαριά που είναι ισορροπημένη. Αν προσθέσουμε το ίδιο βάρος και στις δύο πλευρές της ζυγαριάς, αυτή θα παραμείνει ισορροπημένη.

Έτσι, αν έχουμε $α = β$, που σημαίνει ότι το $α$ είναι ίσο με το $β$, τότε αν προσθέσουμε έναν άλλο αριθμό, ας τον πούμε $γ$, και στις δύο πλευρές, θα έχουμε $α + γ = β + γ$. Η ισότητα παραμένει.

Επίσης, μπορούμε εύκολα να καταλάβουμε ότι το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση. Αν αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές μιας ισότητας, η ισότητα θα παραμείνει. Δηλαδή, αν $α = β$, τότε $α - γ = β - γ$.

Αφαίρεση και ισότητα ➖ ⚖️

Αυτό που βλέπουμε εδώ αφορά την αφαίρεση και την ισότητα.

Αν έχουμε μια ισότητα, που σημαίνει ότι δύο πράγματα είναι ίσα, και από τα δύο αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε τα δύο πράγματα θα παραμείνουν ίσα μεταξύ τους.

Αυτό σημαίνει ότι: Αν $α = β$, τότε $α - γ = β - γ$.

Δραστηριότητα 2 - Πολλαπλασιασμός και ισορροπία ✖️ ⚖️

Η "Δραστηριότητα 2" αφορά την ισορροπία και τον πολλαπλασιασμό.

Έχουμε μια ζυγαριά. Ο Γιώργος ξέρει ότι ένας κύβος στη ζυγαριά ισορροπεί με δύο κώνους.
Αν βάλουμε 4 κύβους στη μια πλευρά της ζυγαριάς, τότε για να παραμείνει η ζυγαριά σε ισορροπία, πρέπει να βάλουμε περισσότερους κώνους στην άλλη πλευρά.

Επειδή βάλαμε 4 φορές περισσότερους κύβους (τετραπλασιάσαμε το βάρος) στη μια πλευρά, πρέπει να βάλουμε και 4 φορές περισσότερους κώνους (τετραπλάσιο βάρος) στην άλλη πλευρά. Αφού αρχικά ένας κύβος ισορροπούσε με δύο κώνους, τώρα χρειαζόμαστε $4 \cdot 2 = 8$ κώνους.

Άρα, πρέπει να τοποθετήσουμε 8 κώνους στην άλλη πλευρά για να ισορροπήσει η ζυγαριά.

Πολλαπλασιασμός και ισότητα ✖️ ⚖️

Όταν έχουμε μια ισότητα, που σημαίνει ότι δύο πράγματα είναι ίσα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας με τον ίδιο αριθμό και η ισότητα θα παραμείνει αληθής.

Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε $α = β$, τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και το $α$ και το $β$ με τον ίδιο αριθμό $γ$, και θα έχουμε $α \cdot γ = β \cdot γ$. Η ισότητα παραμένει.

Διαίρεση και ισότητα ➗ ⚖️

Όταν έχουμε μια ισότητα (κάτι σαν μια ζυγαριά που είναι σε ισορροπία), αν διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), τότε η ισότητα παραμένει.

Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε $α = β$, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με έναν αριθμό $γ$ (ο οποίος δεν είναι μηδέν, δηλαδή $γ ≠ 0$), και θα έχουμε:

$\frac{α}{γ} = \frac{β}{γ}$

Αυτή η νέα σχέση είναι επίσης μια ισότητα.

Δραστηριότητα 3 - Η έννοια της εξίσωσης 🤔 ⚖️

Ας δούμε πώς μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με τη ζυγαριά χρησιμοποιώντας μαθηματικά.

Ας υποθέσουμε ότι κάθε κύβος ζυγίζει $x$ κιλά. Στην αρχή, στον αριστερό δίσκο της ζυγαριάς έχουμε $3x + 200$ γραμμάρια και στον δεξιό δίσκο έχουμε $x + 600$ γραμμάρια. Επειδή η ζυγαριά είναι σε ισορροπία, αυτό σημαίνει ότι:

$3x + 200 = x + 600$

Αυτή η ισότητα, που έχει έναν άγνωστο αριθμό $x$, ονομάζεται εξίσωση.

Η παράσταση $3x + 200$ λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η παράσταση $x + 600$ λέγεται δεύτερο μέλος της εξίσωσης.

Για να βρούμε την τιμή του $x$, λύνουμε την εξίσωση:

• Αρχικά έχουμε: $3x + 200 = x + 600$
• Αφαιρούμε το 200 και από τα δύο μέλη: $3x + 200 - 200 = x + 600 - 200$, που γίνεται $3x = x + 400$
• Αφαιρούμε το $x$ και από τα δύο μέλη: $3x - x = x + 400 - x$, που γίνεται $(3 - 1)x = 400$ άρα $2x = 400$
• Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 2: $\frac{2x}{2} = \frac{400}{2}$
• Απλοποιούμε τα κλάσματα: $x = 200$

Άρα, κάθε κύβος ζυγίζει 200 γραμμάρια.

