Συνήθως τον αποκαλούμε άγνωστο 'Χ'. Η αποστολή σου είναι να ανακαλύψεις τι κρύβει μέσα του. Για να το καταφέρεις θα αντιμετωπίσεις πολλές προκλήσεις. Θα λύσεις εξισώσεις, θα υπολογίσεις τετραγωνικές ρίζες και θα σχεδιάσεις γραφικές παραστάσεις. Ετοιμάσου για τη μεγάλη περιπέτεια 🦸🏻‍♂️

Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

# Ιδιότητες πράξεων και ισότητα/ανισότητα ⚖️

Οι ιδιότητες των πράξεων μας βοηθούν να κατανοήσουμε τις :tooltip[ισότητες]{content="Μαθηματικές προτάσεις που δηλώνουν ότι δύο εκφράσεις έχουν την ίδια τιμή."} και τις :tooltip[ανισότητες]{content="Μαθηματικές προτάσεις που δείχνουν ότι δύο εκφράσεις έχουν διαφορετικές τιμές."}. 🤔

Μια ισότητα ή ανισότητα είναι σαν μια ζυγαριά. Η ζυγαριά μπορεί να είναι σε ισορροπία, ή να γέρνει προς τη μία ή την άλλη πλευρά.⚖️

Αν έχουμε δύο αντικείμενα, το ένα με βάρος \(α\) και το άλλο με βάρος \(β\), τότε ισχύει μία από τις παρακάτω σχέσεις:

*   \(α = β\): Τα βάρη είναι ίσα, η ζυγαριά ισορροπεί.
*   \(α < β\): Το βάρος \(α\) είναι μικρότερο από το βάρος \(β\), η ζυγαριά γέρνει προς το \(β\).
*   \(α > β\): Το βάρος \(α\) είναι μεγαλύτερο από το βάρος \(β\), η ζυγαριά γέρνει προς το \(α\).

Για να χειριστούμε σωστά τις ισότητες, υπάρχουν μερικοί βασικοί κανόνες που πρέπει να θυμόμαστε:

*   Αν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη μιας ισότητας, η ισότητα παραμένει. Δηλαδή, αν \(α = β\), τότε \(α + γ = β + γ\).➕
*   Αν αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και από τα δύο μέλη μιας ισότητας, η ισότητα παραμένει. Δηλαδή, αν \(α = β\), τότε \(α - γ = β - γ\). ➖


# Δραστηριότητα 1 - Ισορροπία ζυγαριάς 🍎

Η "Δραστηριότητα 1 - Ισορροπία ζυγαριάς" είναι ένα πρόβλημα που μας βοηθά να καταλάβουμε τις :tooltip[ισότητες]{content="Μαθηματικές σχέσεις που δηλώνουν ότι δύο ποσότητες έχουν την ίδια τιμή."}. ⚖️

Ο Γιώργος έχει μια ζυγαριά που είναι σε ισορροπία. Αυτό σημαίνει ότι και τα δύο μέρη της ζυγαριάς έχουν το ίδιο βάρος. Στη μία πλευρά της ζυγαριάς έχει έναν :tooltip[κύβο]{content="Ένα τρισδιάστατο σχήμα με έξι τετράγωνες πλευρές."} και στην άλλη δύο κώνους. Ο κύβος έχει το ίδιο βάρος με τους δύο κώνους μαζί. 🧊

Μετά, ο Γιώργος βάζει μια μπάλα στην πλευρά της ζυγαριάς που έχει τον κύβο. Τώρα, η ζυγαριά δεν είναι σε ισορροπία, γιατί η πλευρά με τον κύβο και την μπάλα είναι πιο βαριά. ⚽

Για να ισορροπήσει ξανά η ζυγαριά, πρέπει να βάλουμε το ίδιο βάρος και στην άλλη πλευρά, δηλαδή στην πλευρά με τους δύο κώνους. Άρα, πρέπει να βάλουμε μία μπάλα και στην πλευρά με τους κώνους.

Έτσι, έχουμε: ένας κύβος και μία μπάλα ισορροπούν με δύο κώνους και μία μπάλα.

Αυτό μας δείχνει ότι μπορούμε να προσθέσουμε το ίδιο βάρος και στις δύο πλευρές μιας ζυγαριάς (ή μιας ισότητας) και η ζυγαριά (ή η ισότητα) θα παραμείνει σε ισορροπία. 👍

Δηλαδή, αν \(α = β\), τότε \(α + γ = β + γ\).

# Πρόσθεση και ισότητα ➕

Αυτό που βλέπουμε εδώ αφορά το τι συμβαίνει όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές μιας :tooltip[ισότητας]{content="Δήλωση ότι δύο πράγματα είναι ίσα."}. 🤔

Ας πούμε ότι έχουμε μια ισότητα, που σημαίνει ότι δύο πράγματα είναι ίσα. Μπορούμε να το φανταστούμε σαν μια ζυγαριά που είναι ισορροπημένη. Αν προσθέσουμε το ίδιο βάρος και στις δύο πλευρές της ζυγαριάς, αυτή θα παραμείνει ισορροπημένη. ⚖️

Έτσι, αν έχουμε \(α = β\), που σημαίνει ότι το \(α\) είναι ίσο με το \(β\), τότε αν προσθέσουμε έναν άλλο αριθμό, ας τον πούμε \(γ\), και στις δύο πλευρές, θα έχουμε \(α + γ = β + γ\). Η ισότητα παραμένει. ➕

Επίσης, μπορούμε εύκολα να καταλάβουμε ότι το ίδιο ισχύει και για την αφαίρεση. Αν αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και από τις δύο πλευρές μιας ισότητας, η ισότητα θα παραμείνει. Δηλαδή, αν \(α = β\), τότε \(α - γ = β - γ\). ➖


# Δραστηριότητα 2 - Πολλαπλασιασμός και ισορροπία ⚖️

Η "Δραστηριότητα 2" αφορά την ισορροπία και τον :tooltip[πολλαπλασιασμό]{content="Μια μαθηματική πράξη που υπολογίζει το γινόμενο δύο ή περισσότερων αριθμών."}.

Έχουμε μια ζυγαριά. Ο Γιώργος ξέρει ότι ένας κύβος στη ζυγαριά ισορροπεί με δύο κώνους.
Αν βάλουμε 4 κύβους στη μια πλευρά της ζυγαριάς, τότε για να παραμείνει η ζυγαριά σε ισορροπία, πρέπει να βάλουμε περισσότερους κώνους στην άλλη πλευρά.

Επειδή βάλαμε 4 φορές περισσότερους κύβους (τετραπλασιάσαμε το βάρος) στη μια πλευρά, πρέπει να βάλουμε και 4 φορές περισσότερους κώνους (τετραπλάσιο βάρος) στην άλλη πλευρά. Αφού αρχικά ένας κύβος ισορροπούσε με δύο κώνους, τώρα χρειαζόμαστε \(4 \cdot 2 = 8\) κώνους.

Άρα, πρέπει να τοποθετήσουμε 8 κώνους στην άλλη πλευρά για να ισορροπήσει η ζυγαριά.

Γενικά, αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη μιας :tooltip[ισότητας]{content="Μια μαθηματική πρόταση που δηλώνει ότι δύο εκφράσεις έχουν την ίδια τιμή."} με τον ίδιο αριθμό, η ισότητα παραμένει. Δηλαδή, αν \(α = β\), τότε \(α \cdot γ = β \cdot γ\).

