Ταξίδεψε στην Αρχαία Ελλάδα. Γνώρισε τον Πυθαγόρα και εξερεύνησε τα μυστικά των ορθογώνιων τριγώνων. Υπολόγισε εμβαδά, μέτρησε κύκλους, μάθε για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και δημιούργησε εντυπωσιακά τρισδιάστατα σχήματα 📐🏛️

Γεωμετρία Β' Γυμνασίου

# Εισαγωγή στις εγγεγραμμένες γωνίες

Έχεις ποτέ αναρωτηθεί γιατί τα θέατρα, όπως η Επίδαυρος, έχουν κυκλικό σχήμα; 🤔 Αυτό συμβαίνει επειδή από κάθε κάθισμα που βρίσκεται πάνω στον κύκλο, ο θεατής βλέπει τη σκηνή με την ίδια γωνία, την οποία συμβολίζουμε με \(φ\).

Οι γωνίες έχουν την κορυφή τους (δηλαδή τον θεατή) πάνω στον κύκλο, και οι δύο πλευρές τους τέμνουν τον κύκλο.

### Ορισμός εγγεγραμμένης γωνίας

Μια γωνία που την ονομάζουμε \(xΑy\), όπου η κορυφή της, το σημείο \(Α\), βρίσκεται πάνω στον κύκλο (με κέντρο \(Ο\) και ακτίνα \(ρ\)), και οι πλευρές της, \(Αx\) και \(Αy\), τέμνουν τον κύκλο, ονομάζεται :tooltip[εγγεγραμμένη γωνία]{content="Γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται πάνω στον κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο."} στον κύκλο (με κέντρο \(Ο\) και ακτίνα \(ρ\)).

Το τόξο 🌈 \(ΒΓ\) του κύκλου (με κέντρο \(Ο\) και ακτίνα \(ρ\)) που βρίσκεται μέσα στην εγγεγραμμένη γωνία ονομάζεται :tooltip[αντίστοιχο τόξο]{content="Το τόξο του κύκλου που βρίσκεται εντός μιας εγγεγραμμένης γωνίας."} της γωνίας.

Επίσης, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία \(ΒΑΓ\) "βαίνει" στο τόξο \(ΒΓ\). 😮


# Θεώρημα: Εγγεγραμμένη γωνία σε ημικύκλιο 📐

Αν σχεδιάσεις μια γωνία μέσα σε έναν κύκλο ⭕ έτσι ώστε η κορυφή της γωνίας να βρίσκεται πάνω στον κύκλο και οι δύο πλευρές της γωνίας να τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία που είναι τα άκρα μιας :tooltip[διαμέτρου]{content="Ευθεία γραμμή που περνάει από το κέντρο του κύκλου."}, τότε η γωνία αυτή είναι πάντα 90 μοίρες, δηλαδή ορθή γωνία.

Αυτό συμβαίνει επειδή η :tooltip[εγγεγραμμένη γωνία]{content="Η γωνία που είναι σχεδιασμένη μέσα στον κύκλο."} είναι ίση με το μισό της αντίστοιχης :tooltip[επίκεντρης γωνίας]{content="Η γωνία που σχηματίζεται στο κέντρο του κύκλου."}, η οποία στην περίπτωση του ημικυκλίου είναι μια ευθεία γωνία (180 μοίρες). Έτσι, \( \frac{180}{2} = 90 \) μοίρες.

Επιπλέον, κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει το ίδιο τόξο. 🎯


# Συμπεράσματα για τις εγγεγραμμένες γωνίες 📐

Οι εγγεγραμμένες γωνίες έχουν μερικές σημαντικές ιδιότητες: ✨

*   **Σχέση με την :tooltip[επίκεντρη γωνία]{content="Γωνία της οποίας η κορυφή είναι το κέντρο του κύκλου."}:** Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει το ίδιο τόξο. 🎯

*   **Γωνίες στο ίδιο τόξο:** Αν έχουμε πολλές εγγεγραμμένες γωνίες που "βλέπουν" το ίδιο τόξο σε έναν κύκλο, τότε όλες αυτές οι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. 👯

*   **Μέτρο γωνίας και τόξου:** Η τιμή (μέτρο) μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι πάντα το μισό της τιμής του τόξου που αντιστοιχεί σε αυτήν. 💯


01. Βασική Θεωρία

Τι κοινό έχουν τα καθίσματα ενός κυκλικού θεάτρου και οι γωνίες που θα μελετήσουμε, και γιατί όλοι οι θεατές βλέπουν τη σκηνή το ίδιο.

Πού συναντάμε τις εγγεγραμμένες γωνίες

Πού πρέπει να βρίσκεται η κορυφή και πού οι πλευρές μιας γωνίας για να λέγεται εγγεγραμμένη, και τι είναι το αντίστοιχο τόξο της.

Ορισμός εγγεγραμμένης γωνίας

Τι συμβαίνει όταν οι πλευρές της γωνίας φτάνουν στα άκρα μιας διαμέτρου, και ποιος υπολογισμός εξηγεί το αποτέλεσμα.

Γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο

Τρεις κανόνες που συνδέουν την εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη και με το τόξο της, και τους χρειάζεσαι σε κάθε άσκηση.

Οι ιδιότητες των εγγεγραμμένων γωνιών

# Εγγεγραμμένες Γωνίες στον Κύκλο 📐

Γωνία \(xΑy\) με κορυφή \(Α\) πάνω σε κύκλο κέντρου \(Ο\) και ακτίνας \(ρ\), της οποίας και οι δύο πλευρές τέμνουν τον κύκλο, λέγεται **εγγεγραμμένη γωνία**. Το τόξο \(ΒΓ\) που βρίσκεται μέσα στη γωνία είναι το **αντίστοιχο τόξο** της· λέμε ότι η γωνία \(ΒΑΓ\) «βαίνει» στο τόξο \(ΒΓ\).

| Ιδιότητα | Τι ισχύει |
|---|---|
| Σχέση με την :tooltip[επίκεντρη γωνία]{content="Γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου."} | Η εγγεγραμμένη είναι το **μισό** της επίκεντρης με το ίδιο τόξο |
| Ίδιο τόξο | Όσες εγγεγραμμένες βαίνουν στο ίδιο τόξο είναι **ίσες** |
| Μέτρο τόξου | Η εγγεγραμμένη είναι το **μισό** του αντίστοιχου τόξου της |

**Γωνία σε ημικύκλιο:** αν οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο στα άκρα μιας διαμέτρου, η γωνία είναι πάντα **ορθή**, γιατί η αντίστοιχη επίκεντρη είναι ευθεία γωνία:

\[
\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ
\]

:::alert{title="Μισό, όχι διπλάσιο!"}
Η εγγεγραμμένη ισούται με το **μισό** της επίκεντρης, όχι με το διπλάσιό της — και με το μισό του τόξου της, όχι με ολόκληρο.
:::

:::fact{title="Γι' αυτό τα θέατρα είναι κυκλικά"}
Επειδή όλες οι εγγεγραμμένες γωνίες στο ίδιο τόξο είναι ίσες, κάθε θεατής πάνω στον κύκλο βλέπει τη σκηνή με την ίδια γωνία \(φ\). 🎭
:::
