Ταξίδεψε στην Αρχαία Ελλάδα. Γνώρισε τον Πυθαγόρα και εξερεύνησε τα μυστικά των ορθογώνιων τριγώνων. Υπολόγισε εμβαδά, μέτρησε κύκλους, μάθε για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και δημιούργησε εντυπωσιακά τρισδιάστατα σχήματα 📐🏛️

Γεωμετρία Β' Γυμνασίου

# Έννοια του όγκου

Ο όγκος ενός σώματος είναι ένας αριθμός που μας λέει πόσες φορές ένας μικρός κύβος 🧊, ή κομμάτια αυτού του κύβου, χωράνε μέσα στο σώμα. Φανταστείτε ότι έχουμε ένα σχήμα, το Σ, και έναν μικρό κύβο. Ο όγκος του σχήματος Σ είναι ο αριθμός που δείχνει πόσοι τέτοιοι κύβοι χρειάζονται για να φτιαχτεί το σχήμα Σ.


# Μονάδες μέτρησης όγκου

Οι μονάδες μέτρησης όγκου είναι ένας τρόπος να μετράμε πόσο χώρο καταλαμβάνει κάτι. 📏

Φανταστείτε έναν κύβο που έχει κάθε πλευρά του να είναι 1 :tooltip[μέτρο]{content="Μονάδα μέτρησης μήκους στο μετρικό σύστημα, συμβολίζεται με m."} (m). Αυτός ο κύβος έχει όγκο 1 :tooltip[κυβικό μέτρο]{content="Μονάδα μέτρησης όγκου, ισοδυναμεί με τον όγκο ενός κύβου με πλευρά 1 μέτρο, συμβολίζεται με m³."} (m³). 📦

Υπάρχουν μικρότερες μονάδες μέτρησης όγκου, που είναι υποδιαιρέσεις του κυβικού μέτρου:

α) **Κυβικό δεκατόμετρο (dm³)**: Είναι ένας μικρότερος κύβος με πλευρά 1 :tooltip[δεκατόμετρο]{content="Μονάδα μέτρησης μήκους, ισοδυναμεί με το ένα δέκατο του μέτρου, συμβολίζεται με dm."} (dm). Επειδή 1 μέτρο (m) είναι το ίδιο με 10 δεκατόμετρα (dm), τότε 1 κυβικό μέτρο (m³) είναι το ίδιο με \(10^3\) κυβικά δεκατόμετρα (dm³), δηλαδή 1000 dm³. Αντίστροφα, 1 dm³ = \(\frac{1}{1000}\) m³ = 0.001 m³.

β) **Κυβικό εκατοστόμετρο (cm³)**: Είναι ένας ακόμα μικρότερος κύβος με πλευρά 1 :tooltip[εκατοστόμετρο]{content="Μονάδα μέτρησης μήκους, ισοδυναμεί με το ένα εκατοστό του μέτρου, συμβολίζεται με cm."} (cm). Επειδή 1 μέτρο (m) είναι το ίδιο με 100 εκατοστόμετρα (cm), τότε 1 m³ = \(10^3\) dm³ = \(10^6\) cm³ = 1000000 cm³. Αντίστροφα, 1 cm³ = \(\frac{1}{1000000}\) m³ = \(\frac{1}{1000}\) dm³.

γ) **Κυβικό χιλιοστόμετρο (mm³)**: Είναι ο μικρότερος κύβος με πλευρά 1 :tooltip[χιλιοστόμετρο]{content="Μονάδα μέτρησης μήκους, ισοδυναμεί με το ένα χιλιοστό του μέτρου, συμβολίζεται με mm."} (mm). Επειδή 1 μέτρο (m) είναι το ίδιο με 1000 χιλιοστόμετρα (mm), τότε 1 m³ = \(10^3\) dm³ = \(10^6\) cm³ = \(10^9\) mm³. Αντίστροφα, 1 mm³ = \(\frac{1}{1000000000}\) m³ = \(\frac{1}{1000000}\) dm³ = \(\frac{1}{1000}\) cm³.