Ομοίως, αν διαιρέσουμε και τα δύο μέλη μιας ισότητας με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν), η ισότητα παραμένει. Δηλαδή, αν \(α = β\), τότε \(\frac{α}{γ} = \frac{β}{γ}\), με \(γ \neq 0\). ➗


# Πολλαπλασιασμός και ισότητα 🧮

Όταν έχουμε μια :tooltip[ισότητα]{content="Δήλωση ότι δύο μαθηματικές εκφράσεις είναι ίσες."}, που σημαίνει ότι δύο πράγματα είναι ίσα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας με τον ίδιο αριθμό και η ισότητα θα παραμείνει αληθής. 👍

Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε \(α = β\), τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και το \(α\) και το \(β\) με τον ίδιο αριθμό \(γ\), και θα έχουμε \(α · γ = β · γ\). Η ισότητα παραμένει. ✨


# Διαίρεση και ισότητα ⚖️

Όταν έχουμε μια :tooltip[ισότητα]{content="Μια μαθηματική πρόταση που δείχνει ότι δύο εκφράσεις έχουν την ίδια τιμή."} (σαν μια ζυγαριά σε ισορροπία ⚖️), αν διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της ισότητας με τον ίδιο αριθμό (εκτός από το μηδέν 0️⃣), τότε η ισότητα παραμένει.

Αυτό σημαίνει ότι αν έχουμε \(α = β\), τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη με έναν αριθμό \(γ\) (ο οποίος δεν είναι μηδέν, δηλαδή \(γ ≠ 0\)), και θα έχουμε:

\( \frac{α}{γ} = \frac{β}{γ} \)

Αυτή η νέα σχέση είναι επίσης μια ισότητα. ✨


# Ορισμός εξίσωσης 📐

Μια :tooltip[εξίσωση]{content="Μια μαθηματική πρόταση που δηλώνει την ισότητα μεταξύ δύο εκφράσεων."} είναι μια ισότητα, δηλαδή κάτι που λέει ότι δύο πράγματα είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτή η ισότητα περιέχει έναν άγνωστο αριθμό, τον οποίο συνήθως συμβολίζουμε με το γράμμα \(x\). 🤔

Για παράδειγμα, η ισότητα \(3x + 200 = x + 600\) είναι μια εξίσωση. Στην εξίσωση αυτή, το \(x\) είναι ο άγνωστος αριθμός που ψάχνουμε να βρούμε. 🧐

Στην εξίσωση \(3x + 200 = x + 600\), το κομμάτι \(3x + 200\) λέγεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ το κομμάτι \(x + 600\) λέγεται δεύτερο μέλος της εξίσωσης. ➕

# Επίλυση εξίσωσης 🧮

Όταν έχουμε μια εξίσωση, όπως \(3x + 200 = x + 600\), αυτό σημαίνει ότι ψάχνουμε να βρούμε ποια είναι η τιμή του άγνωστου αριθμού \(x\). Για να το κάνουμε αυτό, λύνουμε την εξίσωση.

Στην εξίσωση \(3x + 200 = x + 600\), το \(3x + 200\) λέγεται πρώτο μέλος και το \(x + 600\) λέγεται δεύτερο μέλος.

Για να λύσουμε την εξίσωση, κάνουμε τα εξής βήματα:

1.  Αφαιρούμε το 200 και από τα δύο μέλη:
    \(3x + 200 - 200 = x + 600 - 200\), που γίνεται \(3x = x + 400\).
2.  Αφαιρούμε το \(x\) και από τα δύο μέλη:
    \(3x - x = x + 400 - x\), που γίνεται \((3 - 1)x = 400\) ή \(2x = 400\).
3.  Διαιρούμε με το 2 και τα δύο μέλη:
    \(\frac{2x}{2} = \frac{400}{2}\), που γίνεται \(x = 200\).

