Προσπαθούν να κρυφτούν. Εσύ πρέπει να ανακαλύψεις τις πραγματικές τους ταυτότητες. Νομίζεις ότι μπορείς να τα καταφέρεις; Γίνε ο καλύτερος κατάσκοπος με την βοήθεια της άλγεβρας 🕵🏻‍♂️

Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

# Γενική μορφή και ορισμοί εξίσωσης δευτέρου βαθμού

Μερικές φορές, όταν λύνουμε προβλήματα, καταλήγουμε σε μια ειδική εξίσωση. Αυτή η εξίσωση έχει έναν άγνωστο αριθμό (συνήθως τον λέμε "x"), και η μεγαλύτερη :tooltip[δύναμη]{content="Ο εκθέτης του άγνωστου."} (εκθέτης) του άγνωστου είναι το 2. Αυτή την εξίσωση την ονομάζουμε εξίσωση 2ου βαθμού. 🧐

Μια εξίσωση 2ου βαθμού με άγνωστο το "x" έχει γενική μορφή:

\(αx^2 + βx + γ = 0\), όπου το \(α\) δεν είναι 0.

Οι αριθμοί \(α\), \(β\) και \(γ\) ονομάζονται :tooltip[συντελεστές]{content="Οι αριθμητικές τιμές που πολλαπλασιάζονται με τις μεταβλητές στην εξίσωση."} της εξίσωσης. Ο αριθμός \(γ\) λέγεται επίσης σταθερός όρος.

Για παράδειγμα:

*   Στην εξίσωση \(x^2 - 9 = 0\), το \(α = 1\), το \(β = 0\) και το \(γ = -9\).
*   Στην εξίσωση \(x^2 - 3x = 0\), το \(α = 1\), το \(β = -3\) και το \(γ = 0\).
*   Στην εξίσωση \(x^2 + 15x - 16 = 0\), το \(α = 1\), το \(β = 15\) και το \(γ = -16\).

Κάθε αριθμός που κάνει την εξίσωση 2ου βαθμού να είναι αληθής ονομάζεται :tooltip[λύση]{content="Η τιμή της μεταβλητής που ικανοποιεί την εξίσωση."} ή ρίζα της εξίσωσης. 🎉


# Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 🧮

Για να λύσουμε εξισώσεις δευτέρου βαθμού, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων. 🤔

**Επίλυση εξίσωσης της μορφής \(αx^2 + βx = 0\) με \(α ≠ 0\)**

Ας δούμε πώς λύνουμε μια εξίσωση όπως \(x^2 = 3x\):

1.  Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, έτσι ώστε να έχουμε \(x^2 - 3x = 0\). ➡️
2.  Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων. Στην περίπτωση αυτή, βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(x\), οπότε έχουμε \(x(x - 3) = 0\). ➗
3.  Ένα γινόμενο είναι ίσο με το μηδέν, μόνο όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Άρα, \(x = 0\) ή \(x - 3 = 0\). 💡
4.  Λύνουμε για το \(x\) σε κάθε περίπτωση:
    *   Αν \(x = 0\), τότε \(x = 0\). ✅
    *   Αν \(x - 3 = 0\), τότε \(x = 3\). ✅

Έτσι, η εξίσωση έχει δύο λύσεις: \(x = 0\) και \(x = 3\). 🎉

**Επίλυση εξίσωσης της μορφής \(αx^2 + γ = 0\) με \(α ≠ 0\)**

Ας δούμε πώς λύνουμε μια εξίσωση όπως \(x^2 - 9 = 0\):

1.  Παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος είναι :tooltip[διαφορά τετραγώνων]{content="Έκφραση της μορφής a² - b², η οποία αναλύεται σε (a - b)(a + b)."} (\(x^2 - 3^2\)) και το δεύτερο μέλος είναι μηδέν. 🧐
2.  Αναλύουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων χρησιμοποιώντας την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων: \((x - 3)(x + 3) = 0\). ➗
3.  Ένα γινόμενο είναι ίσο με το μηδέν, μόνο όταν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Άρα, \(x - 3 = 0\) ή \(x + 3 = 0\). 💡
4.  Λύνουμε για το \(x\) σε κάθε περίπτωση:
    *   Αν \(x - 3 = 0\), τότε \(x = 3\). ✅
    *   Αν \(x + 3 = 0\), τότε \(x = -3\). ✅