Όταν μετράμε τον όγκο υγρών, συχνά χρησιμοποιούμε το :tooltip[λίτρο]{content="Μονάδα μέτρησης όγκου, κυρίως για υγρά, ισοδυναμεί με 1 κυβικό δεκατόμετρο, συμβολίζεται με l."} (l) για το κυβικό δεκατόμετρο (dm³). Έτσι, 1 λίτρο είναι το ίδιο με 1 dm³. Επίσης, το :tooltip[χιλιοστόλιτρο]{content="Μονάδα μέτρησης όγκου, ισοδυναμεί με το ένα χιλιοστό του λίτρου, συμβολίζεται με ml."} (ml) χρησιμοποιείται για το κυβικό εκατοστόμετρο (cm³). Έτσι, 1 ml είναι το ίδιο με 1 cm³. 💧


# Όγκος πρίσματος και κυλίνδρου

Για να καταλάβουμε τον όγκο ενός πρίσματος ή κυλίνδρου, μπορούμε να φανταστούμε μια σύριγγα γεμάτη με χρωματισμένο νερό. Όταν πιέζουμε το :tooltip[έμβολο]{content="Το κινητό τμήμα μέσα σε ένα κύλινδρο που κινείται για να εκτοπίσει ή να συμπιέσει ένα ρευστό."}, το νερό βγαίνει από τη σύριγγα. Το έμβολο διαγράφει μια απόσταση ίση με το μήκος της σύριγγας μέχρι να αδειάσει όλο το νερό. 💧

Ο όγκος του νερού που βγήκε από τη σύριγγα είναι ακριβώς ίδιος με τον όγκο που είχε η κυλινδρική σύριγγα. Μπορούμε να πούμε ότι ο όγκος της σύριγγας δημιουργείται από την κίνηση του :tooltip[εμβαδού]{content="Η ποσότητα του χώρου που περικλείεται μέσα σε ένα δισδιάστατο σχήμα."} του εμβόλου σε όλο το μήκος της σύριγγας. 📐


# Όγκος κυλίνδρου και πρίσματος

Ο όγκος ενός :tooltip[κυλίνδρου]{content="Ένα τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα με δύο παράλληλες κυκλικές βάσεις που συνδέονται με μια καμπύλη επιφάνεια."} βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας το εμβαδόν της βάσης του με το ύψος του. Αυτό σημαίνει:

Όγκος = (Εμβαδόν βάσης) \( \cdot \) (ύψος) 📏

Αυτό ισχύει και για τα :tooltip[πρίσματα]{content="Ένα πολύεδρο με δύο παράλληλες και όμοιες βάσεις και ορθογώνιες πλευρικές έδρες."}. Ο όγκος ενός πρίσματος βρίσκεται επίσης πολλαπλασιάζοντας το εμβαδόν της βάσης του με το ύψος του: 📐

Όγκος = (Εμβαδόν βάσης) \( \cdot \) (ύψος) 📦


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Είδος περιεχομένου: Παράδειγμα 📝

Περιεχόμενο: Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1" σου ζητάει να βρεις τον όγκο ενός κυλίνδρου σε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις. Θυμήσου, ο όγκος ενός κυλίνδρου είναι πόσο χώρο καταλαμβάνει. 📏

*   **Περίπτωση α):** Έχεις έναν κύλινδρο με :tooltip[ακτίνα]{content="Η απόσταση από το κέντρο ενός κύκλου μέχρι την περιφέρειά του."} βάσης 3 εκατοστά (cm) και ύψος 5 εκατοστά (cm). Για να βρεις τον όγκο, χρησιμοποιείς τον τύπο: \(V = πρ^2 \cdot υ\), όπου \(V\) είναι ο όγκος, \(π\) είναι ένας ειδικός αριθμός περίπου ίσος με 3,14, \(ρ\) είναι η ακτίνα και \(υ\) είναι το ύψος. Έτσι, \(V = π \cdot 3^2 \cdot 5 = 45π = 141,3\) κυβικά εκατοστά (cm³). ➗