Έτσι, βρίσκουμε ότι \(x = 200\). Αυτό σημαίνει ότι κάθε κύβος ζυγίζει 200 γραμμάρια. 🥳

Στην άλγεβρα, η :tooltip[εξίσωση]{content="Μαθηματική πρόταση που δηλώνει την ισότητα δύο εκφράσεων."} είναι ένα σημαντικό εργαλείο! ✨


# Επαλήθευση ✅

Η "Επαλήθευση" είναι ένας τρόπος για να ελέγξουμε αν η λύση που βρήκαμε για μια :tooltip[εξίσωση]{content="Μαθηματική πρόταση που δηλώνει την ισότητα δύο εκφράσεων."} είναι σωστή. 🤔

Στο παράδειγμα, στον αριστερό δίσκο μιας ζυγαριάς έχουμε \(3 \cdot 200 + 200 = 600 + 200 = 800\) γραμμάρια. Στον δεξιό δίσκο, έχουμε \(200 + 600 = 800\) γραμμάρια. Επειδή και οι δύο δίσκοι έχουν το ίδιο βάρος (800 γραμμάρια), η ζυγαριά :tooltip[ισορροπεί]{content="Βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας."}. Αυτό σημαίνει ότι η λύση που βρήκαμε είναι σωστή. 🥳


# Βήματα Επίλυσης 🪜

Σε μια :tooltip[εξίσωση]{content="Μαθηματική πρόταση που δηλώνει την ισότητα δύο εκφράσεων."}, μπορείς να μεταφέρεις όρους από τη μια πλευρά της εξίσωσης στην άλλη. Όταν το κάνεις αυτό, πρέπει να αλλάξεις το πρόσημο του όρου που μεταφέρεις. ➕➖

Για παράδειγμα, αν έχεις την εξίσωση \(3x + 200 = x + 600\), μπορείς να μεταφέρεις το \(x\) από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημό του σε \(-x\). Επίσης, μπορείς να μεταφέρεις το \(+200\) από την αριστερή πλευρά στη δεξιά πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημό του σε \(-200\). Έτσι, η εξίσωση γίνεται \(3x - x = 600 - 200\). ✍️

Μετά, μπορείς να κάνεις :tooltip[αναγωγή ομοίων όρων]{content="Απλοποίηση μιας έκφρασης συνδυάζοντας όρους με την ίδια μεταβλητή και βαθμό."}, δηλαδή να απλοποιήσεις την εξίσωση. Στην περίπτωση αυτή, \(3x - x\) γίνεται \(2x\) και \(600 - 200\) γίνεται \(400\). Έτσι, η εξίσωση γίνεται \(2x = 400\). 🤓

Τέλος, διαιρείς και τις δύο πλευρές με τον :tooltip[συντελεστή]{content="Ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με μια μεταβλητή σε έναν αλγεβρικό όρο."} του αγνώστου (δηλαδή το 2) και απλοποιείς τα κλάσματα. Έτσι, βρίσκεις ότι \(x = 200\). 🎉


01. Βασική Θεωρία

Πώς η εικόνα μιας ζυγαριάς σε ισορροπία ή που γέρνει βοηθά να καταλάβουμε τι σημαίνει δύο ποσά να είναι ίσα, μικρότερο ή μεγαλύτερο.

Ισότητα και ανισότητα ως ζυγαριά

Γιατί μια ισότητα παραμένει αληθής όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε τον ίδιο αριθμό και από τα δύο μέλη της.

Πρόσθεση και αφαίρεση στην ισότητα

Γιατί μια ισότητα παραμένει αληθής όταν πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της με τον ίδιο αριθμό.

Πολλαπλασιασμός στην ισότητα

Γιατί μια ισότητα παραμένει αληθής όταν διαιρούμε και τα δύο μέλη της με τον ίδιο αριθμό, εκτός από το μηδέν.

Διαίρεση στην ισότητα

Τι είναι μια εξίσωση, πώς προκύπτει από ένα πρόβλημα ισορροπίας και πώς βρίσκουμε την τιμή του αγνώστου βήμα προς βήμα.

Η έννοια της εξίσωσης

Ποιο κομμάτι μιας εξίσωσης λέγεται πρώτο μέλος και ποιο δεύτερο μέλος, με βάση τη θέση τους ως προς το σύμβολο της ισότητας.

