Προσπαθούν να κρυφτούν. Εσύ πρέπει να ανακαλύψεις τις πραγματικές τους ταυτότητες. Νομίζεις ότι μπορείς να τα καταφέρεις; Γίνε ο καλύτερος κατάσκοπος με την βοήθεια της άλγεβρας 🕵🏻‍♂️

Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

# Ορισμός Ρητής Αλγεβρικής Παράστασης 🧮

Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα, και οι όροι της είναι πολυώνυμα, ονομάζεται :tooltip[ρητή αλγεβρική παράσταση]{content="Αλγεβρική παράσταση σε μορφή κλάσματος με πολυώνυμα."}, ή απλά ρητή παράσταση. Στις ρητές παραστάσεις, οι μεταβλητές δεν μπορούν να έχουν τιμές που κάνουν τον παρονομαστή μηδέν 🚫, γιατί δεν ορίζεται κλάσμα με παρονομαστή μηδέν.

Για παράδειγμα, η παράσταση \(\frac{x^3 + 4}{x - 1}\) ορίζεται μόνο όταν το \(x\) δεν είναι ίσο με 1 (\(x \neq 1\)). Όταν γράφουμε μια ρητή παράσταση, εννοούμε ότι οι μεταβλητές δεν παίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή. 🤔

:::fact
Στη συνέχεια, όταν γράφουμε μια ρητή παράσταση, εννοούμε ότι οι μεταβλητές δεν παίρνουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή. ✅
:::

# Απλοποίηση Ρητών Αλγεβρικών Παραστάσεων 🧮

Όπως και με τους αριθμούς, έτσι και με τις ρητές αλγεβρικές παραστάσεις, μπορούμε να κάνουμε απλοποίηση. Αυτό γίνεται όταν και ο :tooltip[αριθμητής]{content="Το πάνω μέρος του κλάσματος."} (το πάνω μέρος του κλάσματος) και ο :tooltip[παρονομαστής]{content="Το κάτω μέρος του κλάσματος."} (το κάτω μέρος του κλάσματος) είναι γινόμενα και έχουν έναν κοινό παράγοντα. ➗

Για παράδειγμα, η παράσταση \(\frac{6x + y}{3x}\) δεν μπορεί να απλοποιηθεί, επειδή το \(6x + y\) δεν είναι γινόμενο. Όμως, η παράσταση \(\frac{6xy}{3x}\) μπορεί να απλοποιηθεί, γιατί και ο αριθμητής \(6xy\) και ο παρονομαστής \(3x\) είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το \(3x\).

Για να απλοποιήσουμε την παράσταση \(\frac{6xy}{3x}\), διαιρούμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα \(3x\):

\(\frac{6xy}{3x} = \frac{6xy : 3x}{3x : 3x} = \frac{2y}{1} = 2y\)

Ένας πιο γρήγορος τρόπος για να το κάνουμε αυτό είναι να διαγράψουμε τον κοινό παράγοντα \(3x\) από τον αριθμητή και τον παρονομαστή:

\(\frac{6xy}{3x} = \frac{3x \cdot 2y}{3x} = 2y\) ✨


# Περιορισμοί στην Απλοποίηση Ρητών Παραστάσεων 🤔

Όμως σε μια ρητή παράσταση, αν ο αριθμητής ή ο παρονομαστής δεν είναι γινόμενο, τότε για να την απλοποιήσουμε, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1.  Παραγοντοποιούμε και τους δύο όρους της (αριθμητή και παρονομαστή).
2.  Διαγράφουμε τους κοινούς παράγοντες που υπάρχουν και στους δύο όρους. 

Για παράδειγμα, η παράσταση \(\frac{5x - 10}{x^2 - 4}\) απλοποιείται ως εξής:

\(\frac{5x - 10}{x^2 - 4} = \frac{5(x - 2)}{x^2 - 2^2} = \frac{5(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{5}{x + 2}\) 🥳


# Παράδειγμα 1α: Προσδιορισμός των τιμών των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις 🧐

Στο παράδειγμα 1α, θέλουμε να βρούμε για ποιες τιμές των μεταβλητών ορίζονται οι παραστάσεις. Αυτό σημαίνει ότι ψάχνουμε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες η παράσταση έχει νόημα και δεν οδηγεί σε μαθηματικά λάθη, όπως διαίρεση με το μηδέν. 🚫

Στην περίπτωση της παράστασης \(\frac{x^2 + 7x + 2}{x}\), η παράσταση ορίζεται αν ο :tooltip[παρονομαστής]{content="Ο αριθμός κάτω από τη γραμμή κλάσματος."}, δηλαδή το \(x\), δεν είναι μηδέν. ⛔ Αυτό συμβαίνει γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν. Άρα, η παράσταση ορίζεται για \(x \neq 0\). ✅