Έτσι, η εξίσωση έχει δύο λύσεις: \(x = 3\) και \(x = -3\). 🎉

:::fact{title="Να θυμάσαι"}
Αν έχουμε \(α · β = 0\), τότε είτε \(α = 0\) είτε \(β = 0\). Αυτό μας βοηθά να βρίσκουμε τις λύσεις όταν έχουμε ένα γινόμενο που ισούται με το μηδέν. 👍
:::




# Επίλυση εξισώσεων της μορφής \(αx^2 + βx + γ = 0\) 🧮

Στην ενότητα "Επίλυση εξίσωσης της μορφής \(αx^2 + βx + γ = 0\) με \(α ≠ 0\)", εξηγείται ένας τρόπος για να λύσουμε εξισώσεις που έχουν αυτή τη μορφή.

Για να λύσουμε την εξίσωση \(9x^2 - 6x + 1 = 0\), ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1.  Αναγνωρίζουμε ότι το πρώτο μέρος της εξίσωσης (\(9x^2 - 6x + 1\)) είναι ανάπτυγμα τετραγώνου, σύμφωνα με την :tooltip[ταυτότητα]{content="Μια εξίσωση που είναι αληθής για όλες τις τιμές των μεταβλητών."} \(α^2 - 2αβ + β^2 = (α - β)^2\).
2.  Παρατηρούμε ότι \((3x - 1)^2 = 0\) μόνο όταν \(3x - 1 = 0\).
3.  Λύνουμε την εξίσωση \(3x - 1 = 0\) βρίσκοντας ότι \(x = \frac{1}{3}\).

Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, την \(x = \frac{1}{3}\).


# Παραδείγματα - Εφαρμογές (Επιλυμένες ασκήσεις)



Σε αυτό το τμήμα, βλέπουμε μερικά παραδείγματα και ασκήσεις που έχουν λυθεί, για να κατανοήσουμε καλύτερα τις εξισώσεις. 📚

### **Παράδειγμα 1:**

Μας δίνει τρεις εξισώσεις και μας δείχνει πώς να τις λύσουμε:

*   **α) \(2x^2 = 7x\)**
    *   Πρώτα, μεταφέρουμε όλα τα μέλη στην ίδια πλευρά: \(2x^2 - 7x = 0\)
    *   Μετά, βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(x\): \(x(2x - 7) = 0\)
    *   Έτσι, είτε \(x = 0\) είτε \(2x - 7 = 0\).
    *   Αν \(2x - 7 = 0\), τότε \(x = \frac{7}{2}\).
    *   Άρα, οι λύσεις είναι \(x = 0\) ή \(x = \frac{7}{2}\).
*   **β) \(3x^2 - 75 = 0\)**
    *   Προσθέτουμε 75 και στα δύο μέλη: \(3x^2 = 75\)
    *   Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 3: \(x^2 = 25\)
    *   Άρα, \(x = \sqrt{25}\) ή \(x = -\sqrt{25}\), που σημαίνει \(x = 5\) ή \(x = -5\).
*   **γ) \(2x^2 + 8 = 0\)**
    *   Αφαιρούμε 8 και από τα δύο μέλη: \(2x^2 = -8\)
    *   Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 2: \(x^2 = -4\)
    *   Δεν υπάρχει λύση, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό του, να μας δώσει αρνητικό αποτέλεσμα. 😥

### **Παράδειγμα 2:**

Μας δίνει την εξίσωση \(x^2(2x - 1) - 6x(2x - 1) + 9(2x - 1) = 0\) και μας δείχνει πώς να τη λύσουμε:

*   Βγάζουμε κοινό παράγοντα το \((2x - 1)\), άρα: \((2x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0\)
*   Παρατηρούμε ότι ο δεύτερος παράγοντας \((x^2 - 6x + 9)\) είναι :tooltip[ανάπτυγμα τετραγώνου]{content="Μια αλγεβρική έκφραση που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό ενός διωνύμου με τον εαυτό του."}, συγκεκριμένα \((x - 3)^2\). 🤓
*   Έτσι, η εξίσωση γίνεται \((2x - 1)(x - 3)^2 = 0\)
*   Άρα, είτε \(2x - 1 = 0\) είτε \(x - 3 = 0\).
*   Αν \(2x - 1 = 0\), τότε \(x = \frac{1}{2}\).
*   Αν \(x - 3 = 0\), τότε \(x = 3\) (διπλή λύση). 🎉


# Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου 🧮

Ας δούμε πώς μπορούμε να λύσουμε εξισώσεις δευτέρου βαθμού χρησιμοποιώντας έναν τύπο. 💡

Ξεκινάμε με μια εξίσωση δευτέρου βαθμού στη γενική μορφή: \(αx^2 + βx + γ = 0\), όπου το \(α\) δεν είναι μηδέν.


Τώρα, ορίζουμε μια σημαντική παράσταση που ονομάζεται :tooltip[διακρίνουσα]{content="Η διακρίνουσα είναι μια μαθηματική παράσταση που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει τον αριθμό και τον τύπο των λύσεων μιας πολυωνυμικής εξίσωσης."} και τη συμβολίζουμε με το γράμμα Δ. Η διακρίνουσα είναι: \(Δ = β^2 – 4αγ\).

Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας Δ, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

*   Αν \(Δ > 0\), τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις, οι οποίες είναι: \(x = \frac{-β + \sqrt{Δ}}{2α}\) και \(x = \frac{-β - \sqrt{Δ}}{2α}\).

*   Αν \(Δ = 0\), τότε η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, η οποία είναι: \(x = -\frac{β}{2α}\).

*   Αν \(Δ < 0\), τότε η εξίσωση δεν έχει λύση. 😥


# Παραδείγματα - Εφαρμογές (Επιλυμένες ασκήσεις) 🧮

Αυτή η σελίδα περιέχει παραδείγματα και εφαρμογές για την επίλυση εξισώσεων. 🚀

### **Παράδειγμα 1:**

Πρέπει να λύσουμε τρεις εξισώσεις δευτέρου βαθμού:
*   α) \(2x^2 + 5x + 3 = 0\)
*   β) \(6x^2 - 5x + 2 = 0\)
*   γ) \(-16x^2 + 8x - 1 = 0\)

Για την πρώτη εξίσωση \(2x^2 + 5x + 3 = 0\), βρίσκουμε ότι \(α = 2\), \(β = 5\), και \(γ = 3\). Υπολογίζουμε τη :tooltip[διακρίνουσα]{content="Η διακρίνουσα (Δ) είναι μια έκφραση που χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει τον αριθμό και τη φύση των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού."} \(Δ\) ως \(Δ = β^2 - 4αγ = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1\). Επειδή \(Δ > 0\), η εξίσωση έχει δύο λύσεις, οι οποίες είναι \(x = \frac{-β \pm \sqrt{Δ}}{2α}\). Έτσι, \(x = \frac{-5 \pm 1}{4}\), που σημαίνει ότι \(x = -1\) ή \(x = -\frac{3}{2}\).

Για τη δεύτερη εξίσωση \(6x^2 - 5x + 2 = 0\), βρίσκουμε ότι \(α = 6\), \(β = -5\), και \(γ = 2\). Η διακρίνουσα είναι \(Δ = β^2 - 4αγ = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = -23\). Επειδή \(Δ < 0\), η εξίσωση δεν έχει λύση.

Για την τρίτη εξίσωση \(-16x^2 + 8x - 1 = 0\), βρίσκουμε ότι \(α = -16\), \(β = 8\), και \(γ = -1\). Η διακρίνουσα είναι \(Δ = β^2 - 4αγ = 8^2 - 4 \cdot (-16) \cdot (-1) = 0\). Επειδή \(Δ = 0\), η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, η οποία είναι \(x = \frac{-β}{2α} = \frac{1}{4}\).

### **Παράδειγμα 2:**

Πρέπει να λύσουμε τις εξισώσεις:
*   α) \(9x^2 - (5x - 1)^2 = 2x\)
*   β) \(\frac{x(x + 3)}{3} - \frac{x - 6}{6} = \frac{1}{2}\)

Για την πρώτη εξίσωση, απλοποιούμε και καταλήγουμε στην εξίσωση \(-16x^2 + 8x - 1 = 0\), η οποία έχει λύση \(x = \frac{1}{4}\) (διπλή λύση), όπως στο παράδειγμα 1γ.

