Ανισώσεις 2ου Βαθμού 📐

Μια ανίσωση 2ου βαθμού (ή τριωνυμική ανίσωση) είναι μια ανίσωση που, μετά τις πράξεις, παίρνει μία από τις μορφές

αx^2 + βx + γ > 0, \quad αx^2 + βx + γ < 0, \quad αx^2 + βx + γ \geq 0, \quad αx^2 + βx + γ \leq 0

όπου $α, β, γ$ πραγματικοί αριθμοί με $α \neq 0$ . Η έκφραση $αx^2 + βx + γ$ λέγεται τριώνυμο. Το να λύσουμε την ανίσωση σημαίνει να βρούμε όλες τις τιμές του $x$ για τις οποίες το τριώνυμο παίρνει το πρόσημο που ζητά η ανίσωση.

Το κλειδί για να λύσουμε οποιαδήποτε τέτοια ανίσωση είναι να γνωρίζουμε το πρόσημο του τριωνύμου για κάθε πραγματικό $x$ . Αυτό εξαρτάται αποκλειστικά από δύο πράγματα: το πρόσημο του συντελεστή $α$ και την τιμή της διακρίνουσας $Δ$ .

Μην ξεχνάς τον έλεγχο α ≠ 0

Αν $α = 0$ , η ανίσωση δεν είναι πλέον 2ου βαθμού, αλλά 1ου βαθμού (ή αδύνατη/ταυτότητα). Πάντα ελέγχουμε πρώτα ότι ο συντελεστής του $x^2$ είναι πράγματι διαφορετικός από το μηδέν.

Η Διακρίνουσα Δ 🔍

Για κάθε τριώνυμο $αx^2 + βx + γ$ ( $α \neq 0$ ) ορίζουμε τη διακρίνουσα

Δ = β^2 - 4αγ

Η τιμή της $Δ$ μάς λέει πόσες πραγματικές ρίζες έχει η εξίσωση $αx^2 + βx + γ = 0$ , και αυτό καθορίζει με τη σειρά του το πρόσημο του τριωνύμου.

Γιατί λέγεται «διακρίνουσα»

Ονομάζεται έτσι επειδή «διακρίνει», δηλαδή ξεχωρίζει, τις τρεις δυνατές περιπτώσεις για τις ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης — πριν καν τις υπολογίσουμε!

Πρόσημο του Τριωνύμου — Οι Τρεις Περιπτώσεις 🧮

Έστω το τριώνυμο $αx^2 + βx + γ$ με $α \neq 0$ και $Δ = β^2 - 4αγ$ . Ακολουθούμε τα εξής βήματα.

1ο Βήμα: Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα

Υπολογίζουμε $Δ = β^2 - 4αγ$ .

2ο Βήμα: Εξετάζουμε το πρόσημο της Δ

Αν $Δ > 0$ : το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες $x_1$ και $x_2$ (με $x_1 < x_2$ ), οι οποίες δίνονται από τον γνωστό τύπο

x_{1,2} = \frac{-β \pm \sqrt{Δ}}{2α}

Σε αυτή την περίπτωση το τριώνυμο είναι:

ετερόσημο του $α$ (δηλαδή αντίθετου προσήμου) για τις τιμές του $x$ που βρίσκονται ανάμεσα στις ρίζες, δηλαδή για $x_1 < x < x_2$
ομόσημο του $α$ (δηλαδή ίδιου προσήμου) για κάθε $x$ έξω από τις ρίζες, δηλαδή για $x < x_1$ ή $x > x_2$
μηδέν ακριβώς στις ρίζες $x_1$ και $x_2$

Αν $Δ = 0$ : το τριώνυμο έχει μία διπλή ρίζα $x_1 = -\dfrac{β}{2α}$ . Σε αυτή την περίπτωση το τριώνυμο είναι ομόσημο του $α$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ με $x \neq x_1$ , και μηδενίζεται μόνο στο $x_1$ .

