Η περιπέτεια ξεκινά με τα σύνολα. Μοιάζουν με σεντούκια αριθμών. Ψάξε καλά και θα ανακαλύψεις την απόλυτη τιμή και τις ρίζες. Μια ακολουθία από βήματα θα σε οδηγήσει στον επόμενο θησαυρό. Τελικός προορισμός, οι συναρτήσεις! Το ταξίδι για την κατανόηση των μαθηματικών μόλις ξεκίνησε 🏴‍☠️

Άλγεβρα Α' Λυκείου

# Καρτεσιανές Συντεταγμένες: Ορισμός και Βασικές Έννοιες 📍

Οι καρτεσιανές συντεταγμένες είναι ένας τρόπος να δείξουμε πού βρίσκεται ένα σημείο σε ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ζεύγη αριθμών. Αυτό μας βοηθά να λύνουμε γεωμετρικά προβλήματα με αλγεβρικούς τρόπους. 🧑‍🏫

### Οι δύο άξονες

Για να το πετύχουμε αυτό, σχεδιάζουμε δύο γραμμές που τέμνονται κάθετα, σαν ένα μεγάλο «+». Η οριζόντια γραμμή λέγεται άξονας των \(x\) ή άξονας των :tooltip[τετμημένων]{content="Η οριζόντια συντεταγμένη ενός σημείου σε ένα καρτεσιανό επίπεδο."}, και η κάθετη γραμμή λέγεται άξονας των \(y\) ή άξονας των :tooltip[τεταγμένων]{content="Η κάθετη συντεταγμένη ενός σημείου σε ένα καρτεσιανό επίπεδο."}. Το σημείο όπου τέμνονται οι δύο άξονες λέγεται :tooltip[αρχή των αξόνων]{content="Το σημείο όπου οι άξονες x και y τέμνονται σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, συμβολίζεται με O και έχει συντεταγμένες (0, 0)."} και συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα \(O\).

### Συντεταγμένες ενός σημείου

Κάθε σημείο \(M\) στο επίπεδο μπορεί να αντιστοιχηθεί σε ένα ζευγάρι αριθμών \( (α, β) \). Ο αριθμός \(α\) λέγεται τετμημένη του σημείου \(M\) και ο αριθμός \(β\) λέγεται τεταγμένη του σημείου \(M\). Αυτοί οι δύο αριθμοί μαζί λέγονται συντεταγμένες του σημείου \(M\). Έτσι, το σημείο \(M\) συμβολίζεται με \(M(α, β)\) ή απλά \( (α, β) \).

### Το καρτεσιανό σύστημα

Επειδή αυτή η ιδέα ανήκει στον Καρτέσιο, αυτό το σύστημα αξόνων ονομάζεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και συμβολίζεται με \(Oxy\). Το επίπεδο στο οποίο σχεδιάζουμε αυτό το σύστημα ονομάζεται καρτεσιανό επίπεδο. Αν οι μονάδες μέτρησης και στους δύο άξονες είναι ίδιες, τότε το σύστημα \(Oxy\) ονομάζεται ορθοκανονικό. 📐

:::fact{title="Ποιος ήταν ο Καρτέσιος;"}
Ο Ρενέ Ντεκάρτ (Καρτέσιος), Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός του 17ου αιώνα, ήταν αυτός που σκέφτηκε πρώτος να συνδέσει την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία μέσω συντεταγμένων — μια από τις σημαντικότερες ιδέες στην ιστορία των μαθηματικών.
:::


# Απόσταση Δύο Σημείων 📏

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων \(A(x_1, y_1)\) και \(B(x_2, y_2)\) σε ένα σύστημα συντεταγμένων \(Oxy\) δίνεται από τον τύπο:

\[
(AB) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

### Από πού προκύπτει ο τύπος

Αυτός ο τύπος προκύπτει από το ορθογώνιο τρίγωνο \(K\hat{A}B\). Σύμφωνα με το :tooltip[Πυθαγόρειο θεώρημα]{content="Σχέση στην Ευκλείδεια γεωμετρία μεταξύ των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών."}, έχουμε:

\[
(AB)^2 = (KA)^2 + (KB)^2
\]
\[
= |x_2 - x_1|^2 + |y_2 - y_1|^2
\]
\[
= (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2
\]

Έτσι, \( (AB) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \). Ο τύπος αυτός ισχύει ακόμα και όταν η \(AB\) είναι παράλληλη είτε προς τον άξονα \(x'x\) είτε προς τον άξονα \(y'y\).

