Εισαγωγή στις Εξισώσεις Δευτέρου Βαθμού 📚

Γενική μορφή και ορισμοί εξίσωσης δευτέρου βαθμού 📝

Όταν λύνουμε προβλήματα, συχνά καταλήγουμε σε εξισώσεις με έναν άγνωστο αριθμό $x$, όπου η μεγαλύτερη δύναμη του $x$ είναι το 2. Αυτές είναι οι εξισώσεις 2ου βαθμού.

Η γενική μορφή μιας εξίσωσης 2ου βαθμού είναι:

$αx^2 + βx + γ = 0$, όπου $α ≠ 0$ ☝️.

Οι αριθμοί $α$, $β$ και $γ$ είναι οι συντελεστές της εξίσωσης, με τον $γ$ να είναι ο σταθερός όρος.

Παραδείγματα:

• Στην εξίσωση $x^2 - 9 = 0$, $α = 1$, $β = 0$ και $γ = -9$.
• Στην εξίσωση $x^2 - 3x = 0$, $α = 1$, $β = -3$ και $γ = 0$.
• Στην εξίσωση $x^2 + 15x - 16 = 0$, $α = 1$, $β = 15$ και $γ = -16$.

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 🧩

Μπορούμε να λύσουμε εξισώσεις δευτέρου βαθμού χρησιμοποιώντας την ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων.

Επίλυση εξίσωσης της μορφής $αx^2 + βx = 0$ με $α ≠ 0$

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση $x^2 = 3x$:

1. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος: $x^2 - 3x = 0$.
2. Αναλύουμε σε γινόμενο παραγόντων: $x(x - 3) = 0$.
3. Ένα γινόμενο είναι μηδέν όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν: $x = 0$ ή $x - 3 = 0$.
4. Λύνουμε για το $x$:
   • Αν $x = 0$, τότε $x = 0$.
   • Αν $x - 3 = 0$, τότε $x = 3$.

Άρα, οι λύσεις είναι $x = 0$ και $x = 3$.

Επίλυση εξίσωσης της μορφής $αx^2 + γ = 0$ με $α ≠ 0$

Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση $x^2 - 9 = 0$:

1. Παρατηρούμε ότι έχουμε διαφορά τετραγώνων: $x^2 - 3^2 = 0$.
2. Αναλύουμε σε γινόμενο παραγόντων: $(x - 3)(x + 3) = 0$.
3. Ένα γινόμενο είναι μηδέν όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν: $x - 3 = 0$ ή $x + 3 = 0$.
4. Λύνουμε για το $x$:
   • Αν $x - 3 = 0$, τότε $x = 3$.
   • Αν $x + 3 = 0$, τότε $x = -3$.

Άρα, οι λύσεις είναι $x = 3$ και $x = -3$.

Επίλυση εξισώσεων της μορφής $αx^2 + βx + γ = 0$ 💡

Σε αυτή την ενότητα, θα δούμε πώς να λύνουμε εξισώσεις της μορφής $αx^2 + βx + γ = 0$ με $α ≠ 0$.

Παράδειγμα 1:

Έστω η εξίσωση $9x^2 - 6x + 1 = 0$.

1. Αναγνωρίζουμε ότι το πρώτο μέρος είναι ανάπτυγμα τετραγώνου: $(3x - 1)^2 = 0$.
2. Άρα, $3x - 1 = 0$.
3. Λύνουμε για το $x$: $x = \frac{1}{3}$.

Η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, την $x = \frac{1}{3}$.

Παράδειγμα 2:

Έστω η εξίσωση $x^2 + 15x - 16 = 0$. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου:

1. Πολλαπλασιάζουμε με $4α$ (στην περίπτωσή μας, $α = 1$): $4x^2 + 60x - 64 = 0$.
2. Μεταφέρουμε τον σταθερό όρο: $4x^2 + 60x = 64$.
3. Συμπληρώνουμε το τετράγωνο: $(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 15 + 15^2 = 64 + 15^2$.
4. Απλοποιούμε: $(2x + 15)^2 = 289$.
5. Λύνουμε: $2x + 15 = \sqrt{289}$ ή $2x + 15 = -\sqrt{289}$.
6. Βρίσκουμε τις λύσεις: $x = 1$ ή $x = -16$.

Παραδείγματα - Εφαρμογές (Επιλυμένες ασκήσεις) ✍️

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για να κατανοήσουμε καλύτερα τις εξισώσεις.

Παράδειγμα 1:

• α) $2x^2 = 7x$
  • $2x^2 - 7x = 0$
  • $x(2x - 7) = 0$
  • $x = 0$ ή $2x - 7 = 0$
  • $x = 0$ ή $x = \frac{7}{2}$
• β) $3x^2 - 75 = 0$
  • $3x^2 = 75$
  • $x^2 = 25$
  • $x = 5$ ή $x = -5$
• γ) $2x^2 + 8 = 0$
  • $2x^2 = -8$
  • $x^2 = -4$
  • Δεν έχει λύση.