Αν $Δ < 0$ : το τριώνυμο δεν έχει καμία πραγματική ρίζα. Σε αυτή την περίπτωση το τριώνυμο είναι ομόσημο του $α$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , χωρίς καμία εξαίρεση.

Ο ρόλος του συντελεστή α

Ο συντελεστής $α$ «παίζει» πολύ σημαντικό ρόλο στην επίλυση ανισώσεων 2ου βαθμού! Αν ξέρεις το πρόσημό του, έχεις ήδη τη μισή λύση στα χέρια σου — μένει μόνο να δεις πού είναι ομόσημο και πού ετερόσημο του $α$ το τριώνυμο.

Ο Πίνακας Προσήμων 📊

Τα παραπάνω συνοψίζονται σε έναν πίνακα προσήμων, το βασικό εργαλείο για την επίλυση κάθε ανίσωσης 2ου βαθμού.

Περίπτωση $Δ > 0$ (ρίζες $x_1 < x_2$ ):

$x$	$-\infty$	...	$x_1$	...	$x_2$	...	$+\infty$
πρόσημο $αx^2+βx+γ$		ομόσημο του $α$	0	ετερόσημο του $α$	0	ομόσημο του $α$

Περίπτωση $Δ = 0$ (διπλή ρίζα $x_1$ ):

$x$	$-\infty$	...	$x_1$	...	$+\infty$
πρόσημο $αx^2+βx+γ$		ομόσημο του $α$	0	ομόσημο του $α$

Περίπτωση $Δ < 0$ (καμία ρίζα):

$x$	$-\infty$		$+\infty$
πρόσημο $αx^2+βx+γ$		ομόσημο του $α$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Το πιο συχνό λάθος

Πολλοί μαθητές θυμούνται μόνο ότι «ανάμεσα στις ρίζες είναι αρνητικό». Αυτό ισχύει μόνο όταν $α > 0$ ! Αν $α < 0$ , τα πρόσημα αντιστρέφονται: ανάμεσα στις ρίζες το τριώνυμο είναι θετικό, και έξω από αυτές αρνητικό. Έλεγξε πάντα πρώτα το πρόσημο του $α$ .

Μέθοδος Επίλυσης Ανίσωσης 2ου Βαθμού 🧠

Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής $αx^2 + βx + γ > 0$ (ή $<, \geq, \leq$ ) ακολουθούμε τα βήματα:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος, ώστε η ανίσωση να πάρει τη μορφή $αx^2+βx+γ$ σε σύγκριση με το 0.
Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα $Δ = β^2 - 4αγ$ .
Βρίσκουμε τις ρίζες (αν υπάρχουν) και κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων του τριωνύμου, ανάλογα με το πρόσημο του $Δ$ και του $α$ .
Διαβάζουμε από τον πίνακα τις τιμές του $x$ για τις οποίες το τριώνυμο έχει το πρόσημο που ζητά η αρχική ανίσωση, και γράφουμε τη λύση ως διάστημα ή ένωση διαστημάτων.

Όταν η ανίσωση είναι μη γνήσια (δηλαδή περιέχει $\geq$ ή $\leq$ ), οι ρίζες του τριωνύμου περιλαμβάνονται στη λύση (κλειστά άκρα), ενώ σε γνήσιες ανισώσεις ( $>$ ή $<$ ) οι ρίζες αποκλείονται (ανοικτά άκρα).

Παράδειγμα 1: Δύο Ρίζες (Δ > 0) 🔎

Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) $2x^2 - 3x - 2 > 0$

ii) $2x^2 - 3x - 2 < 0$

Λύση:

Ζητάμε τις τιμές του $x$ για τις οποίες το τριώνυμο $2x^2 - 3x - 2$ είναι θετικό στην περίπτωση (i) και αρνητικό στην περίπτωση (ii).

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $Δ = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 > 0$ , άρα δύο ρίζες: $x_1 = -\dfrac{1}{2}$ και $x_2 = 2$ . Επειδή $α = 2 > 0$ , ο πίνακας προσήμων δείχνει το τριώνυμο θετικό έξω από τις ρίζες και αρνητικό ανάμεσά τους.