*   **Περίπτωση β):** Έχεις έναν κύλινδρο με :tooltip[διάμετρο]{content="Η απόσταση από τη μια άκρη του κύκλου στην άλλη, περνώντας από το κέντρο."} βάσης 4 εκατοστά (cm) και ύψος 4 εκατοστά (cm). Η διάμετρος είναι η απόσταση από τη μια άκρη του κύκλου στην άλλη, περνώντας από το κέντρο. Η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου, άρα \(ρ = 2\) εκατοστά (cm). Χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο, \(V = π \cdot 2^2 \cdot 4 = 16π = 50,24\) κυβικά εκατοστά (cm³). ➗

*   **Περίπτωση γ):** Έχεις έναν κύλινδρο με :tooltip[περίμετρο]{content="Η απόσταση γύρω από τον κύκλο."} βάσης 31,4 εκατοστά (cm) και ύψος 3 εκατοστά (cm). Η περίμετρος είναι η απόσταση γύρω από τον κύκλο. Για να βρεις την ακτίνα, χρησιμοποιείς τον τύπο της περιμέτρου: \(L = 2πρ\). Άρα, \(31,4 = 2π \cdot ρ\). Λύνοντας για το \(ρ\), βρίσκεις ότι \(ρ = 5\) εκατοστά (cm). Τώρα, χρησιμοποιείς τον τύπο του όγκου: \(V = π \cdot 5^2 \cdot 3 = 75π = 235,5\) κυβικά εκατοστά (cm³). ➗


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2" μας δείχνει πώς να υπολογίσουμε την αξία ενός κορμού δέντρου 🌳. Φανταζόμαστε ότι ο κορμός είναι σαν ένας :tooltip[κύλινδρος]{content="Ένα τρισδιάστατο γεωμετρικό σχήμα με δύο παράλληλες κυκλικές βάσεις και μια καμπύλη επιφάνεια που τις συνδέει."}.

Μας δίνουν ότι ο κορμός έχει:
*   Μήκος 8 μέτρα
*   :tooltip[Διάμετρο]{content="Η απόσταση μεταξύ δύο αντιδιαμετρικών σημείων ενός κύκλου ή σφαίρας, που διέρχεται από το κέντρο."} βάσης 0,6 μέτρα

Επίσης, μας λένε ότι κάθε κυβικό μέτρο ξυλείας κοστίζει 100 ευρώ.

Για να βρούμε πόσο αξίζει ο κορμός, κάνουμε τα εξής:

1.  Βρίσκουμε την :tooltip[ακτίνα]{content="Η απόσταση από το κέντρο ενός κύκλου μέχρι οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειάς του."} του κύκλου στη βάση του κορμού. Η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου, άρα είναι \(ρ = 0,3\) μέτρα.
2.  Υπολογίζουμε τον :tooltip[όγκο]{content="Ο χώρος που καταλαμβάνει ένα τρισδιάστατο αντικείμενο."} του κορμού (κυλίνδρου) χρησιμοποιώντας τον τύπο: \(V_κ = πρ^2 \cdot υ\). Έτσι, \(V_κ = 3,14 \cdot (0,3)^2 \cdot 8 = 2,26\) κυβικά μέτρα (\(m^3\)).
3.  Τέλος, βρίσκουμε την αξία του κορμού πολλαπλασιάζοντας τον όγκο του με την τιμή ανά κυβικό μέτρο: \(A = 2,26 \cdot 100 = 226\) ευρώ 💰.

Άρα, ο κορμός αξίζει 226 ευρώ.


# ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3

Η "ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3" περιγράφει ένα πρόβλημα γεωμετρίας 📐. Έχουμε ένα :tooltip[πρίσμα]{content="Ένα γεωμετρικό στερεό με δύο παράλληλες και ίσες βάσεις και ορθογώνια παράπλευρα."} που έχει ως βάση ένα τετράγωνο. Αυτό το πρίσμα είναι μέσα σε έναν :tooltip[κύλινδρο]{content="Ένα γεωμετρικό στερεό με δύο παράλληλες και ίσες κυκλικές βάσεις και μια καμπύλη επιφάνεια που τις συνδέει."}.