Για τη δεύτερη εξίσωση, πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέρη με το 6 για να απαλλαγούμε από τους παρονομαστές. Μετά από απλοποίηση, καταλήγουμε στην εξίσωση \(2x^2 + 5x + 3 = 0\), η οποία έχει λύσεις \(x = -1\) ή \(x = -\frac{3}{2}\), όπως στο παράδειγμα 1α.

### **Παράδειγμα 3:**

*   α) Να λυθεί η εξίσωση \(2x^2 - 8x + 6 = 0\).
*   β) Να παραγοντοποιηθεί το :tooltip[τριώνυμο]{content="Ένα τριώνυμο είναι ένα πολυώνυμο με τρεις όρους."} \(2x^2 - 8x + 6\).

Για την εξίσωση \(2x^2 - 8x + 6 = 0\), βρίσκουμε ότι \(α = 2\), \(β = -8\), και \(γ = 6\). Η διακρίνουσα είναι \(Δ = β^2 - 4αγ = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 16\). Επειδή \(Δ > 0\), η εξίσωση έχει δύο λύσεις, οι οποίες είναι \(x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2}\). Έτσι, \(x = 3\) ή \(x = 1\).

Για την παραγοντοποίηση του τριωνύμου \(2x^2 - 8x + 6\), γράφουμε \(2x^2 - 8x + 6 = 2(x^2 - 4x + 3) = 2(x - 3)(x - 1)\). 🎉


# Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Η παραγοντοποίηση τριωνύμου είναι ένας τρόπος να γράψουμε ένα :tooltip[τριώνυμο]{content="Μια έκφραση με τρεις όρους."} (μια έκφραση με τρεις όρους) ως γινόμενο δύο παραγόντων. 💡

Αν έχουμε μια εξίσωση της μορφής \(αx^2 + βx + γ = 0\), όπου το \(α\) δεν είναι μηδέν, και βρούμε τις λύσεις της, που τις ονομάζουμε \(ρ_1\) και \(ρ_2\), τότε μπορούμε να γράψουμε το τριώνυμο \(αx^2 + βx + γ\) ως:

\(αx^2 + βx + γ = a(x – ρ_1)(x - ρ_2)\)


# Παραγοντοποίηση τριωνύμου - Παραδείγματα



Έστω η εξίσωση \(2x^2 + 5x + 3 = 0\). Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι \(-1\) και \(- \frac{3}{2}\).

Άρα, το τριώνυμο \(2x^2 + 5x + 3\) μπορεί να γραφτεί ως:

\(2x^2 + 5x + 3 = 2[x - (-1)][x - (-\frac{3}{2})] = 2(x + 1)(x + \frac{3}{2})\)

**Άλλο παράδειγμα:**

Έστω η εξίσωση \(-16x^2 + 8x - 1 = 0\). Αυτή η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, η οποία είναι \(x = \frac{1}{4}\).

Άρα, το τριώνυμο \(-16x^2 + 8x - 1\) μπορεί να γραφτεί ως:

\(-16x^2 + 8x - 1 = -16(x - \frac{1}{4})(x - \frac{1}{4}) = -16(x - \frac{1}{4})^2\) 💯


01. Βασική Θεωρία

Πώς αναγνωρίζουμε τους συντελεστές μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού και τι ονομάζουμε λύση της.

Γενική μορφή της εξίσωσης δευτέρου βαθμού

Πώς λύνουμε ειδικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού μεταφέροντας τους όρους και αναλύοντάς τους σε παράγοντες.

Επίλυση με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Πώς μετατρέπουμε το πρώτο μέλος μιας εξίσωσης σε τέλειο τετράγωνο για να βρούμε τις λύσεις της.

Επίλυση με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου

Πώς υπολογίζουμε τη διακρίνουσα και πώς το πρόσημό της δείχνει πόσες λύσεις έχει η εξίσωση.

