Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 📈

Μέχρι τώρα περιγράφαμε μια συνάρτηση με έναν τύπο, όπως $f(x) = 2x + 1$, ή με έναν πίνακα τιμών. Υπάρχει όμως κι ένας τρίτος τρόπος, εξίσου σημαντικός: να τη δούμε. Η γραφική παράσταση μετατρέπει μια συνάρτηση σε μια εικόνα πάνω σε ένα επίπεδο, ώστε να μπορούμε να «διαβάσουμε» τη συμπεριφορά της με μια ματιά — πού είναι θετική, πού μηδενίζεται, πού μεγαλώνει. Για να φτάσουμε εκεί, χρειαζόμαστε πρώτα ένα εργαλείο που να εντοπίζει σημεία σε ένα επίπεδο με ακρίβεια: το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Το Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων 📍

Το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι ένας τρόπος να περιγράψουμε τη θέση κάθε σημείου ενός επιπέδου χρησιμοποιώντας ένα ζευγάρι αριθμών. Χάρη σε αυτό, γεωμετρικά προβλήματα (θέσεις, αποστάσεις, σχήματα) μπορούν να λυθούν με αλγεβρικούς υπολογισμούς.

Για να το φτιάξουμε, σχεδιάζουμε δύο άξονες κάθετους μεταξύ τους, σαν ένα μεγάλο «+»:

• Η οριζόντια ευθεία λέγεται άξονας των $x$ ή άξονας των τετμημένων και συμβολίζεται $x'x$.
• Η κάθετη ευθεία λέγεται άξονας των $y$ ή άξονας των τεταγμένων και συμβολίζεται $y'y$.
• Το σημείο όπου τέμνονται οι δύο άξονες λέγεται αρχή των αξόνων και συμβολίζεται με $O$.

Το ζευγάρι των δύο αξόνων ονομάζεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων $Oxy$, προς τιμήν του μαθηματικού Καρτέσιου που το επινόησε. Το ίδιο το επίπεδο πάνω στο οποίο σχεδιάζουμε το σύστημα λέγεται καρτεσιανό επίπεδο. Όταν η μονάδα μέτρησης είναι ίδια και στους δύο άξονες, το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό. Στα επόμενα μαθήματα, όποτε λέμε απλώς «καρτεσιανό σύστημα», θα εννοούμε πάντα το ορθοκανονικό, εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά.

Συντεταγμένες σημείου

Κάθε σημείο $M$ του επιπέδου αντιστοιχίζεται σε ένα μοναδικό ζευγάρι αριθμών $(α, β)$:

• Ο αριθμός $α$ λέγεται τετμημένη του $M$ (η προβολή του πάνω στον άξονα $x'x$).
• Ο αριθμός $β$ λέγεται τεταγμένη του $M$ (η προβολή του πάνω στον άξονα $y'y$).

Μαζί, τα $α$ και $β$ λέγονται συντεταγμένες του σημείου, και γράφουμε $M(α, β)$ ή απλά $(α, β)$. Η σειρά έχει σημασία: το $M(2, 5)$ δεν είναι το ίδιο σημείο με το $M(5, 2)$.

Οι άξονες και τα τεταρτημόρια

Στο καρτεσιανό επίπεδο ισχύουν τα εξής:

• Τα σημεία πάνω στον άξονα $x'x$ έχουν τεταγμένη $y = 0$.
• Τα σημεία πάνω στον άξονα $y'y$ έχουν τετμημένη $x = 0$.
• Το σημείο $O$ (αρχή των αξόνων) έχει συντεταγμένες $(0, 0)$.

Οι δύο άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα μέρη, τα τεταρτημόρια. Ξεκινώντας από τη γωνία $x\hat{O}y$ και προχωρώντας αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, έχουμε το 1ο, 2ο, 3ο και 4ο τεταρτημόριο. Το πρόσημο των συντεταγμένων ενός σημείου φανερώνει αμέσως σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται:

Συμμετρικά σημεία

Αν $A(α, β)$ είναι ένα σημείο του επιπέδου, μπορούμε να βρούμε αμέσως τα συμμετρικά του χωρίς σχήμα, μόνο με το πρόσημο των συντεταγμένων:

• Το συμμετρικό του $A$ ως προς τον άξονα $x'x$ είναι το $Δ(α, -β)$: ίδια τετμημένη, αντίθετη τεταγμένη.
• Το συμμετρικό του $A$ ως προς τον άξονα $y'y$ είναι το $B(-α, β)$: αντίθετη τετμημένη, ίδια τεταγμένη.
• Το συμμετρικό του $A$ ως προς την αρχή $O$ είναι το $Γ(-α, -β)$: και οι δύο συντεταγμένες αντίθετες.
• Το συμμετρικό του $A$ ως προς την ευθεία $y = x$ (τη διχοτόμο 1ης-3ης γωνίας) είναι το $A'(β, α)$: οι συντεταγμένες αντιμετατίθενται.