Μέλη της εξίσωσης

Πώς ελέγχουμε αν η τιμή που βρήκαμε για τον άγνωστο είναι πράγματι η σωστή λύση της εξίσωσης.

Επαλήθευση της λύσης

Ο κανόνας για να μετακινούμε όρους από το ένα μέλος μιας εξίσωσης στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημό τους, ώστε να απομονώσουμε τον άγνωστο.

Μεταφορά όρων

# Ισότητες και Εξισώσεις ⚖️

Μια ισότητα μοιάζει με μια ζυγαριά σε ισορροπία: αν \(α = β\), τα δύο μέλη «ζυγίζουν» το ίδιο. Αν \(α < β\) ή \(α > β\), η ζυγαριά γέρνει προς τη μεγαλύτερη πλευρά.

### Ιδιότητες της ισότητας

Μια ισότητα παραμένει αληθής όταν κάνουμε την ίδια πράξη και στα δύο μέλη της:

- **Πρόσθεση/αφαίρεση:** αν \(α = β\), τότε \(α + γ = β + γ\) και \(α - γ = β - γ\).
- **Πολλαπλασιασμός:** αν \(α = β\), τότε \(α \cdot γ = β \cdot γ\).
- **Διαίρεση:** αν \(α = β\), τότε \(\frac{α}{γ} = \frac{β}{γ}\), αρκεί \(γ \neq 0\).

:::alert{title="Προσοχή στη διαίρεση!"}
Δεν επιτρέπεται ποτέ η διαίρεση με το μηδέν, ακόμα κι αν τα δύο μέλη της ισότητας είναι ίσα μεταξύ τους.
:::

:::fact{title="Γιατί το φανταζόμαστε σαν ζυγαριά;"}
Η εικόνα της ζυγαριάς βοηθάει να «δούμε» γιατί μια πράξη πρέπει να γίνεται και στις δύο πλευρές μαζί: αν προσθέσουμε βάρος μόνο στη μία πλευρά, η ισορροπία χαλάει.
:::

### Τι είναι η εξίσωση

Μια **εξίσωση** είναι μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό, τον οποίο συνήθως συμβολίζουμε με \(x\). Το κομμάτι της εξίσωσης πριν το «=» λέγεται **πρώτο μέλος**, και το κομμάτι μετά το «=» λέγεται **δεύτερο μέλος**.

Για παράδειγμα, στην εξίσωση \(3x + 200 = x + 600\), πρώτο μέλος είναι το \(3x + 200\) και δεύτερο μέλος το \(x + 600\). Το \(x\) που κάνει την ισότητα αληθινή λέγεται λύση της εξίσωσης.

### Μεταφορά όρων

Για να λύσουμε μια εξίσωση, μεταφέρουμε τους όρους από το ένα μέλος στο άλλο, με έναν κανόνα: όταν ένας όρος αλλάζει μέλος, **αλλάζει πρόσημο**. Έτσι συγκεντρώνουμε τους αγνώστους σε ένα μέλος και τους γνωστούς στο άλλο, κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και τέλος διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου για να βρούμε την τιμή του.

:::fact{title="Από πού βγαίνει ο κανόνας της μεταφοράς;"}
Η μεταφορά όρων με αλλαγή προσήμου δεν είναι ξεχωριστός κανόνας — είναι απλώς συντομογραφία της πρόσθεσης ή αφαίρεσης του ίδιου όρου και στα δύο μέλη.
:::

### Επαλήθευση

Η **επαλήθευση** είναι ο έλεγχος αν η λύση που βρήκαμε είναι σωστή: αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου στην αρχική εξίσωση και ελέγχουμε αν τα δύο μέλη γίνονται ίσα.

:::alert{title="Μην παραλείπεις την επαλήθευση"}
Ένα λάθος στη μεταφορά ή στην αναγωγή όρων περνάει εύκολα απαρατήρητο αν δεν ξαναϋπολογίσεις τα δύο μέλη με τη λύση που βρήκες.
:::


Άλγεβρα Β' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία