Βασικά στοιχεία τριγώνων: Ορισμοί και Είδη 📐

Τα τρίγωνα έχουν κάποια βασικά μέρη που τα κάνουν να είναι αυτό που είναι. Αυτά τα μέρη είναι οι πλευρές και οι γωνίες τους, και τα ονομάζουμε κύρια στοιχεία του τριγώνου. 📐

Σε ένα τρίγωνο που το ονομάζουμε ΑΒΓ, κάθε πλευρά του βρίσκεται απέναντι από μία γωνία. Έτσι, η πλευρά που είναι απέναντι από τη γωνία Α την ονομάζουμε α, η πλευρά απέναντι από τη γωνία Β την ονομάζουμε β, και η πλευρά απέναντι από τη γωνία Γ την ονομάζουμε γ.

Η γωνία που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο πλευρές ενός τριγώνου ονομάζεται περιεχόμενη γωνία. Για παράδειγμα, η γωνία Α είναι η περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΒ και ΑΓ.

Οι γωνίες που βρίσκονται στις άκρες μιας πλευράς ονομάζονται προσκείμενες γωνίες. Για παράδειγμα, οι προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΒΓ είναι οι γωνίες Β και Γ.

Είδη τριγώνων ανάλογα με τις γωνίες και τις πλευρές τους 📐

Ένα τρίγωνο, ανάλογα με το είδος των γωνιών του, ονομάζεται:

• Οξυγώνιο τρίγωνο: Έχει όλες τις γωνίες του οξείες (μικρότερες από 90 μοίρες).
• Αμβλυγώνιο τρίγωνο: Έχει μια γωνία αμβλεία (μεγαλύτερη από 90 μοίρες).
• Ορθογώνιο τρίγωνο: Έχει μια γωνία ορθή (ίση με 90 μοίρες). Στο ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές.

Ένα τρίγωνο, ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του, ονομάζεται:

• Σκαληνό τρίγωνο: Έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες.
• Ισοσκελές τρίγωνο: Έχει δύο πλευρές ίσες. Στο ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ$ με $ΑΒ = ΑΓ$, η πλευρά $ΒΓ$ ονομάζεται βάση και το σημείο $Α$ κορυφή του.
• Ισόπλευρο τρίγωνο: Έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. 💯

Ορισμός ίσων τριγώνων

Τα ίσα τρίγωνα είναι δύο τρίγωνα, ας πούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ', που όταν τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο, ταιριάζουν απόλυτα. 📐

Αυτό σημαίνει ότι:

• Οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ίσες, δηλαδή $ΑΒ = Α'Β'$, $ΒΓ = Β'Γ'$ και $ΑΓ = Α'Γ'$.
• Οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες, δηλαδή $A = A'$, $B = B'$ και $Γ = Γ'$. 💯

Έτσι, για να είναι δύο τρίγωνα ίσα, πρέπει να έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. 👍

1ο κριτήριο ισότητας (Π - Γ - Π)

Το πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π) λέει το εξής:

** Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα.**

Παράδειγμα:

Αυτό σημαίνει ότι αν σχεδιάσουμε δύο τρίγωνα, το ΑΒΓ και το Α'Β'Γ', και γνωρίζουμε ότι η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά Α'Β', η πλευρά ΑΓ είναι ίση με την πλευρά Α'Γ' και η γωνία Α είναι ίση με τη γωνία Α', τότε ολόκληρο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο Α'Β'Γ'.

2ο κριτήριο ισότητας (Γ – Π – Γ) και 3ο κριτήριο ισότητας (Π – Π – Π)📐

2ο κριτήριο ισότητας (Γ-Π-Γ):

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

Παράδειγμα:

Φανταστείτε ότι έχουμε δύο τρίγωνα, το ΑΒΓ και το Α'Β'Γ'.
Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα αν:

• Μία πλευρά του ενός τριγώνου είναι ίση με μία πλευρά του άλλου τριγώνου (ΒΓ = Β'Γ').
• Οι δύο γωνίες που βρίσκονται πάνω σε αυτή την πλευρά είναι επίσης ίσες (γωνία Β = γωνία Β' και γωνία Γ = γωνία Γ').

3ο κριτήριο ισότητας (Π-Π-Π):

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

Παράδειγμα:

Έχουμε δύο τρίγωνα, το ΑΒΓ και το Α'Β'Γ'.
Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα αν:

• Και οι τρεις πλευρές του ενός τριγώνου είναι ίσες με τις τρεις πλευρές του άλλου τριγώνου (ΑΒ = Α'Β', ΒΓ = Β'Γ', ΑΓ = Α'Γ').

Παραδείγματα - Εφαρμογές 1, 2, 3 📐

Στην ενότητα "Παραδείγματα - Εφαρμογές" βλέπουμε τρία παραδείγματα γεωμετρικών προβλημάτων και τις λύσεις τους.

Παράδειγμα 1:

Έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, όπου η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΑΓ. Φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ, που σημαίνει ότι η ΑΔ χωρίζει τη γωνία Α σε δύο ίσα μέρη.

• α) Μας ζητείται να συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ.
  • Παρατηρούμε ότι έχουν:
    1. Την πλευρά ΑΔ κοινή.
    2. Την πλευρά ΑΒ ίση με την πλευρά ΑΓ (από την υπόθεση).
    3. Τη γωνία Α₁ ίση με τη γωνία Α₂, επειδή η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α.
  • Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία τους ίση.
• β) Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι η γωνία Β είναι ίση με τη γωνία Γ και ότι η διχοτόμος ΑΔ είναι διάμεσος και ύψος.
  • Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα, έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Άρα, η γωνία Β είναι ίση με τη γωνία Γ, η πλευρά ΒΔ είναι ίση με την πλευρά ΔΓ και η γωνία Δ₁ είναι ίση με τη γωνία Δ₂.
  • Αφού η γωνία Δ₁ είναι ίση με τη γωνία Δ₂ και οι δύο μαζί είναι 180°, τότε κάθε μία από αυτές είναι 90°. Αυτό σημαίνει ότι η ΑΔ είναι και ύψος.
  • Επίσης, η ΑΔ είναι και διάμεσος, αφού η ΒΔ είναι ίση με τη ΔΓ.
  • Αποδείξαμε λοιπόν ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:
    1. Οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες.
    2. Η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος που φέρουμε από την κορυφή προς τη βάση του συμπίπτουν.

Παράδειγμα 2:

Έχουμε ένα σχήμα όπου η γωνία Α είναι ίση με τη γωνία Δ και είναι ω, και η πλευρά ΑΓ είναι ίση με την πλευρά ΓΔ. Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΔΕ.

• Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΕ. Παρατηρούμε ότι έχουν:
  1. Την πλευρά ΑΓ ίση με την πλευρά ΓΔ (από την υπόθεση).
  2. Τη γωνία Α ίση με τη γωνία Δ (από την υπόθεση).
  3. Τη γωνία Γ₁ ίση με τη γωνία Γ₂, γιατί είναι κατακορυφήν γωνίες.
• Άρα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΕ είναι ίσα, γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή την πλευρά γωνίες ίσες μία προς μία.
• Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν και όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΔΕ.