Ταξίδεψε στην Αρχαία Ελλάδα. Γνώρισε τον Πυθαγόρα και εξερεύνησε τα μυστικά των ορθογώνιων τριγώνων. Υπολόγισε εμβαδά, μέτρησε κύκλους, μάθε για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και δημιούργησε εντυπωσιακά τρισδιάστατα σχήματα 📐🏛️

Γεωμετρία Β' Γυμνασίου

# Εφαρμογή 1: Υπολογισμός εμβαδού κύκλου

Η "Εφαρμογή 1" μας δείχνει πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου όταν γνωρίζουμε το μήκος του. 📏

Ας δούμε το πρόβλημα: Αν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,28 cm, πρέπει να βρούμε το εμβαδόν του. 🤔

### Λύση:

Για να το λύσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το μήκος του κύκλου, που είναι \(L = 2πρ\), όπου \(L\) είναι το μήκος και \(ρ\) είναι η :tooltip[ακτίνα]{content="Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι την περιφέρειά του."} του κύκλου. Γνωρίζουμε ότι \(L = 6,28\) cm και ότι  :tooltip[π]{content="Μαθηματική σταθερά που εκφράζει τη σχέση μεταξύ της περιφέρειας ενός κύκλου και της διαμέτρου του."} είναι περίπου 3,14. 

Έτσι, έχουμε \(6,28 = 2 \cdot 3,14 \cdot ρ\). Λύνοντας για το \(ρ\), βρίσκουμε ότι \(ρ = 1\) cm.

Τώρα που ξέρουμε την ακτίνα, μπορούμε να βρούμε το εμβαδόν του κύκλου χρησιμοποιώντας τον τύπο 

\(E = πρ^2\), όπου \(E\) είναι το εμβαδόν. 

Αντικαθιστώντας, έχουμε \(E = 3,14 \cdot 1^2 = 3,14\) τετραγωνικά εκατοστά (\(cm^2\)). 📐

Άρα, το εμβαδόν του κύκλου είναι 3,14 \(cm^2\). 🎉

:::fact{title="Σημαντικό"}
Ο τύπος υπολογισμού εμβαδού ενός κύκλου είναι \(E = πρ^2\) 🔵
:::


# Εφαρμογή 2: Υπολογισμός ακτίνας κυκλικού δακτυλίου 🧮



Ένας :tooltip[κυκλικός δακτύλιος]{content="Η κίτρινη περιοχή που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο κύκλους."} είναι η κίτρινη περιοχή που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο κύκλους. 🟡

Το πρόβλημα μας λέει ότι το εμβαδόν αυτού του κίτρινου δακτυλίου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός μπλε κυκλικού δίσκου. 🔵 Αυτός ο μπλε δίσκος έχει ακτίνα \(ρ = \sqrt{2}\) cm.

Θέλουμε να βρούμε την ακτίνα \(R\) του μεγάλου κύκλου. 🤔

Για να το λύσουμε, γνωρίζουμε ότι το :tooltip[εμβαδόν]{content="Η έκταση μιας επιφάνειας."} \(E\) του δακτυλίου είναι η διαφορά των εμβαδών των δύο κύκλων: \(E_1 = πR^2\) (μεγάλος κύκλος) και \(E_2 = πρ^2\) (μικρός κύκλος).

Έτσι, \(E = E_1 - E_2 = πR^2 - πρ^2\).

Επειδή το εμβαδόν του δακτυλίου \(E\) είναι ίσο με το εμβαδόν του μπλε δίσκου \(E_2\), έχουμε:

\(πR^2 - πρ^2 = πρ^2\).

Αυτό απλοποιείται σε \(πR^2 = 2πρ^2\).

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το \(π\) και έχουμε: \(R^2 = 2ρ^2\).

Αντικαθιστούμε το \(ρ\) με \(\sqrt{2}\): \(R^2 = 2(\sqrt{2})^2 = 4\).

Τέλος, βρίσκουμε ότι \(R = 2\) cm. 🎉


# Εφαρμογή 3: Σύγκριση τιμών πίτσας 🍕

Στην "Εφαρμογή 3: Σύγκριση τιμών πίτσας", μια πιτσαρία πουλάει πίτσες σε τρία μεγέθη: μικρή, μεσαία και μεγάλη.

*   Η μικρή πίτσα έχει διάμετρο 23 εκατοστά και κοστίζει 7 ευρώ. Το :tooltip[εμβαδόν]{content="Η έκταση μιας επιφάνειας."} της είναι \(E_1 = π \cdot (\frac{23}{2})^2 = 415,27\) τετραγωνικά εκατοστά. Το κόστος για κάθε τετραγωνικό εκατοστό είναι \(\frac{700}{415,27} = 1,69\) λεπτά/cm².
*   Η μεσαία πίτσα έχει διάμετρο 28 εκατοστά και κοστίζει 8 ευρώ και 50 λεπτά. Το εμβαδόν της είναι \(E_2 = π \cdot 14^2 = 615,44\) τετραγωνικά εκατοστά. Το κόστος για κάθε τετραγωνικό εκατοστό είναι \(\frac{850}{615,44} = 1,38\) λεπτά/cm².
*   Η μεγάλη πίτσα έχει διάμετρο 33 εκατοστά και κοστίζει 11 ευρώ και 90 λεπτά. Το εμβαδόν της είναι \(E_3 = π \cdot (\frac{33}{2})^2 = 854,87\) τετραγωνικά εκατοστά. Το κόστος για κάθε τετραγωνικό εκατοστό είναι \(\frac{1190}{854,87} = 1,39\) λεπτά/cm².