Από τον πίνακα προκύπτει ότι:

i) Η ανίσωση $2x^2 - 3x - 2 > 0$ έχει λύσεις όλα τα $x \in \mathbb{R}$ με $x < -\dfrac{1}{2}$ ή $x > 2$ , δηλαδή $x \in \left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right) \cup (2, +\infty)$ .

ii) Η ανίσωση $2x^2 - 3x - 2 < 0$ έχει λύσεις όλα τα $x \in \mathbb{R}$ με $-\dfrac{1}{2} < x < 2$ , δηλαδή $x \in \left(-\dfrac{1}{2}, 2\right)$ .

Παράδειγμα 2: Μη Γνήσια Ανίσωση 📏

Θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση $2x^2 - 3x - 2 \leq 0$ .

Για να το πετύχουμε, αναζητούμε τις τιμές του $x$ που ικανοποιούν είτε την γνήσια ανίσωση $2x^2 - 3x - 2 < 0$ , είτε είναι ρίζες της εξίσωσης $2x^2 - 3x - 2 = 0$ .

Όπως είδαμε στο Παράδειγμα 1, οι λύσεις της γνήσιας ανίσωσης είναι το διάστημα $\left(-\dfrac{1}{2}, 2\right)$ , και οι ρίζες είναι οι $-\dfrac{1}{2}$ και $2$ . Άρα οι λύσεις της $2x^2 - 3x - 2 \leq 0$ είναι όλα τα $x \in \mathbb{R}$ με $-\dfrac{1}{2} \leq x \leq 2$ , δηλαδή $x \in \left[-\dfrac{1}{2}, 2\right]$ — ένα κλειστό διάστημα, αφού η ανίσωση δεν είναι γνήσια.

Παράδειγμα 3: Διπλή Ρίζα (Δ = 0) ⚖️

Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) $x^2 - 2x + 1 > 0$

ii) $x^2 - 2x + 1 < 0$

Λύση:

Η διακρίνουσα του τριωνύμου $x^2 - 2x + 1$ είναι $Δ = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$ , οπότε το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα τη $x = 1$ . Άρα το τριώνυμο είναι ομόσημο του $α = 1$ , δηλαδή θετικό, για κάθε $x \in \mathbb{R}$ με $x \neq 1$ .

Επομένως:

Οι λύσεις της ανίσωσης (i) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $x$ με $x \neq 1$ , δηλαδή $x \in \mathbb{R} - \{1\}$ .
Η ανίσωση (ii) είναι αδύνατη, αφού το τριώνυμο δεν παίρνει ποτέ αρνητικές τιμές.

Παράδειγμα 4: Καμία Ρίζα (Δ < 0) 🥳

Να λυθεί η ανίσωση $x^2 + x + 1 > 0$ .

Λύση:

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα του τριωνύμου $x^2 + x + 1$ : $Δ = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$ .

Αφού $Δ < 0$ , το τριώνυμο δεν έχει καμία πραγματική ρίζα και είναι ομόσημο του $α = 1$ (δηλαδή θετικό) για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Επομένως, οι λύσεις της ανίσωσης $x^2 + x + 1 > 0$ είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, δηλαδή $x \in \mathbb{R}$ .

Πρόσεξε την αντίστροφη περίπτωση

Αν στο ίδιο τριώνυμο ζητούσαμε $x^2 + x + 1 < 0$ , η ανίσωση θα ήταν αδύνατη, γιατί το τριώνυμο δεν γίνεται ποτέ αρνητικό. Όταν $Δ < 0$ , μία από τις δύο κατευθύνσεις ( $>$ ή $<$ ) δίνει πάντα λύση όλο το $\mathbb{R}$ και η άλλη είναι πάντα αδύνατη — ποιά από τις δύο εξαρτάται αποκλειστικά από το πρόσημο του $α$ .