Ορισμός εξίσωσης 📝

Μια εξίσωση είναι μια ισότητα, δηλαδή κάτι που λέει ότι δύο πράγματα είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτή η ισότητα περιέχει έναν άγνωστο αριθμό, τον οποίο συνήθως συμβολίζουμε με το γράμμα $x$.

Για παράδειγμα, η ισότητα $3x + 200 = x + 600$ είναι μια εξίσωση. Στην εξίσωση αυτή, το $x$ είναι ο άγνωστος αριθμός που ψάχνουμε να βρούμε.

Στην εξίσωση $3x + 200 = x + 600$, το κομμάτι $3x + 200$ λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ το κομμάτι $x + 600$ λέγεται δεύτερο μέλος της εξίσωσης.

Μέλη εξίσωσης ➗

Σε μια εξίσωση, έχουμε δύο μέρη που είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτά τα μέρη τα ονομάζουμε "μέλη της εξίσωσης".

Για παράδειγμα, στην εξίσωση $3x + 200 = x + 600$, το κομμάτι $3x + 200$ λέγεται "πρώτο μέλος" της εξίσωσης. Το άλλο κομμάτι, το $x + 600$, λέγεται "δεύτερο μέλος" της εξίσωσης.

Συμπέρασμα ✅

Έχουμε μια ζυγαριά που είναι σε ισορροπία. Στη μια πλευρά της ζυγαριάς έχουμε κύβους και βαρίδια, και στην άλλη πλευρά έχουμε επίσης κύβους και βαρίδια. Θέλουμε να βρούμε πόσο ζυγίζει ο κάθε κύβος.

Αρχικά, βλέπουμε ότι μπορούμε να αφαιρέσουμε έναν κύβο από κάθε πλευρά της ζυγαριάς, χωρίς να χαλάσουμε την ισορροπία. Μετά, έχουμε δύο κύβους στη μια πλευρά και τέσσερα βαρίδια στην άλλη.

Επαλήθευση ✅

Η "Επαλήθευση" είναι ένας τρόπος για να ελέγξουμε αν η λύση που βρήκαμε για μια εξίσωση είναι σωστή.

Στο παράδειγμα, στον αριστερό δίσκο μιας ζυγαριάς έχουμε $3 \cdot 200 + 200 = 600 + 200 = 800$ γραμμάρια. Στον δεξιό δίσκο, έχουμε $200 + 600 = 800$ γραμμάρια. Επειδή και οι δύο δίσκοι έχουν το ίδιο βάρος (800 γραμμάρια), η ζυγαριά ισορροπεί. Αυτό σημαίνει ότι η λύση που βρήκαμε είναι σωστή.

Μεταφορά όρων ➡️ ⬅️

Σε μια εξίσωση, μπορείς να μεταφέρεις όρους από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη. Όταν το κάνεις αυτό, πρέπει να αλλάξεις το πρόσημο του όρου που μεταφέρεις.

Για παράδειγμα, αν έχεις την εξίσωση $3x + 200 = x + 600$, μπορείς να μεταφέρεις το $+x$ από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημό του σε $-x$. Επίσης, μπορείς να μεταφέρεις το $+200$ από την αριστερή πλευρά στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημό του σε $-200$. Έτσι, η εξίσωση γίνεται $3x - x = 600 - 200$.

Μετά, μπορείς να κάνεις αναγωγή ομοίων όρων, δηλαδή να απλοποιήσεις την εξίσωση. Στην περίπτωση αυτή, $3x - x$ γίνεται $2x$ και $600 - 200$ γίνεται $400$. Έτσι, η εξίσωση γίνεται $2x = 400$.

Τέλος, διαιρείς και τις δύο πλευρές με τον συντελεστή του αγνώστου (δηλαδή το 2) και απλοποιείς τα κλάσματα. Έτσι, βρίσκεις ότι $x = 200$.

Παράδειγμα μεταφοράς όρων 📝

Σε μια εξίσωση, μπορούμε να μεταφέρουμε όρους από τη μια πλευρά στην άλλη, αλλάζοντας το πρόσημό τους.

Για παράδειγμα:

Έχουμε την εξίσωση $3x + 200 = x + 600$.

• Μεταφέρουμε το $x$ από το δεύτερο μέλος στο πρώτο μέλος, οπότε γίνεται $-x$. Επίσης, μεταφέρουμε το $+200$ από το πρώτο μέλος στο δεύτερο μέλος, οπότε γίνεται $-200$. Έτσι, η εξίσωση γίνεται: $3x - x = 600 - 200$.
• Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων: $2x = 400$.
• Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου (το $x$), που είναι το $2$, και απλοποιούμε τα κλάσματα: $\frac{2x}{2} = \frac{400}{2}$.
• Άρα, $x = 200$.