### Λυμένο παράδειγμα

Αν τα σημεία \(A(3,1)\), \(B(3,5)\) και \(Γ(-1,1)\) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου \(A\hat{B}Γ\), τότε:

\[
(AB) = \sqrt{(3-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4^2} = 4
\]
\[
(AΓ) = \sqrt{(-1-3)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2} = 4
\]
\[
(BΓ) = \sqrt{(-1-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}
\]

Επειδή \((AB) = (AΓ) = 4\), το τρίγωνο \(AB Γ\) είναι ισοσκελές. 📐

:::fact{title="Πυθαγόρειο Θεώρημα"}
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στη γεωμετρία και χρησιμοποιείται ευρέως σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Ο τύπος της απόστασης δεν είναι παρά το θεώρημα αυτό «μεταμφιεσμένο» σε αλγεβρική γλώσσα. 💡
:::


# Γραφική Παράσταση Συνάρτησης: Ορισμός 📈

**Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι ένας τρόπος να απεικονίσουμε μια συνάρτηση σε ένα επίπεδο.** 🗺️

### Πώς ορίζεται

Ας πούμε ότι έχουμε μια συνάρτηση \(f\) και ένα σύστημα συντεταγμένων \(Oxy\). Παίρνουμε όλα τα σημεία \(M(x, y)\) στο επίπεδο για τα οποία ισχύει \(y = f(x)\). Αυτό σημαίνει ότι για κάθε \(x\) που ανήκει στο :tooltip[πεδίο ορισμού]{content="Το σύνολο των τιμών για τις οποίες ορίζεται μια συνάρτηση."} \(Α\) της συνάρτησης, βρίσκουμε το αντίστοιχο \(y\) από τη συνάρτηση \(f(x)\). Το σύνολο αυτών των σημείων \(Μ(x, f(x))\), όπου το \(x\) ανήκει στο \(Α\), ονομάζεται γραφική παράσταση της \(f\) και συνήθως συμβολίζεται με \(C_f\).

Η εξίσωση \(y = f(x)\) είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της \(f\). Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες κάθε σημείου της γραφικής παράστασης επαληθεύουν την εξίσωση \(y = f(x)\), και αντίστροφα, κάθε σημείο που επαληθεύει την εξίσωση ανήκει στη γραφική παράσταση. Έτσι, μπορούμε να συμβολίζουμε τη γραφική παράσταση \(C_f\) απλά με την εξίσωσή της, δηλαδή \(y = f(x)\).

### Το κριτήριο της κατακόρυφης ευθείας

Επειδή κάθε \(x\) από το πεδίο ορισμού \(Α\) αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο \(y\), δεν υπάρχουν δύο σημεία στη γραφική παράσταση με την ίδια τιμή \(x\) (:tooltip[τετμημένη]{content="Η x-συντεταγμένη ενός σημείου σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων."}). Αυτό σημαίνει ότι αν σχεδιάσουμε μια κάθετη γραμμή, αυτή θα τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο.

:::fact{title="Το ήξερες;"}
Ένας κύκλος δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, επειδή μια κάθετη γραμμή μπορεί να τον τέμνει σε δύο σημεία. ⭕
:::


# Εύρεση Τιμών, Λύσεις Εξισώσεων και Ανισώσεων από Γραφικές Παραστάσεις 📊

Μια γραφική παράσταση δεν είναι απλώς μια εικόνα — μας επιτρέπει να απαντάμε οπτικά σε ερωτήματα που αλλιώς θα χρειάζονταν άλγεβρα. Δες πώς κάθε ζητούμενο μεταφράζεται σε μια εξίσωση ή ανίσωση.

### Τομές με τους άξονες

1. Για να βρούμε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης \( f \) με τον \( xx' \), απλά μηδενίζουμε το \( y \) (δηλαδή λύνουμε \( f(x) = 0 \)).
2. Για να βρούμε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης \( f \) με τον \( yy' \), απλά μηδενίζουμε το \( x \) (δηλαδή υπολογίζουμε \( f(0) \)).

### Πρόσημο ως προς τον άξονα \(xx'\)

3. Για να βρούμε σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f \) είναι πάνω από τον \( xx' \), απλά λύνουμε \( f(x) > 0 \).
4. Για να βρούμε σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f \) είναι κάτω από τον \( xx' \), απλά λύνουμε \( f(x) < 0 \).

### Σύγκριση με άλλη γραφική παράσταση

5. Για να βρούμε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης \( f \) με μια άλλη \( g \), απλά λύνουμε \( f(x) = g(x) \).
6. Για να βρούμε σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f \) είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της \( g \), απλά λύνουμε \( f(x) > g(x) \).
7. Για να βρούμε σε ποιο διάστημα η γραφική παράσταση της συνάρτησης \( f \) είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της \( g \), απλά λύνουμε \( f(x) < g(x) \).

:::alert{title="Μία τομή με τον yy', πολλές με τον xx'"}
Μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά σημεία τομής με τον \(xx'\) (όσες οι ρίζες της \(f(x)=0\)), αλλά το πολύ ένα σημείο τομής με τον \(yy'\) — αφού κι αυτός είναι μια κατακόρυφη ευθεία. ⚠️
:::


01. Βασική Θεωρία

Πώς εντοπίζουμε ένα σημείο στο επίπεδο με ένα ζεύγος αριθμών, τι είναι τετμημένη, τεταγμένη και αρχή των αξόνων.

Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων

Πώς τα πρόσημα των συντεταγμένων δείχνουν το τεταρτημόριο ενός σημείου και πώς βρίσκουμε τα συμμετρικά του ως προς τους άξονες, την αρχή και την ευθεία y=x.

Τεταρτημόρια και Συμμετρικά Σημεία

Ο τύπος υπολογισμού της απόστασης δύο σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο και πώς προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα, με λυμένο παράδειγμα.

Απόσταση Δύο Σημείων

Τι είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, πώς ορίζεται μέσω της εξίσωσης y=f(x) και πώς ελέγχουμε αν ένα σημείο της ανήκει.

Ορισμός της Γραφικής Παράστασης

Το οπτικό κριτήριο που δείχνει αν μια καμπύλη είναι γραφική παράσταση συνάρτησης, με το παράδειγμα του κύκλου που δεν το ικανοποιεί.

Κριτήριο Κατακόρυφης Ευθείας

Πώς βρίσκουμε πού η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα x'x και τον άξονα y'y, και γιατί οι δύο περιπτώσεις διαφέρουν.

Σημεία Τομής με τους Άξονες

Πώς διαβάζουμε από ένα γράφημα πού μια συνάρτηση είναι θετική ή αρνητική, και πού η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω ή κάτω από μιας άλλης.

Ανάγνωση Προσήμου και Σύγκριση Γραφικών Παραστάσεων

# Γραφική Παράσταση Συνάρτησης — Επανάληψη 📈

Στο **καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων** \(Oxy\), κάθε σημείο \(M\) περιγράφεται από ένα ζεύγος \((α, β)\): το \(α\) είναι η **τετμημένη** (θέση στον άξονα \(x'x\)), το \(β\) η **τεταγμένη** (θέση στον άξονα \(y'y\)). Οι δύο άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε 4 τεταρτημόρια, με το πρόσημο του \((x, y)\) να δείχνει αμέσως σε ποιο ανήκει ένα σημείο. Το συμμετρικό ενός \(A(α, β)\) είναι: \((α, -β)\) ως προς \(x'x\), \((-α, β)\) ως προς \(y'y\), \((-α, -β)\) ως προς \(O\), και \((β, α)\) ως προς την ευθεία \(y = x\). Η απόσταση δύο σημείων \(A(x_1,y_1)\), \(B(x_2,y_2)\) δίνεται (από το Πυθαγόρειο θεώρημα) από τον τύπο \((AB) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).

:::alert{title="Μη μπερδεύεις τις δύο συμμετρίες"}
Συμμετρία ως προς \(x'x\) αλλάζει το πρόσημο του \(y\)· συμμετρία ως προς \(y'y\) αλλάζει το πρόσημο του \(x\). Θυμήσου: αλλάζει η συντεταγμένη που μετρά την απόσταση από τον άξονα καθρέφτη.
:::

Η **γραφική παράσταση** μιας συνάρτησης \(f\) με πεδίο ορισμού \(Α\) είναι το σύνολο \(C_f\) όλων των σημείων \(M(x, f(x))\), \(x \in Α\). Η εξίσωση \(y = f(x)\) είναι η εξίσωση της \(C_f\): ένα σημείο ανήκει σε αυτήν ακριβώς όταν οι συντεταγμένες του την επαληθεύουν.

:::fact{title="Κριτήριο κατακόρυφης ευθείας"}
Επειδή κάθε \(x\) αντιστοιχεί σε **ένα μόνο** \(y\), κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης **το πολύ σε ένα σημείο**. Αν κάποια κατακόρυφη ευθεία τέμνει μια καμπύλη σε δύο ή περισσότερα σημεία (π.χ. σε έναν κύκλο), η καμπύλη δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.
:::

Από τη γραφική παράσταση διαβάζουμε άμεσα:

| Ζητούμενο | Λύνουμε |
|---|---|
| Τομή \(C_f\) με \(x'x\) | \(f(x) = 0\) |
| Τομή \(C_f\) με \(y'y\) | υπολογίζουμε \(f(0)\) |
| \(C_f\) πάνω / κάτω από \(x'x\) | \(f(x) > 0\) / \(f(x) < 0\) |
| Τομή \(C_f\) με \(C_g\) | \(f(x) = g(x)\) |
| \(C_f\) πάνω / κάτω από \(C_g\) | \(f(x) > g(x)\) / \(f(x) < g(x)\) |

:::alert{title="Μία τομή με τον yy', πολλές με τον xx'"}
Μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλές ρίζες (τομές με \(x'x\)), αλλά **το πολύ ένα** σημείο τομής με τον \(y'y\) — αυτό είναι απλώς το κριτήριο κατακόρυφης ευθείας εφαρμοσμένο στον ίδιο τον άξονα \(y'y\).
:::