Για να βρούμε ποια πίτσα συμφέρει, υπολογίζουμε το κόστος ανά τετραγωνικό εκατοστό για κάθε πίτσα. Η μεσαία πίτσα έχει το μικρότερο κόστος ανά τετραγωνικό εκατοστό (1,38 λεπτά/cm²), επομένως συμφέρει περισσότερο να αγοράσουμε τη μεσαία πίτσα. 🤑


01. Βασική Θεωρία

Τι συμβαίνει αν κόψεις έναν κυκλικό δίσκο σε πολλά κομμάτια και τα ξαναβάλεις στη σειρά, και ποιο γνωστό σχήμα εμφανίζεται.

Από πού βγαίνει ο τύπος του εμβαδού

Ο τύπος που συνδέει το εμβαδόν με την ακτίνα, και ποιες μονάδες παίρνει το αποτέλεσμα.

Ο τύπος του εμβαδού κυκλικού δίσκου

Πώς προχωράς όταν το πρόβλημα σου δίνει το μήκος ή τη διάμετρο αντί για την ακτίνα του κύκλου.

Από το μήκος του κύκλου στο εμβαδόν

Η περιοχή ανάμεσα σε δύο κύκλους και το κόλπο που κάνει τις εξισώσεις με δακτυλίους να λύνονται εύκολα.

Ο κυκλικός δακτύλιος

Ποια πίτσα συμφέρει τελικά; Ένας τρόπος να συγκρίνεις κυκλικά αντικείμενα που δεν κοιτάζει μόνο το μέγεθος.

Σύγκριση τιμών με βάση το εμβαδόν

# Εμβαδόν Κυκλικού Δίσκου 🍕

## Από πού βγαίνει ο τύπος

Χωρίζοντας τον δίσκο σε πολλά μικρά κομμάτια και βάζοντάς τα στη σειρά, προκύπτει σχήμα που μοιάζει με ορθογώνιο παραλληλόγραμμο — τόσο περισσότερο, όσο πιο μικρά τα κομμάτια. Η «βάση» του είναι το μισό της περιφέρειας, δηλαδή \(πρ\), και το «ύψος» του η :tooltip[ακτίνα]{content="Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι την περιφέρειά του."} \(ρ\). Άρα το εμβαδόν είναι \(ρ \cdot πρ\).

:::fact{title="Ο τύπος"}
Το εμβαδόν \(E\) κυκλικού δίσκου με ακτίνα \(ρ\) είναι
\[
E = πρ^2
\]
:::

## Πώς εφαρμόζεται

Όταν δεν δίνεται η ακτίνα, τη βρίσκεις πρώτη:

| Δεδομένο | Πρώτο βήμα |
|---|---|
| Ακτίνα \(ρ\) | — |
| Διάμετρος \(δ\) | \(ρ = \dfrac{δ}{2}\) |
| Μήκος κύκλου \(L\) | λύνεις το \(L = 2πρ\) ως προς \(ρ\) |

Στις πράξεις παίρνουμε \(π \approx 3{,}14\) και το εμβαδόν μετριέται σε τετραγωνικές μονάδες (π.χ. \(cm^2\)).

:::alert{title="Ακτίνα, όχι διάμετρος!"}
Στον τύπο \(E = πρ^2\) μπαίνει πάντα η ακτίνα. Αν βάλεις τη διάμετρο, το αποτέλεσμα βγαίνει τετραπλάσιο από το σωστό.
:::

## Κυκλικός δακτύλιος

Είναι η περιοχή ανάμεσα σε δύο κύκλους· το εμβαδόν του είναι η διαφορά των εμβαδών τους:
\[
E = πR^2 - πρ^2
\]
με \(R\) την ακτίνα του μεγάλου και \(ρ\) του μικρού κύκλου. Επειδή το \(π\) υπάρχει σε όλους τους όρους, διαιρώντας με αυτό οι πράξεις απλοποιούνται.

## Σύγκριση με βάση το εμβαδόν

Για να συγκρίνεις κυκλικά αντικείμενα με διαφορετικές τιμές, βρίσκεις το εμβαδόν του καθενός και μετά το κόστος ανά τετραγωνική μονάδα (τιμή διά εμβαδόν). Συμφέρει το μικρότερο τέτοιο κόστος — όχι απαραίτητα το μεγαλύτερο αντικείμενο.

Επειδή η ακτίνα υψώνεται στο τετράγωνο, το εμβαδόν μεγαλώνει γρήγορα: με διπλάσια ακτίνα τετραπλασιάζεται, με τριπλάσια γίνεται εννιαπλάσιο.
