Ταξίδεψε στην Αρχαία Ελλάδα. Γνώρισε τον Πυθαγόρα και εξερεύνησε τα μυστικά των ορθογώνιων τριγώνων. Υπολόγισε εμβαδά, μέτρησε κύκλους, μάθε για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και δημιούργησε εντυπωσιακά τρισδιάστατα σχήματα 📐🏛️

Γεωμετρία Β' Γυμνασίου

# Ορισμός απέναντι και προσκείμενης κάθετης πλευράς

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), όπου η γωνία \(Â\) είναι 90 μοίρες, οι πλευρές έχουν ειδικά ονόματα ανάλογα με τη θέση τους σε σχέση με τις γωνίες.📐

*   Η κάθετη πλευρά \(ΑΓ\) ονομάζεται "απέναντι κάθετη πλευρά" της γωνίας \(Β\). Αυτό σημαίνει ότι η πλευρά \(ΑΓ\) βρίσκεται :tooltip[απέναντι]{content="Η πλευρά που βρίσκεται στην άλλη πλευρά της γωνίας."} από τη γωνία \(Β\).
*   Η κάθετη πλευρά \(ΑΒ\) ονομάζεται "προσκείμενη κάθετη πλευρά" της γωνίας \(Β\). Αυτό σημαίνει ότι η πλευρά \(ΑΒ\) βρίσκεται δίπλα στη γωνία \(Β\).
    
Αν αλλάξουμε γωνία και κοιτάξουμε τη γωνία \(Γ\), τότε: 👀

*   Η πλευρά \(ΑΒ\) είναι η "απέναντι" κάθετη πλευρά της γωνίας \(Γ\).
*   Η πλευρά \(ΑΓ\) είναι η "προσκείμενη" κάθετη πλευρά της γωνίας \(Γ\). 👍


# Δραστηριότητα 1


Έχουμε ένα δρόμο που ανηφορίζει και μια πινακίδα που δείχνει ότι η ανηφοριά είναι 10%. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε 100 μέτρα οριζόντιας απόστασης, ο δρόμος ανεβαίνει 10 μέτρα. 📈

Έχουμε τρία σημεία στο δρόμο: Α, Β και Γ. Για κάθε σημείο, μετράμε την οριζόντια απόσταση από το σημείο Ο (OA, OB, ΟΓ) και το ύψος που ανεβαίνουμε (ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ).

Παρατηρούμε ότι:
*   BE = 10
*   ΓΖ = 15

Υπολογίζουμε τους λόγους (δηλαδή τα :tooltip[πηλίκα]{content="Το αποτέλεσμα της διαίρεσης δύο αριθμών."}) του ύψους προς την οριζόντια απόσταση για κάθε σημείο:
*   \( \frac{OA}{ΑΔ} = \frac{5}{50} = 0,1 \)
*   \( \frac{OB}{BE} = \frac{10}{100} = 0,1 \)
*   \( \frac{ΟΓ}{ΓΖ} = \frac{15}{150} = 0,1 \)

Παρατηρούμε ότι όλοι οι λόγοι είναι ίσοι με 0,1. 😮

Αν ονομάσουμε ω τη γωνία που σχηματίζει ο ανηφορικός δρόμος με το οριζόντιο επίπεδο, τότε οι λόγοι \( \frac{ΑΔ}{OA} \), \( \frac{BE}{OB} \), \( \frac{ΓΖ}{ΟΓ} \) και γενικά ο λόγος \( \frac{Ύψος}{οριζόντια\ απόσταση} \) είναι ίδιος για όλα τα σημεία. Αυτό σημαίνει ότι η :tooltip[κλίση]{content="Η γωνία ή η απότομη αλλαγή ύψους σε μια επιφάνεια."} του δρόμου είναι σταθερή. 💯


# Ορισμός της εφαπτομένης γωνίας 📐

Η :tooltip[εφαπτομένη]{content="Αριθμός που δείχνει πόσο 'κλειστή' ή 'ανοιχτή' είναι μια γωνία."} μιας γωνίας ω είναι ένας αριθμός που μας δείχνει πόσο "κλειστή" ή "ανοιχτή" είναι η γωνία. Μπορούμε να τη βρούμε αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας ω σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αυτός ο λόγος είναι πάντα ο ίδιος για την ίδια γωνία και τον ονομάζουμε εφαπτομένη της γωνίας ω. Την εφαπτομένη της γωνίας ω τη συμβολίζουμε με εφω.

Έτσι:
εφω = \( \frac{απέναντι\ κάθετη\ πλευρά\ της\ γωνίας\ ω}{προσκείμενη\ κάθετη\ πλευρά\ της\ γωνίας\ ω} \)

Για παράδειγμα, αν εφω = 0,1, αυτό σημαίνει ότι η απέναντι κάθετη πλευρά είναι το 0,1 της προσκείμενης κάθετης πλευράς.

Στους δρόμους, η εφαπτομένη της γωνίας ω ονομάζεται :tooltip[κλίση]{content="Η εφαπτομένη της γωνίας ω σε έναν δρόμο."} του δρόμου. 🛣️

Επίσης, η κλίση α της ευθείας με εξίσωση y = αx είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας ω, που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x'x. Δηλαδή, εφω = \( \frac{y}{x} \) = α.

Για να βρούμε την εφαπτομένη μιας γωνίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πίνακες τριγωνομετρικών αριθμών ή έναν επιστημονικό υπολογιστή τσέπης. 🧮


# Σχέση εφαπτομένης και κλίσης ευθείας 📐

Ας θυμηθούμε την κλίση μιας ευθείας. Όταν έχουμε μια ευθεία γραμμή που περιγράφεται από την εξίσωση \(y = αx\), ο λόγος \(\frac{y}{x}\) είναι πάντα ο ίδιος, ανεξάρτητα από το ποιο σημείο \(A\) της ευθείας θα επιλέξουμε. Αυτός ο σταθερός αριθμός είναι ο \(α\).

Αν η ευθεία \(y = αx\) σχηματίζει μια γωνία \(ω\) με τον άξονα \(x'x\), τότε μπορούμε να φανταστούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \(OAB\). Σε αυτό το τρίγωνο, η :tooltip[εφαπτομένη]{content="Η εφαπτομένη μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά."} της γωνίας \(ω\) (εφω) είναι ίση με \(\frac{AB}{OB}\), που είναι το ίδιο με \(\frac{y}{x}\), και αυτό είναι ίσο με \(α\).  Έτσι, \(εφω = \frac{AB}{OB} = \frac{y}{x} = α\).

Συνοψίζοντας, η κλίση \(α\) της ευθείας \(y = αx\) είναι ακριβώς η εφαπτομένη της γωνίας \(ω\) που σχηματίζει αυτή η ευθεία με τον άξονα \(x'x\). 🤩


# Υπολογισμός εφαπτομένης

Για να βρούμε την :tooltip[εφαπτομένη]{content="Τριγωνομετρική συνάρτηση που ορίζεται ως ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο μιας γωνίας."} μιας γωνίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε έναν ειδικό πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Αυτός ο πίνακας έχει τις εφαπτομένες για γωνίες από 1° μέχρι 89° και θα τον βρεις στο τέλος του βιβλίου σου, στη σελίδα 254. 📚

Επίσης, σε μια επόμενη παράγραφο, θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας χρησιμοποιώντας ένα κομπιουτεράκι που λέγεται "επιστημονικός υπολογιστής τσέπης". 🧮✨


# Εφαρμογή 1

Η "Εφαρμογή 1" αφορά ένα :tooltip[ορθογώνιο τρίγωνο]{content="Ένα τρίγωνο με μία γωνία 90 μοιρών."} που ονομάζεται ΑΒΓ. 📐 Γνωρίζουμε ότι η πλευρά ΒΓ (η :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο."}) είναι 13 εκατοστά και η πλευρά ΑΒ είναι 5 εκατοστά.

Θέλουμε να βρούμε την :tooltip[εφαπτομένη]{content="Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά."} των γωνιών Β και Γ. Η εφαπτομένη μιας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά.

Έτσι:
- \(
\text{εφ}B = \frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}} = \frac{AΓ}{AB}
\)

- \(
\text{εφ}Γ = \frac{AB}{AΓ}
\)

Για να βρούμε τις εφαπτομένες, πρέπει πρώτα να βρούμε το μήκος της πλευράς ΑΓ. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το :tooltip[Πυθαγόρειο θεώρημα]{content="Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών."}, το οποίο λέει ότι \(ΑΒ^2 + ΑΓ^2 = ΒΓ^2\).

Αντικαθιστώντας τις τιμές που γνωρίζουμε, έχουμε:

\(5^2 + ΑΓ^2 = 13^2\)

\(25 + ΑΓ^2 = 169\)

\(ΑΓ^2 = 169 - 25 = 144\)

\(ΑΓ = \sqrt{144} = 12\) εκατοστά.

### ✨ Υπολογισμός των εφαπτομένων:

- \(
\text{εφ}B = \frac{AΓ}{AB} = \frac{12}{5}
\)

- \(
\text{εφ}Γ = \frac{AB}{AΓ} = \frac{5}{12} \ 🎉
\)


# Εφαρμογή 2

Η "Εφαρμογή 2" εξηγεί πώς να σχεδιάσεις μια γωνία ω, όταν γνωρίζεις την :tooltip[εφαπτομένη]{content="Η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά."} της (εφω).

