Είναι ίσα ή απλά μοιάζουν; Μάθε να συγκρίνεις τρίγωνα και σχήματα με ακρίβεια. Ακολούθησε το καραβάνι και μάθε πως να ξεφεύγεις από τις οφθαλμαπάτες 🐪

Γεωμετρία Γ' Γυμνασίου

# Βασικά στοιχεία τριγώνων: Ορισμοί και Είδη

Τα τρίγωνα έχουν κάποια βασικά μέρη που τα κάνουν να είναι αυτό που είναι. Αυτά τα μέρη είναι οι πλευρές και οι γωνίες τους, και τα ονομάζουμε κύρια στοιχεία του τριγώνου. 📐

Σε ένα τρίγωνο που το ονομάζουμε ΑΒΓ, κάθε πλευρά του βρίσκεται απέναντι από μία γωνία. Έτσι, η πλευρά που είναι απέναντι από τη γωνία Α την ονομάζουμε α, η πλευρά απέναντι από τη γωνία Β την ονομάζουμε β, και η πλευρά απέναντι από τη γωνία Γ την ονομάζουμε γ.

:::fact
Ένα σημαντικό πράγμα που πρέπει να θυμόμαστε για τα τρίγωνα είναι ότι αν προσθέσουμε όλες τις γωνίες τους (δηλαδή τις γωνίες Α, Β και Γ), το αποτέλεσμα είναι πάντα \(180^\circ\). \(A + B + Γ = 180^\circ\) 💯
:::


Η γωνία που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο πλευρές ενός τριγώνου ονομάζεται :tooltip[περιεχόμενη γωνία]{content="Η γωνία που σχηματίζεται από δύο συγκεκριμένες πλευρές ενός τριγώνου."}. Για παράδειγμα, η γωνία Α είναι η περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΒ και ΑΓ.

Οι γωνίες που βρίσκονται στις άκρες μιας πλευράς ονομάζονται :tooltip[προσκείμενες γωνίες]{content="Οι δύο γωνίες που σχηματίζονται στις δύο άκρες μιας συγκεκριμένης πλευράς ενός τριγώνου."}. Για παράδειγμα, οι προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΒΓ είναι οι γωνίες Β και Γ.



# Είδη τριγώνων ανάλογα με τις γωνίες και τις πλευρές τους 📐

Ένα τρίγωνο, ανάλογα με το είδος των γωνιών του, ονομάζεται:

*   **Οξυγώνιο τρίγωνο:** Έχει όλες τις γωνίες του οξείες (μικρότερες από 90 μοίρες).
*   **Αμβλυγώνιο τρίγωνο:** Έχει μια γωνία :tooltip[αμβλεία]{content="Γωνία μεγαλύτερη από 90 μοίρες."} (μεγαλύτερη από 90 μοίρες).
*   **Ορθογώνιο τρίγωνο:** Έχει μια γωνία ορθή (ίση με 90 μοίρες). Στο ορθογώνιο τρίγωνο, η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται :tooltip[υποτείνουσα]{content="Η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο."}, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές.

Ένα τρίγωνο, ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του, ονομάζεται:

*   **Σκαληνό τρίγωνο:** Έχει και τις τρεις πλευρές του άνισες.
*   **Ισοσκελές τρίγωνο:** Έχει δύο πλευρές ίσες. Στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\), η πλευρά \(ΒΓ\) ονομάζεται βάση και το σημείο \(Α\) κορυφή του.
*   **Ισόπλευρο τρίγωνο:** Έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες. 💯


# Ορισμός ίσων τριγώνων

Τα ίσα τρίγωνα είναι δύο τρίγωνα, ας πούμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ', που όταν τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο, ταιριάζουν απόλυτα. 📐

Αυτό σημαίνει ότι:

*   Οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ίσες, δηλαδή \(ΑΒ = Α'Β'\), \(ΒΓ = Β'Γ'\) και \(ΑΓ = Α'Γ'\).
*   Οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες, δηλαδή \(A = A'\), \(B = B'\) και \(Γ = Γ'\). 💯

Έτσι, για να είναι δύο τρίγωνα ίσα, πρέπει να έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες :tooltip[γωνίες]{content="Οι αντίστοιχες γωνίες πρέπει να είναι ακριβώς ίδιες."} τους ίσες. 👍


# 1ο κριτήριο ισότητας (Π - Γ - Π)

Το πρώτο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π) λέει το εξής:

** Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα.**

:::fact{title="Με απλά λόγια"}
Αν έχεις δύο τρίγωνα και αυτά τα τρίγωνα έχουν δύο πλευρές που είναι ίσες μεταξύ τους, και η :tooltip[γωνία]{content="Το άνοιγμα ανάμεσα σε δύο γραμμές που ξεκινούν από το ίδιο σημείο."} που σχηματίζεται ανάμεσα σε αυτές τις δύο πλευρές είναι επίσης ίση, τότε τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. 📐
:::


### Παράδειγμα:
Αυτό σημαίνει ότι αν σχεδιάσουμε δύο τρίγωνα, το ΑΒΓ και το Α'Β'Γ', και γνωρίζουμε ότι η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά Α'Β', η πλευρά ΑΓ είναι ίση με την πλευρά Α'Γ' και η γωνία Α είναι ίση με τη γωνία Α', τότε ολόκληρο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ίσο με το τρίγωνο Α'Β'Γ'.


# 2ο κριτήριο ισότητας (Γ – Π – Γ) και 3ο κριτήριο ισότητας (Π – Π – Π)📐

### **2ο κριτήριο ισότητας (Γ-Π-Γ):**

**Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.**

### Παράδειγμα:

Φανταστείτε ότι έχουμε δύο τρίγωνα, το ΑΒΓ και το Α'Β'Γ'.
Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα αν:
*   Μία πλευρά του ενός τριγώνου είναι ίση με μία πλευρά του άλλου τριγώνου (ΒΓ = Β'Γ').
*   Οι δύο :tooltip[γωνίες]{content="Το άνοιγμα μεταξύ δύο γραμμών που ξεκινούν από το ίδιο σημείο."} που βρίσκονται πάνω σε αυτή την πλευρά είναι επίσης ίσες (γωνία Β = γωνία Β' και γωνία Γ = γωνία Γ').


### **3ο κριτήριο ισότητας (Π-Π-Π):**

**Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.**

### Παράδειγμα:

Έχουμε δύο τρίγωνα, το ΑΒΓ και το Α'Β'Γ'.
Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα αν:
*   Και οι τρεις :tooltip[πλευρές]{content="Ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν τις κορυφές ενός πολυγώνου."} του ενός τριγώνου είναι ίσες με τις τρεις πλευρές του άλλου τριγώνου (ΑΒ = Α'Β', ΒΓ = Β'Γ', ΑΓ = Α'Γ').



# Παραδείγματα - Εφαρμογές 1, 2, 3 📐

Στην ενότητα "Παραδείγματα - Εφαρμογές" βλέπουμε τρία παραδείγματα γεωμετρικών προβλημάτων και τις λύσεις τους. 

### **Παράδειγμα 1:**

Έχουμε ένα :tooltip[ισοσκελές τρίγωνο]{content="Ένα τρίγωνο με δύο πλευρές ίσες."} ΑΒΓ, όπου η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΑΓ. Φέρνουμε τη :tooltip[διχοτόμο]{content="Μια γραμμή που χωρίζει μια γωνία σε δύο ίσα μέρη."} ΑΔ, που σημαίνει ότι η ΑΔ χωρίζει τη γωνία Α σε δύο ίσα μέρη.

*   **α)** Μας ζητείται να συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ.
    *   Παρατηρούμε ότι έχουν:
        1.   Την πλευρά ΑΔ κοινή.
        2.   Την πλευρά ΑΒ ίση με την πλευρά ΑΓ (από την υπόθεση).
        3.   Τη γωνία Α₁ ίση με τη γωνία Α₂, επειδή η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Α.
    *   Άρα, τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία τους ίση.
*   **β)** Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι η γωνία Β είναι ίση με τη γωνία Γ και ότι η διχοτόμος ΑΔ είναι :tooltip[διάμεσος]{content="Μια γραμμή από μια κορυφή στο μέσο της απέναντι πλευράς."} και :tooltip[ύψος]{content="Μια κάθετη γραμμή από μια κορυφή στην απέναντι πλευρά."}.
    *   Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα, έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα. Άρα, η γωνία Β είναι ίση με τη γωνία Γ, η πλευρά ΒΔ είναι ίση με την πλευρά ΔΓ και η γωνία Δ₁ είναι ίση με τη γωνία Δ₂.
    *   Αφού η γωνία Δ₁ είναι ίση με τη γωνία Δ₂ και οι δύο μαζί είναι 180°, τότε κάθε μία από αυτές είναι 90°. Αυτό σημαίνει ότι η ΑΔ είναι και ύψος.
    *   Επίσης, η ΑΔ είναι και διάμεσος, αφού η ΒΔ είναι ίση με τη ΔΓ.
    *   Αποδείξαμε λοιπόν ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:
        1.   Οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες.
        2.   Η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος που φέρουμε από την κορυφή προς τη βάση του συμπίπτουν.

### **Παράδειγμα 2:**

Έχουμε ένα σχήμα όπου η γωνία Α είναι ίση με τη γωνία Δ και είναι ω, και η πλευρά ΑΓ είναι ίση με την πλευρά ΓΔ. Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΔΕ.

*   Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΕ. Παρατηρούμε ότι έχουν:
    1.   Την πλευρά ΑΓ ίση με την πλευρά ΓΔ (από την υπόθεση).
    2.   Τη γωνία Α ίση με τη γωνία Δ (από την υπόθεση).
    3.   Τη γωνία Γ₁ ίση με τη γωνία Γ₂, γιατί είναι :tooltip[κατακορυφήν γωνίες]{content="Γωνίες που σχηματίζονται όταν δύο γραμμές τέμνονται."}.
*   Άρα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΕ είναι ίσα, γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή την πλευρά γωνίες ίσες μία προς μία.
*   Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν και όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε η πλευρά ΑΒ είναι ίση με την πλευρά ΔΕ.


01. Βασική Θεωρία

Πώς ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες ενός τριγώνου και ποιο σταθερό άθροισμα έχουν πάντα οι γωνίες του.

Κύρια στοιχεία του τριγώνου

Ποια γωνία λέγεται περιεχόμενη σε δύο πλευρές και ποιες γωνίες λέγονται προσκείμενες σε μία πλευρά.

Περιεχόμενη και προσκείμενες γωνίες

Πώς ξεχωρίζουμε τα οξυγώνια, τα αμβλυγώνια και τα ορθογώνια τρίγωνα, και τι είναι η υποτείνουσα.

Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες

Η διαφορά ανάμεσα σε σκαληνό, ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο, και τι ονομάζουμε βάση και κορυφή.

Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές

Τι σημαίνει δύο τρίγωνα να είναι ίσα και ποιες αντιστοιχίες πλευρών και γωνιών πρέπει να ισχύουν.

Ορισμός των ίσων τριγώνων

Πώς αποδεικνύουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία τους ίση.

1ο κριτήριο ισότητας τριγώνων (Π-Γ-Π)

Πώς αποδεικνύουμε την ισότητα δύο τριγώνων με μία πλευρά και τις προσκείμενες γωνίες, ή με τις τρεις πλευρές.

2ο και 3ο κριτήριο ισότητας τριγώνων

Γιατί οι γωνίες βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες και πώς η διχοτόμος της κορυφής συμπίπτει με τη διάμεσο και το ύψος.

Ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου

# Στοιχεία και Ισότητα Τριγώνων 📐

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ κάθε πλευρά βρίσκεται απέναντι από μία γωνία και παίρνει το αντίστοιχο μικρό γράμμα: η πλευρά α είναι απέναντι από τη γωνία Α, η β απέναντι από τη Β και η γ απέναντι από τη Γ. Πλευρές και γωνίες λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου.

:::fact{title="Ένα σταθερό άθροισμα"}
Σε κάθε τρίγωνο, όσο κι αν αλλάζει το σχήμα του, οι τρεις γωνίες του έχουν πάντα άθροισμα 180°: \(Α + Β + Γ = 180^\circ\).
:::

Η γωνία ανάμεσα σε δύο πλευρές λέγεται :tooltip[περιεχόμενη γωνία]{content="Η γωνία που σχηματίζεται από δύο συγκεκριμένες πλευρές ενός τριγώνου."} τους (π.χ. η Α είναι περιεχόμενη γωνία των ΑΒ, ΑΓ). Οι δύο γωνίες στις άκρες μιας πλευράς λέγονται :tooltip[προσκείμενες γωνίες]{content="Οι δύο γωνίες που σχηματίζονται στις δύο άκρες μιας συγκεκριμένης πλευράς ενός τριγώνου."} της (π.χ. η Β, Γ είναι προσκείμενες στη ΒΓ).

## Είδη τριγώνων

Τα τρίγωνα κατατάσσονται με δύο ανεξάρτητα κριτήρια: το είδος των γωνιών τους και τη σχέση των πλευρών τους.

| Ως προς τις γωνίες | Χαρακτηριστικό |
|---|---|
| Οξυγώνιο | Όλες οι γωνίες οξείες (< 90°) |
| Αμβλυγώνιο | Μία γωνία αμβλεία (> 90°) |
| Ορθογώνιο | Μία γωνία ορθή (90°)· η απέναντί της πλευρά λέγεται υποτείνουσα, οι άλλες δύο κάθετες πλευρές |

| Ως προς τις πλευρές | Χαρακτηριστικό |
|---|---|
| Σκαληνό | Και οι τρεις πλευρές άνισες |
| Ισοσκελές | Δύο πλευρές ίσες· στο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, η ΒΓ είναι η βάση και το Α η κορυφή |
| Ισόπλευρο | Και οι τρεις πλευρές ίσες |

## Ίσα τρίγωνα

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ' είναι **ίσα** όταν, αν τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο, ταιριάζουν απόλυτα: όλες οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ίσες και όλες οι αντίστοιχες γωνίες τους είναι ίσες.

Δεν χρειάζεται όμως να ελέγχουμε όλα αυτά τα ζεύγη ξεχωριστά· αρκούν τα τρία **κριτήρια ισότητας** τριγώνων:

| Κριτήριο | Τι απαιτεί |
|---|---|
| 1ο (Π-Γ-Π) | Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και η περιεχόμενη γωνία τους ίση |
| 2ο (Γ-Π-Γ) | Μία πλευρά ίση και οι προσκείμενες σε αυτήν γωνίες ίσες μία προς μία |
| 3ο (Π-Π-Π) | Και οι τρεις πλευρές ίσες μία προς μία |

:::alert{title="Η γωνία πρέπει να είναι η σωστή"}
Στο Π-Γ-Π δεν αρκεί οποιαδήποτε γωνία ίση· πρέπει να είναι ακριβώς η περιεχόμενη γωνία των δύο ίσων πλευρών. Ομοίως, στο Γ-Π-Γ οι γωνίες πρέπει να είναι προσκείμενες στην ίση πλευρά. Αν η γωνία δεν βρίσκεται στη σωστή θέση, το κριτήριο δεν ισχύει και τα τρίγωνα δεν αποδεικνύονται ίσα.
:::

Αφού αποδειχθεί ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα με ένα κριτήριο, όλα τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους (πλευρές και γωνίες) προκύπτουν αυτόματα ίσα, χωρίς να χρειάζεται νέος έλεγχος.

## Ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής Α χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα ίσα με κριτήριο Π-Γ-Π (κοινή πλευρά, οι δύο ίσες πλευρές, ίσες μισές γωνίες κορυφής). Επειδή τα δύο τρίγωνα είναι ίσα, προκύπτει ότι οι γωνίες της βάσης (Β, Γ) είναι ίσες μεταξύ τους, και ότι η ίδια διχοτόμος είναι ταυτόχρονα διάμεσος (χωρίζει τη βάση σε δύο ίσα τμήματα) και ύψος (σχηματίζει ορθές γωνίες με τη βάση).

Δηλαδή, σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος, η διάμεσος και το ύψος από την κορυφή προς τη βάση συμπίπτουν στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα.