**Τι μας δίνει το πρόβλημα:**

*   Η βάση του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά που την ονομάζουμε \(α\) (σε εκατοστά).
*   Ο κύλινδρος έχει ύψος 10 εκατοστά.
*   Η :tooltip[ακτίνα]{content="Η απόσταση από το κέντρο ενός κύκλου μέχρι οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειάς του."} της βάσης του κυλίνδρου είναι \(ρ = 3\) εκατοστά.

**Τι μας ζητάει να βρούμε:**

*   α) Πόσο είναι η πλευρά \(α\) του τετραγώνου.
*   β) Πόσος είναι ο όγκος του κυλίνδρου και πόσος είναι ο όγκος του πρίσματος.

**Πώς λύνουμε το πρόβλημα:**

*   **α) Βρίσκουμε την πλευρά \(α\):**

    *   Φανταζόμαστε ένα :tooltip[ορθογώνιο τρίγωνο]{content="Ένα τρίγωνο με μία γωνία 90 μοιρών."} μέσα στο τετράγωνο, όπου η :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία."} είναι η διάμετρος του κύκλου (που είναι \(2 \cdot ρ = 2 \cdot 3 = 6\) εκατοστά).
    *   Χρησιμοποιούμε το :tooltip[Πυθαγόρειο θεώρημα]{content="Ένα θεώρημα που συνδέει τις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου: \(α^2 + β^2 = γ^2\)."}: \(α^2 + α^2 = 6^2\).
    *   Αυτό γίνεται \(2α^2 = 36\), άρα \(α^2 = 18\).
    *   Επομένως, \(α = \sqrt{18} = 4,24\) εκατοστά.
*   **β) Βρίσκουμε τους όγκους:**

    *   **Όγκος κυλίνδρου (\(V_{κυλ}\)):** Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(V_{κυλ} = π \cdot ρ^2 \cdot υ\).
        *   \(V_{κυλ} = 3,14 \cdot 3^2 \cdot 10 = 282,6\) κυβικά εκατοστά.
    *   **Όγκος πρίσματος (\(V_{πρ}\)):** Χρησιμοποιούμε τον τύπο \(V_{πρ} = E_β \cdot υ\), όπου \(E_β\) είναι το εμβαδόν της βάσης (του τετραγώνου).
        *   \(V_{πρ} = α^2 \cdot υ = 18 \cdot 10 = 180\) κυβικά εκατοστά. 🧪


01. Βασική Θεωρία

Πώς μετράμε τον χώρο που πιάνει ένα στερεό και γιατί η μέτρηση αυτή βασίζεται σε μικρούς κύβους που το γεμίζουν.

Τι είναι ο όγκος

Από το κυβικό μέτρο ως το κυβικό χιλιοστόμετρο, και πού κρύβονται το λίτρο και το χιλιοστόλιτρο μέσα σε αυτές τις μονάδες.

Μονάδες μέτρησης όγκου

Γιατί ο κύλινδρος και το πρίσμα μοιράζονται τον ίδιο τύπο, με τη βάση τους να σαρώνει τον χώρο όπως το έμβολο μιας σύριγγας.

Από πού προκύπτει ο όγκος

Εμβαδόν βάσης επί ύψος: πώς γράφεται ο τύπος για τον κύλινδρο και για το πρίσμα, και πού μπερδεύεται συχνά με την περίμετρο.

Ο τύπος του όγκου

Τι κάνεις όταν αντί για την ακτίνα σού δίνουν τη διάμετρο ή την περίμετρο της βάσης, πριν καν φτάσεις στον τύπο του όγκου.

Υπολογισμοί όγκου κυλίνδρου

Πώς ο όγκος ενός κορμού δέντρου γίνεται τιμή σε ευρώ, όταν ξέρουμε πόσο κοστίζει το υλικό ανά κυβικό μέτρο.