**Πώς να σχεδιάσεις τη γωνία ω, όταν εφω = 1/5;** 🤔

1.  **Κατασκεύασε μια ορθή γωνία.** 📐
2.  **Μέτρησε τις πλευρές:** Σχεδίασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, όπου η μία κάθετη πλευρά είναι 1 και η άλλη κάθετη πλευρά είναι 5. 📏
3.  **Κατασκεύασε το τρίγωνο:** Η γωνία ω είναι η οξεία γωνία που σχηματίζεται από την :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο."} και την κάθετη πλευρά με μήκος 5.

Έτσι, για τη γωνία ω που σχεδίασες, ισχύει:

\(εφω = \frac{AB}{ΑΓ} = \frac{1}{5}\) 🎉


01. Βασική Θεωρία

Πώς ονομάζονται οι δύο κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και γιατί το όνομά τους αλλάζει μόλις αλλάξεις γωνία αναφοράς.

Απέναντι και προσκείμενη κάθετη πλευρά

Ποιος λόγος πλευρών κρύβεται πίσω από το εφω και γιατί βγαίνει πάντα ο ίδιος αριθμός για την ίδια γωνία.

Ο ορισμός της εφαπτομένης

Τι κοινό έχει η κλίση της ευθείας y ίσον αx με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον οριζόντιο άξονα.

Εφαπτομένη και κλίση ευθείας

Με ποια εργαλεία βρίσκουμε την αριθμητική τιμή της εφαπτομένης μιας γωνίας, χωρίς να μετρήσουμε καμία πλευρά.

Υπολογισμός της εφαπτομένης

Η αντίστροφη πορεία, δηλαδή πώς σχεδιάζεις μια γωνία όταν σου δίνουν μόνο την εφαπτομένη της, και πού χρειάζεται το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Από την εφαπτομένη στη γωνία

# Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας 📐

## Απέναντι και προσκείμενη κάθετη πλευρά

Σε ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με ορθή τη γωνία \(Α\), απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας είναι αυτή που βρίσκεται αντίκρυ της· προσκείμενη, η κάθετη πλευρά που ακουμπά δίπλα της.

| Γωνία | Απέναντι κάθετη | Προσκείμενη κάθετη |
|---|---|---|
| \(Β\) | \(ΑΓ\) | \(ΑΒ\) |
| \(Γ\) | \(ΑΒ\) | \(ΑΓ\) |

:::alert{title="Οι ρόλοι αλλάζουν με τη γωνία!"}
Καμία πλευρά δεν είναι «για πάντα» απέναντι ή προσκείμενη: η \(ΑΓ\) είναι απέναντι της \(Β\) αλλά προσκείμενη της \(Γ\). Όρισε πρώτα ποια γωνία κοιτάς. Και η υποτείνουσα δεν μπαίνει ποτέ στον τύπο της εφαπτομένης.
:::

## Ορισμός ✍️

Η :tooltip[εφαπτομένη]{content="Ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο."} μιας οξείας γωνίας \(ω\) δείχνει πόσο «κλειστή» ή «ανοιχτή» είναι, συμβολίζεται \(εφω\) και ορίζεται:

\[
εφω = \frac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά της } ω}{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά της } ω}
\]

Ο λόγος είναι **σταθερός**: για την ίδια γωνία δίνει πάντα το ίδιο αποτέλεσμα, σε όποιο ορθογώνιο τρίγωνο κι αν υπολογιστεί. Διαβάζεται ως αναλογία — \(εφω = 0,1\) σημαίνει ότι η απέναντι κάθετη πλευρά είναι το \(0,1\) της προσκείμενης.

:::fact{title="Την έχεις δει σε πινακίδα!"}
Στους δρόμους η εφαπτομένη της γωνίας ανηφόρας λέγεται **κλίση** του δρόμου.
:::

## Εφαπτομένη και κλίση ευθείας 📈

Στην ευθεία \(y = αx\) ο λόγος \(\frac{y}{x}\) είναι ο ίδιος για κάθε σημείο της και ισούται με \(α\). Αν η ευθεία σχηματίζει γωνία \(ω\) με τον άξονα \(x'x\), το ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει δίνει \(εφω = \frac{y}{x} = α\). Άρα η κλίση \(α\) της ευθείας \(y = αx\) είναι ακριβώς η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει με τον άξονα \(x'x\).

## Υπολογισμός και αντίστροφη πορεία 🧮

Την τιμή της εφαπτομένης τη διαβάζουμε από πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών, με γωνίες από \(1°\) έως \(89°\), ή τη βρίσκουμε με επιστημονικό υπολογιστή τσέπης.

Αντίστροφα, από γνωστή εφαπτομένη σχεδιάζουμε τη γωνία: ορθή γωνία και ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τον αριθμητή και τον παρονομαστή του λόγου· η \(ω\) είναι η οξεία γωνία ανάμεσα στην υποτείνουσα και στην προσκείμενη πλευρά. Αν λείπει κάθετη πλευρά, τη βρίσκουμε πρώτα με το :tooltip[Πυθαγόρειο θεώρημα]{content="Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών."}.
