Εισαγωγή στην Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας 📐

Ορισμός Απέναντι και Προσκείμενης Κάθετης Πλευράς 📐

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$, όπου η γωνία $Â$ είναι 90 μοίρες, οι πλευρές έχουν ειδικά ονόματα ανάλογα με τη θέση τους σε σχέση με τις γωνίες.

• Η κάθετη πλευρά $ΑΓ$ ονομάζεται "απέναντι κάθετη πλευρά" της γωνίας $Β$. Αυτό σημαίνει ότι η πλευρά $ΑΓ$ βρίσκεται απέναντι από τη γωνία $Β$.
• Η κάθετη πλευρά $ΑΒ$ ονομάζεται "προσκείμενη κάθετη πλευρά" της γωνίας $Β$. Αυτό σημαίνει ότι η πλευρά $ΑΒ$ βρίσκεται δίπλα στη γωνία $Β$.

Αν αλλάξουμε γωνία και κοιτάξουμε τη γωνία $Γ$, τότε:

• Η πλευρά $ΑΒ$ είναι η "απέναντι" κάθετη πλευρά της γωνίας $Γ$.
• Η πλευρά $ΑΓ$ είναι η "προσκείμενη" κάθετη πλευρά της γωνίας $Γ$.

Ορισμός της Εφαπτομένης Γωνίας ✍️

Η εφαπτομένη μιας γωνίας ω είναι ένας αριθμός που μας δείχνει πόσο "κλειστή" ή "ανοιχτή" είναι η γωνία. Μπορούμε να τη βρούμε αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτός ο λόγος είναι πάντα ο ίδιος για την ίδια γωνία και τον ονομάζουμε εφαπτομένη της γωνίας ω. Την εφαπτομένη της γωνίας ω τη συμβολίζουμε με εφω.

Έτσι:
εφω = $\frac{απέναντι\ κάθετη\ πλευρά\ της\ γωνίας\ ω}{προσκείμενη\ κάθετη\ πλευρά\ της\ γωνίας\ ω}$

Για παράδειγμα, αν εφω = 0,1, αυτό σημαίνει ότι η απέναντι κάθετη πλευρά είναι το 0,1 της προσκείμενης κάθετης πλευράς.

Στους δρόμους, η εφαπτομένη της γωνίας ω ονομάζεται κλίση του δρόμου.

Σχέση Εφαπτομένης και Κλίσης Ευθείας 📈

Ας θυμηθούμε την κλίση μιας ευθείας. Όταν έχουμε μια ευθεία γραμμή που περιγράφεται από την εξίσωση $y = αx$, ο λόγος $\frac{y}{x}$ είναι πάντα ο ίδιος, ανεξάρτητα από το ποιο σημείο $A$ της ευθείας θα επιλέξουμε. Αυτός ο σταθερός αριθμός είναι ο $α$.

Αν η ευθεία $y = αx$ σχηματίζει μια γωνία $ω$ με τον άξονα $x'x$, τότε μπορούμε να φανταστούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $OAB$. Σε αυτό το τρίγωνο, η εφαπτομένη της γωνίας $ω$ (εφω) είναι ίση με $\frac{AB}{OB}$, που είναι το ίδιο με $\frac{y}{x}$, και αυτό είναι ίσο με $α$. Έτσι, $εφω = \frac{AB}{OB} = \frac{y}{x} = α$.

Συνοψίζοντας, η κλίση $α$ της ευθείας $y = αx$ είναι ακριβώς η εφαπτομένη της γωνίας $ω$ που σχηματίζει αυτή η ευθεία με τον άξονα $x'x$.

Υπολογισμός Εφαπτομένης 🧮

Για να βρούμε την εφαπτομένη μιας γωνίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν ειδικό πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αυτός ο πίνακας έχει τις εφαπτομένες για γωνίες από 1° μέχρι 89° και θα τον βρεις στο τέλος του βιβλίου σου, στη σελίδα 254.

Επίσης, σε μια επόμενη παράγραφο, θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας χρησιμοποιώντας ένα κομπιουτεράκι που λέγεται "επιστημονικός υπολογιστής τσέπης".

Εφαρμογή 1

Η "Εφαρμογή 1" αφορά ένα ορθογώνιο τρίγωνο που ονομάζεται ΑΒΓ. 📐 Γνωρίζουμε ότι η πλευρά ΒΓ (η υποτείνουσα) είναι 13 εκατοστά και η πλευρά ΑΒ είναι 5 εκατοστά.

Θέλουμε να βρούμε την εφαπτομένη των γωνιών Β και Γ. Η εφαπτομένη μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά.

Έτσι:

• $\text{εφ}B = \frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}} = \frac{AΓ}{AB}$

• $\text{εφ}Γ = \frac{AB}{AΓ}$

Για να βρούμε τις εφαπτομένες, πρέπει πρώτα να βρούμε το μήκος της πλευράς ΑΓ. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο λέει ότι $ΑΒ^2 + ΑΓ^2 = ΒΓ^2$.

Αντικαθιστώντας τις τιμές που γνωρίζουμε, έχουμε:

$5^2 + ΑΓ^2 = 13^2$

$25 + ΑΓ^2 = 169$

$ΑΓ^2 = 169 - 25 = 144$

$ΑΓ = \sqrt{144} = 12$ εκατοστά.

✨ Υπολογισμός των εφαπτομένων:

• $\text{εφ}B = \frac{AΓ}{AB} = \frac{12}{5}$

• $\text{εφ}Γ = \frac{AB}{AΓ} = \frac{5}{12} \ 🎉$

Εφαρμογή 2: Σχεδίαση Γωνίας με Γνωστή Εφαπτομένη ✍️

Πώς να σχεδιάσεις μια γωνία ω, όταν γνωρίζεις την εφαπτομένη της (εφω);

Έστω εφω = $\frac{1}{5}$.

1. Κατασκεύασε μια ορθή γωνία.
2. Σχεδίασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπου η μία κάθετη πλευρά είναι 1 και η άλλη κάθετη πλευρά είναι 5.
3. Η γωνία ω είναι η οξεία γωνία που σχηματίζεται από την υποτείνουσα και την κάθετη πλευρά με μήκος 5.

Έτσι, για τη γωνία ω που σχεδίασες, ισχύει:

$εφω = \frac{AB}{ΑΓ} = \frac{1}{5}$