Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας 🧮

Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού $x$ συμβολίζεται με $\sqrt{x}$ και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό $x$. Για παράδειγμα, $\sqrt{25} = 5$, επειδή $5^2 = 25$. Επίσης, ορίζουμε ότι $\sqrt{0} = 0$.

Ακόμη, αν έχουμε το $(-5)^2 = 25$, τότε $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$.

Γενικά, για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει:
$\sqrt{x^2} = |x|$, $\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$, $\sqrt{7^2} = 7$

Παρατηρούμε ακόμη ότι: $(\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9$, δηλαδή $(\sqrt{9})^2 = 9$. Γενικά, αν $x \geq 0$, τότε $(\sqrt{x})^2 = x$.

Ιδιότητες των Ριζών: Γινόμενο και Πηλίκο ➗✖️

Οι ιδιότητες των ριζών μας βοηθούν να κάνουμε πράξεις με τις τετραγωνικές ρίζες πιο εύκολα.

Γινόμενο ριζών:
Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο τετραγωνικές ρίζες, μπορούμε να τις ενώσουμε σε μία ρίζα που περιέχει το γινόμενο των αριθμών μέσα στις αρχικές ρίζες.
Αυτό ισχύει για δύο μη αρνητικούς αριθμούς $α$ και $β$.
Έτσι, $\sqrt{α} \cdot \sqrt{β} = \sqrt{αβ}$.

Παράδειγμα: $\sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$

Πηλίκο ριζών:
Όταν διαιρούμε δύο τετραγωνικές ρίζες, μπορούμε να τις ενώσουμε σε μία ρίζα που περιέχει το πηλίκο των αριθμών μέσα στις αρχικές ρίζες.
Αυτό ισχύει για δύο μη αρνητικούς αριθμούς $α$ και $β$, με τον $β$ να είναι μεγαλύτερος του μηδενός ($β > 0$).
Έτσι, $\frac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}} = \sqrt{\frac{α}{β}}$ με $β > 0$.

Παράδειγμα: $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$

Για δύο μη αρνητικούς αριθμούς $α$, $β$ μπορούμε να αποδείξουμε ότι:

• Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους.
• Το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου τους.

Αποδείξεις Ιδιοτήτων και Παρατηρήσεις 🤔

Για να αποδείξουμε την πρώτη ισότητα $\sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta} = \sqrt{\alpha \beta}$, υπολογίζουμε το τετράγωνο κάθε μέλους της ξεχωριστά.
Έτσι, έχουμε:
$(\sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta})^2 = (\sqrt{\alpha})^2 \cdot (\sqrt{\beta})^2 = \alpha \beta$
και
$(\sqrt{\alpha \beta})^2 = \alpha \beta$

Παρατηρούμε ότι οι δύο μη αρνητικοί αριθμοί $\sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta}$ και $\sqrt{\alpha \beta}$ έχουν το ίδιο τετράγωνο $\alpha \beta$, οπότε είναι ίσοι.
Άρα, $\sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\beta} = \sqrt{\alpha \beta}$.
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε και τη δεύτερη ισότητα.

Παρατηρούμε ακόμη ότι $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$, ενώ $\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$, δηλαδή $\sqrt{16} + \sqrt{9} \neq \sqrt{16+9}$.

Γενικά:
Αν $\alpha$, $\beta$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε $\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} \neq \sqrt{\alpha+\beta}$

Παράδειγμα 1: Απλοποίηση ρίζας γινομένου 🧩

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ και γενικά, για μη αρνητικούς αριθμούς $α$ και $β$, ισχύει ότι $\sqrt{α^2β} = α\sqrt{β}$.

Λύση:

Ξεκινάμε παρατηρώντας ότι το 20 μπορεί να γραφτεί ως $4 \cdot 5$, που είναι το ίδιο με $2^2 \cdot 5$.

Έτσι, έχουμε:

$\sqrt{20} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

Ομοίως, μπορούμε να δείξουμε ότι $\sqrt{α^2β} = \sqrt{α^2} \cdot \sqrt{β} = α\sqrt{β}$.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι όταν αναλύουμε έναν αριθμό σε γινόμενο παραγόντων (όπως το 20), πρέπει να προσπαθούμε να βρούμε παράγοντες που είναι τέλεια τετράγωνα (όπως το 4, που είναι $2^2$), ώστε να μπορέσουμε να απλοποιήσουμε τη ρίζα. Για παράδειγμα, αν αναλύσουμε το 20 ως $2 \cdot 10$, κανένας από τους παράγοντες δεν είναι τέλειο τετράγωνο ενός θετικού ακέραιου αριθμού, και δεν θα μπορέσουμε να απλοποιήσουμε τη ρίζα με αυτόν τον τρόπο.

Παράδειγμα 2: Απλοποίηση παραστάσεων με ρίζες ➕➖

α) Μας ζητά να αποδείξουμε ότι $3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
Για να το λύσουμε, χρησιμοποιούμε την επιμεριστική ιδιότητα. Αυτό σημαίνει ότι προσθέτουμε τους αριθμούς που είναι έξω από τις ρίζες (το 3 και το 2), και μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με τη ρίζα $\sqrt{3}$. Έτσι, $3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (3 + 2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

β) Μας ζητά να αποδείξουμε ότι $\sqrt{3} \cdot \sqrt{24} = 6\sqrt{2}$.
Για να το λύσουμε, πολλαπλασιάζουμε τις ρίζες μεταξύ τους: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{3 \cdot 24} = \sqrt{72}$. Μετά, βρίσκουμε ότι το 72 μπορεί να γραφτεί ως $36 \cdot 2$, οπότε $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

γ) Μας ζητά να αποδείξουμε ότι $\sqrt{50} - \sqrt{18} = 2\sqrt{2}$.
Για να το λύσουμε, βρίσκουμε ότι το 50 μπορεί να γραφτεί ως $25 \cdot 2$ και το 18 μπορεί να γραφτεί ως $9 \cdot 2$. Έτσι, $\sqrt{50} - \sqrt{18} = \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Παράδειγμα 3: Απαλοιφή ρητού παρονομαστή ➗

Στο παράδειγμα 3, θέλουμε να αλλάξουμε το κλάσμα $\frac{5}{\sqrt{3}}$, το οποίο έχει έναν άρρητο αριθμό στον παρονομαστή, σε ένα ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή.

Λύση:

Για να το κάνουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον παρονομαστή $\sqrt{3}$. Έτσι, έχουμε:

$\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$