Απόσταση δύο σημείων

Η απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία $A(x_1, y_1)$ και $B(x_2, y_2)$ του καρτεσιανού επιπέδου δίνεται από τον τύπο:

Από πού προκύπτει: Φέρνουμε από το $A$ μια οριζόντια και από το $B$ μια κάθετη ευθεία (ή αντίστροφα) μέχρι να τμηθούν σε ένα σημείο $K$, σχηματίζοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο $K\hat{A}B$ με ορθή γωνία στο $K$. Οι δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου έχουν μήκη $|x_2 - x_1|$ και $|y_2 - y_1|$ (οριζόντια και κατακόρυφη απόσταση αντίστοιχα), ενώ η υποτείνουσα είναι ακριβώς το τμήμα $AB$. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

οπότε, παίρνοντας τετραγωνική ρίζα, προκύπτει ο τύπος. Ο τύπος ισχύει και στις οριακές περιπτώσεις όπου το $AB$ είναι παράλληλο σε έναν από τους δύο άξονες (τότε μία από τις δύο διαφορές μηδενίζεται).

Παράδειγμα: Αν $A(3, 1)$, $B(3, 5)$ και $Γ(-1, 1)$ είναι κορυφές τριγώνου, τότε:

Επειδή $(AB) = (AΓ) = 4$, το τρίγωνο $AB Γ$ είναι ισοσκελές.

Τι Είναι η Γραφική Παράσταση Μιας Συνάρτησης 🗺️

Έστω μια συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού $Α$ και ένα καρτεσιανό σύστημα $Oxy$. Για κάθε τιμή $x \in Α$, η συνάρτηση δίνει μία τιμή $f(x)$, άρα ορίζεται ένα σημείο $M(x, f(x))$ στο επίπεδο. Το σύνολο όλων αυτών των σημείων, καθώς το $x$ διατρέχει όλο το $Α$, ονομάζεται γραφική παράσταση της $f$ και συμβολίζεται $C_f$.

Ισοδύναμα: η γραφική παράσταση $C_f$ είναι το σύνολο των σημείων $M(x, y)$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει

Η εξίσωση $y = f(x)$ λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης. Αυτό σημαίνει δύο πράγματα ταυτόχρονα:

• Αν ένα σημείο ανήκει στη $C_f$, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση $y = f(x)$.
• Αντίστροφα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την $y = f(x)$, τότε το σημείο ανήκει στη $C_f$.

Γι' αυτό συχνά ταυτίζουμε τη γραφική παράσταση με την εξίσωσή της και γράφουμε απλά «η γραφική παράσταση $y = f(x)$».

Πώς ελέγχουμε αν ένα σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση: αντικαθιστούμε την τετμημένη του σημείου στη συνάρτηση· αν το αποτέλεσμα ταυτίζεται με την τεταγμένη του σημείου, το σημείο ανήκει στη $C_f$, αλλιώς όχι.

Παράδειγμα: Για την $f(x) = x^2 - 1$, το σημείο $A(2, 3)$ ανήκει στη $C_f$ αφού $f(2) = 4 - 1 = 3$. Το σημείο $B(2, 5)$ όμως δεν ανήκει, αφού $f(2) = 3 \neq 5$.

Το Κριτήριο της Κατακόρυφης Ευθείας 📏

Επειδή μια συνάρτηση αντιστοιχίζει σε κάθε $x$ του πεδίου ορισμού ένα μόνο $y$, στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δεν μπορεί ποτέ να υπάρχουν δύο διαφορετικά σημεία με την ίδια τετμημένη. Αυτό μεταφράζεται σε ένα πολύ πρακτικό οπτικό κριτήριο:

Το κριτήριο αυτό είναι πολύ χρήσιμο γιατί επιτρέπει να αποφασίσουμε μόνο κοιτάζοντας το σχήμα μιας καμπύλης, χωρίς να ξέρουμε τον τύπο της, αν πρόκειται για συνάρτηση ή όχι.

Ένας κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Αν φανταστούμε έναν κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων, μια κατακόρυφη ευθεία που περνά από το εσωτερικό του τον τέμνει σε δύο σημεία — ένα στο πάνω μισό και ένα στο κάτω μισό του κύκλου. Άρα σε μία τιμή $x$ αντιστοιχούν δύο τιμές $y$, κάτι που απαγορεύεται για συνάρτηση.

Μια παραβολή της μορφής $y = αx^2 + βx + γ$, αντίθετα, είναι πάντα γραφική παράσταση συνάρτησης, γιατί κάθε κατακόρυφη ευθεία την τέμνει σε ακριβώς ένα σημείο — ανεβαίνοντας ή κατεβαίνοντας κατακόρυφα, συναντάμε την καμπύλη μόνο μία φορά.

Διαβάζοντας Πληροφορίες από μια Γραφική Παράσταση 📊

Ένα από τα μεγαλύτερα πλεονεκτήματα της γραφικής παράστασης είναι ότι μας επιτρέπει να απαντάμε οπτικά σε ερωτήματα που αλλιώς θα απαιτούσαν άλγεβρα. Παρακάτω συνοψίζονται οι πιο βασικές αντιστοιχίσεις ανάμεσα σε μια αλγεβρική συνθήκη και τη θέση της γραφικής παράστασης.

Σημεία τομής με τους άξονες

Έστω συνάρτηση $f$ με γραφική παράσταση $C_f$.

• Τομή με τον $x'x$: Πάνω στον άξονα $x'x$, κάθε σημείο έχει $y = 0$. Άρα, για να βρούμε τα σημεία τομής της $C_f$ με τον $x'x$, λύνουμε την εξίσωση $f(x) = 0$. Κάθε ρίζα $x_0$ της εξίσωσης δίνει ένα σημείο τομής $(x_0, 0)$. Οι ρίζες αυτές λέγονται και ρίζες ή μηδενικά της συνάρτησης.
• Τομή με τον $y'y$: Πάνω στον άξονα $y'y$, κάθε σημείο έχει $x = 0$. Άρα, για να βρούμε το σημείο τομής της $C_f$ με τον $y'y$, υπολογίζουμε το $f(0)$ (αν το $0$ ανήκει στο πεδίο ορισμού). Το σημείο τομής είναι το $(0, f(0))$.

Πρόσημο της συνάρτησης — πάνω ή κάτω από τον $x'x$

• Η $C_f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x'x$ ακριβώς στα σημεία όπου $f(x) > 0$.
• Η $C_f$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $x'x$ ακριβώς στα σημεία όπου $f(x) < 0$.

Δηλαδή, η λύση της ανίσωσης $f(x) > 0$ είναι το σύνολο των $x$ για τα οποία η καμπύλη «πετάει» πάνω από τον οριζόντιο άξονα, και η λύση της $f(x) < 0$ είναι το σύνολο των $x$ για τα οποία «βουλιάζει» από κάτω.

Παράδειγμα: Η συνάρτηση $g(x) = x^2 - 4x + 9$ έχει διακρίνουσα $Δ = 16 - 36 = -20 < 0$, άρα δεν έχει πραγματικές ρίζες — η γραφική της παράσταση δεν τέμνει ποτέ τον $x'x$. Επειδή ο συντελεστής του $x^2$ είναι θετικός, η παραβολή είναι στραμμένη προς τα πάνω, άρα βρίσκεται παντού πάνω από τον άξονα $x'x$, δηλαδή $g(x) > 0$ για κάθε πραγματικό $x$.

Σύγκριση δύο γραφικών παραστάσεων

Οι ίδιες ιδέες επεκτείνονται φυσικά όταν συγκρίνουμε δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ με γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_g$:

• Τομή $C_f$ με $C_g$: Λύνουμε την εξίσωση $f(x) = g(x)$. Κάθε λύση $x_0$ δίνει την τετμημένη ενός κοινού σημείου· η τεταγμένη υπολογίζεται αντικαθιστώντας το $x_0$ σε οποιαδήποτε από τις δύο συναρτήσεις (πρέπει να δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, αφού εκεί οι δύο γραφικές παραστάσεις συμπίπτουν).
• $C_f$ πάνω από $C_g$: Λύνουμε την ανίσωση $f(x) > g(x)$. Εκεί η καμπύλη της $f$ βρίσκεται ψηλότερα από της $g$.
• $C_f$ κάτω από $C_g$: Λύνουμε την ανίσωση $f(x) < g(x)$. Εκεί η καμπύλη της $f$ βρίσκεται χαμηλότερα από της $g$.

Ο πίνακας συνοψίζει όλες τις αντιστοιχίσεις:

Παράδειγμα: Οι συναρτήσεις $f(x) = x + 3$ και $g(x) = x^2 - 4x + 9$ τέμνονται εκεί όπου $x + 3 = x^2 - 4x + 9$, δηλαδή $x^2 - 5x + 6 = 0$, με ρίζες $x = 2$ και $x = 3$. Ανάμεσα σε αυτές τις δύο τιμές ($2 < x < 3$) μπορούμε να ελέγξουμε το πρόσημο της διαφοράς $f(x) - g(x) = -x^2 + 5x - 6$ σε ένα ενδιάμεσο σημείο, π.χ. $x = 2{,}5$: παίρνουμε θετική τιμή, άρα εκεί $f(x) > g(x)$, δηλαδή η $C_f$ βρίσκεται πάνω από τη $C_g$ ακριβώς στο διάστημα $(2, 3)$.