Προσπαθούν να κρυφτούν. Εσύ πρέπει να ανακαλύψεις τις πραγματικές τους ταυτότητες. Νομίζεις ότι μπορείς να τα καταφέρεις; Γίνε ο καλύτερος κατάσκοπος με την βοήθεια της άλγεβρας 🕵🏻‍♂️

Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

# Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας 🧮

Η :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αρχικό αριθμό."} ενός θετικού αριθμού \(x\) συμβολίζεται με \(\sqrt{x}\) και είναι ο θετικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό \(x\). Για παράδειγμα, \(\sqrt{25} = 5\), επειδή \(5^2 = 25\). Επίσης, ορίζουμε ότι \(\sqrt{0} = 0\).

Ακόμη, αν έχουμε το \((-5)^2 = 25\), τότε \(\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|\).

Γενικά, για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει:
\(\sqrt{x^2} = |x|\)

Για Παράδειγμα:

\(\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7\), \(\sqrt{7^2} = 7\)

:::alert
Δεν ορίζεται τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού, γιατί δεν υπάρχει αριθμός που το τετράγωνό του να είναι αρνητικός αριθμός. 🤔
:::



Παρατηρούμε ακόμη ότι: \((\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9\), δηλαδή \((\sqrt{9})^2 = 9\). Γενικά, αν \(x \geq 0\), τότε \((\sqrt{x})^2 = x\).


# Ιδιότητες των Ριζών: Γινόμενο και Πηλίκο 🧮

Οι ιδιότητες των ριζών μας βοηθούν να κάνουμε πράξεις με τις :tooltip[τετραγωνικές ρίζες]{content="Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού \( x \) είναι ένας αριθμός \( y \) τέτοιος ώστε \( y^2 = x \)."} πιο εύκολα. ✨

**Γινόμενο ριζών:**
Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο τετραγωνικές ρίζες, μπορούμε να τις ενώσουμε σε μία ρίζα που περιέχει το γινόμενο των αριθμών μέσα στις αρχικές ρίζες. Αυτό ισχύει για δύο μη αρνητικούς αριθμούς \(α\) και \(β\). Έτσι, \( \sqrt{α} \cdot \sqrt{β} = \sqrt{αβ} \). ➕

**Πηλίκο ριζών:**
Όταν διαιρούμε δύο τετραγωνικές ρίζες, μπορούμε να τις ενώσουμε σε μία ρίζα που περιέχει το πηλίκο των αριθμών μέσα στις αρχικές ρίζες. Αυτό ισχύει για δύο μη αρνητικούς αριθμούς \(α\) και \(β\), με τον \(β\) να είναι μεγαλύτερος του μηδενός (\(β > 0\)). Έτσι, \( \frac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}} = \sqrt{\frac{α}{β}} \) με \(β > 0\). ➗

Για δύο μη αρνητικούς αριθμούς \(α\), \(β\) μπορούμε να αποδείξουμε ότι:
*   Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους. ✅
*   Το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου τους. ✅


# Άθροισμα τετραγωνικών ριζών 😞


Παρατηρούμε ότι \( \sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7 \), ενώ \( \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \), δηλαδή \( \sqrt{16} + \sqrt{9} \neq \sqrt{16+9} \).

Γενικά:
Αν \( \alpha \), \( \beta \) είναι θετικοί αριθμοί, τότε \( \sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} \neq \sqrt{\alpha+\beta} \) 🧐. Για παράδειγμα, η :tooltip[τετραγωνική ρίζα]{content="Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α είναι ένας αριθμός β τέτοιος ώστε β² = α."} του 9 και η τετραγωνική ρίζα του 16 δεν είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος τους.

:::alert
Δυστυχώς στο άθροισμα τετραγωνικών ριζών δεν συμβαίνει ότι και με το γινόμενο ή το πηλίκο! 😟
:::

# Παράδειγμα 1: Απλοποίηση ρίζας γινομένου



Θέλουμε να αποδείξουμε ότι \( \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) και γενικά, για μη αρνητικούς αριθμούς \(α\) και \(β\), ισχύει ότι \( \sqrt{α^2β} = α\sqrt{β} \).

### **Λύση:**

Ξεκινάμε παρατηρώντας ότι το 20 μπορεί να γραφτεί ως \( 4 \cdot 5 \), που είναι το ίδιο με \( 2^2 \cdot 5 \).

Έτσι, έχουμε:

\( \sqrt{20} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)

Ομοίως, μπορούμε να δείξουμε ότι \( \sqrt{α^2β} = \sqrt{α^2} \cdot \sqrt{β} = α\sqrt{β} \).

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι όταν αναλύουμε έναν αριθμό σε γινόμενο παραγόντων (όπως το 20), πρέπει να προσπαθούμε να βρούμε παράγοντες που είναι :tooltip[τέλεια τετράγωνα]{content="Ένας αριθμός που μπορεί να προκύψει από την ύψωση ενός ακέραιου αριθμού στο τετράγωνο."} (όπως το 4, που είναι \( 2^2 \)), ώστε να μπορέσουμε να απλοποιήσουμε τη ρίζα. Για παράδειγμα, αν αναλύσουμε το 20 ως \( 2 \cdot 10 \), κανένας από τους παράγοντες δεν είναι τέλειο τετράγωνο ενός θετικού ακέραιου αριθμού, και δεν θα μπορέσουμε να απλοποιήσουμε τη ρίζα με αυτόν τον τρόπο. 🤔


# Παράδειγμα 2: Απλοποίηση παραστάσεων με ρίζες

α) Μας ζητά να αποδείξουμε ότι \(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
Για να το λύσουμε, χρησιμοποιούμε την :tooltip[επιμεριστική ιδιότητα]{content="Ιδιότητα που μας επιτρέπει να πολλαπλασιάζουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα."} . Αυτό σημαίνει ότι προσθέτουμε τους αριθμούς που είναι έξω από τις ρίζες (το 3 και το 2), και μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με τη ρίζα \( \sqrt{3} \). Έτσι, \(3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (3 + 2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).

β) Μας ζητά να αποδείξουμε ότι \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{24} = 6\sqrt{2}\).
Για να το λύσουμε, πολλαπλασιάζουμε τις ρίζες μεταξύ τους: \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{3 \cdot 24} = \sqrt{72}\). Μετά, βρίσκουμε ότι το 72 μπορεί να γραφτεί ως \(36 \cdot 2\), οπότε \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).

γ) Μας ζητά να αποδείξουμε ότι \(\sqrt{50} - \sqrt{18} = 2\sqrt{2}\).
Για να το λύσουμε, βρίσκουμε ότι το 50 μπορεί να γραφτεί ως \(25 \cdot 2\) και το 18 μπορεί να γραφτεί ως \(9 \cdot 2\). Έτσι, \(\sqrt{50} - \sqrt{18} = \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).


# Παράδειγμα 3: Απαλοιφή ρητού παρονομαστή

Στο παράδειγμα 3, θέλουμε να αλλάξουμε το κλάσμα \(\frac{5}{\sqrt{3}}\), το οποίο έχει έναν :tooltip[άρρητο αριθμό]{content="Αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί ως πηλίκο δύο ακεραίων."} στον παρονομαστή, σε ένα ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή. 🤔

### Λύση:

Για να το κάνουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον παρονομαστή \(\sqrt{3}\). Έτσι, έχουμε:

\(\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\) 🥳


01. Βασική Θεωρία

Τι σημαίνει τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού, γιατί είναι πάντα μη αρνητική, και γιατί δεν ορίζεται για αρνητικούς αριθμούς.

Ορισμός της Τετραγωνικής Ρίζας

Πώς συνδέεται η ρίζα του τετραγώνου ενός αριθμού με την απόλυτη τιμή του, και τι συμβαίνει όταν υψώνουμε μια ρίζα στο τετράγωνο.

Ρίζα Τετραγώνου και Απόλυτη Τιμή

Πώς η ρίζα ενός γινομένου ή ενός πηλίκου συνδέεται με το γινόμενο ή το πηλίκο των επιμέρους ριζών, και πώς αποδεικνύεται αυτό.

Γινόμενο και Πηλίκο Τετραγωνικών Ριζών

Γιατί δεν επιτρέπεται να χωρίσουμε τη ρίζα ενός αθροίσματος στο άθροισμα των ριζών, με σύγκριση που το αποδεικνύει.

Γιατί η Ρίζα Αθροίσματος Διαφέρει

Πώς βγάζουμε έναν παράγοντα έξω από τη ρίζα όταν ο αριθμός κάτω από αυτήν περιέχει τέλειο τετράγωνο.

Απλοποίηση Ρίζας Γινομένου

Πώς προσθέτουμε, αφαιρούμε και πολλαπλασιάζουμε τετραγωνικές ρίζες, ιδίως όταν έχουν το ίδιο ή διαφορετικό υπόρριζο.