Ο τύπος της διακρίνουσας

Πώς γράφουμε ένα τριώνυμο δευτέρου βαθμού ως γινόμενο παραγόντων όταν ξέρουμε τις ρίζες του.

Παραγοντοποίηση τριωνύμου με τις ρίζες

# Εξισώσεις Δευτέρου Βαθμού 📐

Μια **εξίσωση 2ου βαθμού** με έναν άγνωστο \(x\) είναι κάθε εξίσωση που μπορεί να πάρει τη γενική μορφή

\[
αx^2 + βx + γ = 0, \quad α ≠ 0
\]

όπου τα \(α\), \(β\), \(γ\) λέγονται συντελεστές της εξίσωσης και ο \(γ\) ο σταθερός όρος. Κάθε αριθμός που κάνει την εξίσωση αληθινή ονομάζεται **λύση** ή **ρίζα** της.

## Επίλυση με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Σε ειδικές περιπτώσεις μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση 2ου βαθμού χωρίς τύπο, μεταφέροντας όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και αναλύοντάς το σε γινόμενο παραγόντων. Η μέθοδος στηρίζεται στην εξής ιδιότητα:

:::fact{title="Το κλειδί της μεθόδου"}
Αν ένα γινόμενο παραγόντων ισούται με μηδέν, τότε τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες πρέπει να είναι μηδέν. Δηλαδή αν \(α \cdot β = 0\), τότε είτε \(α = 0\) είτε \(β = 0\).
:::

- Όταν η εξίσωση έχει τη μορφή \(αx^2 + βx = 0\), βγάζουμε κοινό παράγοντα το \(x\) και εξισώνουμε κάθε παράγοντα με μηδέν.
- Όταν έχει τη μορφή \(αx^2 + γ = 0\) και προκύπτει διαφορά τετραγώνων, την αναλύουμε ως \((x - ρ)(x + ρ) = 0\).
- Όταν το πρώτο μέλος είναι ανάπτυγμα τέλειου τετραγώνου, π.χ. \((κx + λ)^2 = 0\), η εξίσωση έχει μία **διπλή λύση**.
- Πιο σύνθετες μορφές μπορούν να λυθούν και με τη μέθοδο **συμπλήρωσης τετραγώνου**, όπου μετατρέπουμε το πρώτο μέλος σε τέλειο τετράγωνο.

## Επίλυση με τη βοήθεια τύπου

Για κάθε εξίσωση \(αx^2 + βx + γ = 0\) με \(α ≠ 0\) ορίζουμε τη **διακρίνουσα**:

\[
Δ = β^2 - 4αγ
\]

Το πρόσημο της διακρίνουσας καθορίζει πλήρως το πλήθος των λύσεων:

* Αν \(Δ > 0\), η εξίσωση έχει **δύο άνισες λύσεις**: \(x = \frac{-β + \sqrt{Δ}}{2α}\) και \(x = \frac{-β - \sqrt{Δ}}{2α}\).
* Αν \(Δ = 0\), η εξίσωση έχει **μία διπλή λύση**: \(x = -\frac{β}{2α}\).
* Αν \(Δ < 0\), η εξίσωση **δεν έχει λύση** στους πραγματικούς αριθμούς.

:::alert{title="Ο πιο συχνός τρόπος λάθους"}
Ο τύπος της διακρίνουσας χρησιμοποιεί το \(β^2\), όχι το \(β\), και το πρόσημο του \(4αγ\) πρέπει να αφαιρείται σωστά — ειδικά όταν ο \(γ\) είναι ήδη αρνητικός. Ένα λάθος πρόσημο στον υπολογισμό του \(Δ\) αλλάζει εντελώς το συμπέρασμα για το πλήθος των λύσεων.
:::

## Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Όταν γνωρίζουμε τις λύσεις \(ρ_1\) και \(ρ_2\) μιας εξίσωσης \(αx^2 + βx + γ = 0\), μπορούμε να γράψουμε το τριώνυμο ως γινόμενο παραγόντων:

\[
αx^2 + βx + γ = α(x - ρ_1)(x - ρ_2)
\]

Αν η εξίσωση έχει διπλή λύση \(ρ\), τότε \(ρ_1 = ρ_2 = ρ\) και το τριώνυμο γράφεται \(α(x - ρ)^2\).