Παράδειγμα 2:

$x^2(2x - 1) - 6x(2x - 1) + 9(2x - 1) = 0$

• $(2x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0$
• $(2x - 1)(x - 3)^2 = 0$
• $2x - 1 = 0$ ή $x - 3 = 0$
• $x = \frac{1}{2}$ ή $x = 3$ (διπλή λύση).

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου ➗

Ας δούμε πώς να λύνουμε εξισώσεις δευτέρου βαθμού χρησιμοποιώντας έναν τύπο.

Ορίζουμε τη διακρίνουσα: $Δ = β^2 – 4αγ$.

• Αν $Δ > 0$, $x = \frac{-β + \sqrt{Δ}}{2α}$ και $x = \frac{-β - \sqrt{Δ}}{2α}$.
• Αν $Δ = 0$, $x = -\frac{β}{2α}$.
• Αν $Δ < 0$, δεν έχει λύση.

Παραδείγματα - Εφαρμογές (Επιλυμένες ασκήσεις) ✍️

Παράδειγμα 1:

Λύνουμε τις εξισώσεις:

• α) $2x^2 + 5x + 3 = 0$
• β) $6x^2 - 5x + 2 = 0$
• γ) $-16x^2 + 8x - 1 = 0$

Για την πρώτη εξίσωση, $α = 2$, $β = 5$, $γ = 3$. $Δ = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1$. Επειδή $Δ > 0$, $x = \frac{-5 \pm 1}{4}$, άρα $x = -1$ ή $x = -\frac{3}{2}$.

Για τη δεύτερη εξίσωση, $α = 6$, $β = -5$, $γ = 2$. $Δ = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = -23$. Επειδή $Δ < 0$, δεν έχει λύση.

Για την τρίτη εξίσωση, $α = -16$, $β = 8$, $γ = -1$. $Δ = 8^2 - 4 \cdot (-16) \cdot (-1) = 0$. Επειδή $Δ = 0$, $x = \frac{-8}{2 \cdot (-16)} = \frac{1}{4}$.

Παράδειγμα 2:

Λύνουμε τις εξισώσεις:

• α) $9x^2 - (5x - 1)^2 = 2x$
• β) $\frac{x(x + 3)}{3} - \frac{x - 6}{6} = \frac{1}{2}$

Η πρώτη εξίσωση απλοποιείται σε $-16x^2 + 8x - 1 = 0$, με λύση $x = \frac{1}{4}$.

Η δεύτερη εξίσωση απλοποιείται σε $2x^2 + 5x + 3 = 0$, με λύσεις $x = -1$ ή $x = -\frac{3}{2}$.

Παράδειγμα 3:

• α) Λύνουμε την εξίσωση $2x^2 - 8x + 6 = 0$.
• β) Παραγοντοποιούμε το τριώνυμο $2x^2 - 8x + 6$.

Για την εξίσωση, $α = 2$, $β = -8$, $γ = 6$. $Δ = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 16$. Επειδή $Δ > 0$, $x = \frac{8 \pm 4}{4}$, άρα $x = 3$ ή $x = 1$.

Για την παραγοντοποίηση, $2x^2 - 8x + 6 = 2(x^2 - 4x + 3) = 2(x - 3)(x - 1)$.

Παραγοντοποίηση τριωνύμου 🧩

Η παραγοντοποίηση τριωνύμου είναι ένας τρόπος να γράψουμε ένα τριώνυμο ως γινόμενο δύο παραγόντων.

Αν έχουμε $αx^2 + βx + γ = 0$ και τις λύσεις $ρ_1$ και $ρ_2$, τότε:

$αx^2 + βx + γ = a(x – ρ_1)(x - ρ_2)$

Παραγοντοποίηση τριωνύμου - Παραδείγματα 📝

Γενικά:

Αν έχουμε μια εξίσωση $αx^2 + βx + γ = 0$, όπου το $α$ δεν είναι 0, και γνωρίζουμε τις λύσεις $ρ_1$ και $ρ_2$, τότε μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο $αx^2 + βx + γ$ χρησιμοποιώντας τον τύπο:

$αx^2 + βx + γ = α(x – ρ_1)(x - ρ_2)$

Παράδειγμα:

Έστω η εξίσωση $2x^2 + 5x + 3 = 0$. Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι $-1$ και $- \frac{3}{2}$.

Άρα, το τριώνυμο $2x^2 + 5x + 3$ μπορεί να γραφτεί ως:

$2x^2 + 5x + 3 = 2[x - (-1)][x - (-\frac{3}{2})] = 2(x + 1)(x + \frac{3}{2})$

Άλλο παράδειγμα:

Έστω η εξίσωση $-16x^2 + 8x - 1 = 0$. Αυτή η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, η οποία είναι $x = \frac{1}{4}$.

Άρα, το τριώνυμο $-16x^2 + 8x - 1$ μπορεί να γραφτεί ως:

$-16x^2 + 8x - 1 = -16(x - \frac{1}{4})(x - \frac{1}{4}) = -16(x - \frac{1}{4})^2$