Πράξεις με Ρίζες: Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός

Πώς μετατρέπουμε ένα κλάσμα με άρρητο παρονομαστή σε ισοδύναμο κλάσμα με ρητό παρονομαστή.

Απαλοιφή Ρητού Παρονομαστή

# Τετραγωνική Ρίζα: Ορισμός και Ιδιότητες 🌊

Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού \(x\) συμβολίζεται \(\sqrt{x}\) και είναι ο **θετικός** αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει το \(x\). Ορίζουμε επιπλέον ότι \(\sqrt{0} = 0\).

:::fact{title="Η ρίζα είναι πάντα μη αρνητική"}
Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού δεν είναι ποτέ αρνητική — αυτό είναι μέρος του ίδιου του ορισμού της, όχι σύμπτωση.
:::

:::alert{title="Δεν υπάρχει ρίζα αρνητικού αριθμού"}
Η τετραγωνική ρίζα αρνητικού αριθμού δεν ορίζεται, γιατί κανένας πραγματικός αριθμός δεν έχει αρνητικό τετράγωνο.
:::

Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει \(\sqrt{x^2} = |x|\) — χρειαζόμαστε την απόλυτη τιμή γιατί το \(x\) μπορεί να είναι αρνητικό, ενώ η ρίζα του τετραγώνου του πρέπει να βγαίνει μη αρνητική. Αντίστροφα, αν \(x \geq 0\), τότε \((\sqrt{x})^2 = x\).

## Γινόμενο και Πηλίκο Ριζών

Για δύο μη αρνητικούς αριθμούς \(α\), \(β\) ισχύει ότι η ρίζα του γινομένου τους ισούται με το γινόμενο των ριζών τους: \(\sqrt{α} \cdot \sqrt{β} = \sqrt{αβ}\).

Αντίστοιχα, για \(α \geq 0\) και \(β > 0\), η ρίζα του πηλίκου ισούται με το πηλίκο των ριζών: \(\frac{\sqrt{α}}{\sqrt{β}} = \sqrt{\frac{α}{β}}\).

Οι δύο ιδιότητες αποδεικνύονται παρατηρώντας ότι δύο μη αρνητικοί αριθμοί με το ίδιο τετράγωνο είναι ίσοι μεταξύ τους: υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη κάθε ισότητας, καταλήγουμε στην ίδια παράσταση.

:::alert{title="Η ρίζα αθροίσματος δεν είναι άθροισμα ριζών"}
Ένα από τα πιο συνηθισμένα λάθη: \(\sqrt{α} + \sqrt{β} \neq \sqrt{α+β}\) για θετικούς \(α\), \(β\). Οι ιδιότητες γινομένου και πηλίκου ισχύουν, αλλά καμία αντίστοιχη ιδιότητα δεν ισχύει για την πρόσθεση ή την αφαίρεση.
:::

## Απλοποίηση Ρίζας Γινομένου

Όταν ο αριθμός κάτω από τη ρίζα αναλύεται σε γινόμενο όπου ο ένας παράγοντας είναι τέλειο τετράγωνο, η ρίζα απλοποιείται: για μη αρνητικούς \(α\), \(β\) ισχύει \(\sqrt{α^2β} = α\sqrt{β}\). Για να απλοποιήσουμε μια ρίζα, αναζητούμε τον μεγαλύτερο δυνατό παράγοντα που είναι τέλειο τετράγωνο.

## Πρόσθεση, Αφαίρεση και Πολλαπλασιασμός Ριζών

Ρίζες με το ίδιο υπόρριζο προστίθενται ή αφαιρούνται όπως τα όμοια μονώνυμα, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα στον συντελεστή τους. Όταν οι ρίζες έχουν διαφορετικό υπόρριζο, τις απλοποιούμε πρώτα αναλύοντας σε τέλεια τετράγωνα, ώστε να προκύψει κοινό υπόρριζο.

## Απαλοιφή Ρητού Παρονομαστή

Όταν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι άρρητος (π.χ. περιέχει ρίζα), πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με την ίδια ρίζα, ώστε ο παρονομαστής να γίνει ρητός: \(\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}\). Αυτό διευκολύνει τους επόμενους υπολογισμούς.


Άλγεβρα Γ' Γυμνασίου

Πάρε πλήρη πρόσβαση

Βασική Θεωρία