Ο όγκος σε πραγματικά προβλήματα

Όταν ένα πρίσμα με τετράγωνη βάση χωράει ακριβώς μέσα σε κύλινδρο, το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει την πλευρά του τετραγώνου.

Πρίσμα μέσα σε κύλινδρο

# Όγκος Πρίσματος και Κυλίνδρου 📦

Ο :tooltip[όγκος]{content="Αριθμός που δείχνει πόσο χώρο καταλαμβάνει ένα σώμα."} ενός σώματος δείχνει πόσο χώρο καταλαμβάνει: είναι το πλήθος των μοναδιαίων κύβων που χρειάζονται για να το γεμίσουμε.

## Μονάδες μέτρησης 📐

Μονάδα όγκου είναι ο όγκος ενός κύβου με πλευρά μία μονάδα μήκους. Επειδή ο κύβος έχει τρεις διαστάσεις, κάθε υποδιαίρεση της πλευράς στο ένα δέκατο μικραίνει τον όγκο 1000 φορές.

| Μονάδα | Πλευρά κύβου | Σε \(m^3\) | Αντίστροφα |
|---|---|---|---|
| \(m^3\) | 1 m | \(1\ m^3\) | — |
| \(dm^3\) | 1 dm | \(10^3\ dm^3\) | \(1\ dm^3=\frac{1}{1000}\ m^3\) |
| \(cm^3\) | 1 cm | \(10^6\ cm^3\) | \(1\ cm^3=\frac{1}{1000}\ dm^3\) |
| \(mm^3\) | 1 mm | \(10^9\ mm^3\) | \(1\ mm^3=\frac{1}{1000}\ cm^3\) |

Στα υγρά οι ίδιες ποσότητες έχουν άλλα ονόματα: 1 λίτρο (l) είναι 1 \(dm^3\) και 1 χιλιοστόλιτρο (ml) είναι 1 \(cm^3\). 💧

:::fact{title="Το λίτρο είναι κρυμμένος κύβος"}
Ένα μπουκάλι ενός λίτρου χωράει όσο ένας κύβος με πλευρά 10 cm, και το 1 ml της σύριγγας είναι κύβος με πλευρά μόλις 1 cm.
:::

## Ο τύπος του όγκου 🧮

Στον κύλινδρο και στο πρίσμα η βάση μένει ίδια σε όλο το ύψος — σαν να σαρώνει τον χώρο ανεβαίνοντας, όπως το έμβολο μιας σύριγγας. Γι' αυτό έχουν τον **ίδιο τύπο**:

\[
V = E_{\beta} \cdot \upsilon
\]

Στον κύλινδρο η βάση είναι κύκλος ακτίνας \(ρ\), οπότε \(V = πρ^2 \cdot \upsilon\)· σε πρίσμα με τετράγωνη βάση πλευράς \(α\), \(V = α^2 \cdot \upsilon\).

Η ακτίνα δεν δίνεται πάντα άμεσα: από τη διάμετρο προκύπτει \(ρ=\frac{δ}{2}\), ενώ από την περίμετρο βάσης \(L=2πρ\) προκύπτει \(ρ=\frac{L}{2π}\). Αν ένα πρίσμα είναι εγγεγραμμένο σε κύλινδρο, η διαγώνιος της τετράγωνης βάσης ταυτίζεται με τη διάμετρο, οπότε το Πυθαγόρειο θεώρημα δίνει \(α^2+α^2=δ^2\).

:::alert{title="Εμβαδόν βάσης, όχι περίμετρος"}
Το συχνότερο λάθος είναι να πολλαπλασιάσεις την **περίμετρο** της βάσης επί το ύψος. Στον όγκο μπαίνει το **εμβαδόν**. Έλεγχος: ο όγκος βγαίνει πάντα σε κυβικές μονάδες — αν σου βγήκε \(cm^2\), κάπου έκανες λάθος.
:::

Ξέροντας τον όγκο και την τιμή του υλικού ανά κυβική μονάδα, η αξία του σώματος βρίσκεται με πολλαπλασιασμό: όγκος επί τιμή μονάδας.