# Παράδειγμα 1β και 1γ: Προσδιορισμός των τιμών των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις 🧮

Στο παράδειγμα 1, ερώτημα (β), έχουμε την παράσταση \(\frac{x^2 + 6}{x + 2}\). Η παράσταση αυτή ορίζεται, όταν ο :tooltip[παρονομαστής]{content="Ο αριθμός κάτω από τη γραμμή κλάσματος."} \(x + 2\) δεν είναι μηδέν, δηλαδή όταν \(x + 2 \neq 0\). Αυτό σημαίνει ότι \(x \neq -2\). 🤔

Στο παράδειγμα 1, ερώτημα (γ), έχουμε την παράσταση \(\frac{x^2 + y^2}{x - y}\). Η παράσταση αυτή ορίζεται, όταν ο :tooltip[παρονομαστής]{content="Ο αριθμός κάτω από τη γραμμή κλάσματος."} \(x - y\) δεν είναι μηδέν, δηλαδή όταν \(x - y \neq 0\). Αυτό σημαίνει ότι \(x \neq y\). 💡


# Παράδειγμα 2α: Απλοποίηση Παραστάσεων

Στο παράδειγμα 2α, θέλουμε να απλοποιήσουμε την παράσταση \(\frac{12x^3yω^2}{8xy^3}\). Και οι δύο όροι της παράστασης είναι γινόμενα, οπότε μπορούμε να απλοποιήσουμε ως εξής:

\(\frac{12x^3yω^2}{8xy^3} = \frac{3x^2ω^2}{2y^2}\) 🎉

# Παράδειγμα 2β: Απλοποίηση Παραστάσεων

Στο παράδειγμα 2β, θέλουμε να απλοποιήσουμε την παράσταση \(\frac{3x^2 - 3}{6x^2 - 6x}\).

Πρώτα, παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
Έτσι, έχουμε:

\(\frac{3x^2 - 3}{6x^2 - 6x} = \frac{3(x^2 - 1)}{6x(x-1)}\)

Συνεχίζουμε την παραγοντοποίηση:

\(\frac{3(x^2 - 1)}{6x(x-1)} = \frac{3(x-1)(x+1)}{6x(x-1)}\)

Τώρα, απλοποιούμε διαγράφοντας τον κοινό παράγοντα \((x-1)\) από τον αριθμητή και τον παρονομαστή, καθώς και το 3 από το 6:

\(\frac{3(x-1)(x+1)}{6x(x-1)} = \frac{x+1}{2x}\)


01. Βασική Θεωρία

Ο ορισμός της ρητής παράστασης ως κλάσμα πολυωνύμων, και γιατί ο παρονομαστής δεν επιτρέπεται ποτέ να μηδενίζεται.

Τι Είναι η Ρητή Αλγεβρική Παράσταση

Πώς βρίσκουμε για ποιες τιμές των μεταβλητών μια ρητή παράσταση έχει νόημα, μέσα από παραδείγματα με έναν και δύο όρους στον παρονομαστή.

Πεδίο Ορισμού μιας Ρητής Παράστασης

Πότε επιτρέπεται να απλοποιήσουμε ένα ρητό κλάσμα διαγράφοντας κοινό παράγοντα, και τι πρέπει να κάνουμε πρώτα όταν οι όροι δεν είναι έτοιμα γινόμενα.

Απλοποίηση Ρητών Παραστάσεων

# Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις ✂️

Μια **ρητή αλγεβρική παράσταση** είναι ένα κλάσμα στο οποίο και ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι πολυώνυμα, π.χ. \(\frac{x^3 + 4}{x-1}\).

:::alert{title="Προσοχή στον παρονομαστή!"}
Οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή, γιατί η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται. Για να βρούμε πού **ορίζεται** μια παράσταση, θέτουμε τον παρονομαστή διάφορο του μηδενός και λύνουμε ως προς τη μεταβλητή.
:::

## Απλοποίηση

Μια ρητή παράσταση απλοποιείται όταν αριθμητής και παρονομαστής είναι **γινόμενα** με κοινό παράγοντα· τότε διαγράφουμε τον κοινό παράγοντα από τους δύο όρους.

Αν αριθμητής ή παρονομαστής δεν είναι ήδη γινόμενο, πρέπει πρώτα να τους **παραγοντοποιήσουμε**, και μετά να διαγράψουμε τους κοινούς παράγοντες που προκύπτουν.

:::fact{title="Γιατί δουλεύει η διαγραφή"}
Η «διαγραφή» κοινού παράγοντα δεν είναι κόλπο — είναι απλώς διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό ή παράσταση, κάτι που δεν αλλάζει την τιμή του κλάσματος.
:::
