Η περιπέτεια ξεκινά με τα σύνολα. Μοιάζουν με σεντούκια αριθμών. Ψάξε καλά και θα ανακαλύψεις την απόλυτη τιμή και τις ρίζες. Μια ακολουθία από βήματα θα σε οδηγήσει στον επόμενο θησαυρό. Τελικός προορισμός, οι συναρτήσεις! Το ταξίδι για την κατανόηση των μαθηματικών μόλις ξεκίνησε 🏴‍☠️

Άλγεβρα Α' Λυκείου

# 🧠 Μέθοδος Επίλυσης Ανίσωσης 2ου Βαθμού

Έστω η ανίσωση:

\[
αx^2 + βx + γ > 0 \tag{1}
\]

με \(α \neq 0\). Για να τη λύσουμε, ακολουθούμε τα εξής βήματα.

### 🔹 1ο Βήμα: Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα

Υπολογίζουμε τη :tooltip[διακρίνουσα]{content="Αριθμός Δ = β² - 4αγ, που δείχνει πόσες πραγματικές ρίζες έχει το τριώνυμο."}:

\[
Δ = β^2 - 4αγ
\]

### 🔹 2ο Βήμα: Εξετάζουμε το πρόσημο της διακρίνουσας

Ανάλογα με το πρόσημο της \(Δ\), προκύπτουν τρεις περιπτώσεις για το πρόσημο του τριωνύμου, όπως δείχνουν οι πίνακες προσήμων παρακάτω.

#### ✅ Αν \( Δ > 0 \)

Το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες \(x_1 < x_2\). Είναι ετερόσημο του \(α\) ανάμεσά τους, και ομόσημο του \(α\) έξω από αυτές.

<Image id="4de7103c-8522-4140-5adf-be757e346200"/>

#### ⚖️ Αν \( Δ = 0 \)

\[
\text{Μία διπλή ρίζα: } x_1
\]

Το τριώνυμο είναι ομόσημο του \(α\) για κάθε \(x \neq x_1\).

<Image id="c7e55d10-58a8-4ed7-ca57-89ba42ee7c00"/>

#### ❌ Αν \( Δ < 0 \)

\[
\text{Καμία πραγματική ρίζα}
\]

Το τριώνυμο είναι ομόσημο του \(α\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), χωρίς εξαίρεση.

<Image id="7794bd49-76b9-4eba-dfc1-379e4ff13600"/>

### 📌 Παρατήρηση

Ο συντελεστής \(α\) *παίζει πολύ σημαντικό ρόλο* στην επίλυση των ανισώσεων 2ου βαθμού! Αν ξέρεις το πρόσημό του, έχεις ήδη τη μισή λύση στα χέρια σου! 😄

:::alert{title="Πρόσεξε ποιο πρόσημο είναι ανάμεσα στις ρίζες"}
Το «ετερόσημο ανάμεσα στις ρίζες, ομόσημο έξω» αλλάζει νόημα ανάλογα με το \(α\): αν \(α > 0\), ανάμεσα στις ρίζες το τριώνυμο είναι αρνητικό· αν \(α < 0\), είναι θετικό. Έλεγχε πάντα πρώτα το πρόσημο του \(α\).
:::

# Παράδειγμα 1: Ανίσωση με Δύο Ρίζες 📘

Να λυθούν οι ανισώσεις:

i) \(2x^2 - 3x - 2 > 0\)

ii) \(2x^2 - 3x - 2 < 0\)

## Λύση:

Ζητάμε τις τιμές του \(x\), για τις οποίες το :tooltip[τριώνυμο]{content="Έκφραση της μορφής \(ax^2 + bx + c\), όπου \(a\), \(b\), και \(c\) είναι σταθερές και \(a ≠ 0\)."} \(2x^2 - 3x - 2\) είναι θετικό στην περίπτωση (i) και αρνητικό στην περίπτωση (ii).

Το τριώνυμο έχει ρίζες τους αριθμούς \(-\frac{1}{2}\) και \(2\), και, επειδή \(α = 2 > 0\), το πρόσημό του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι:

i) Η ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 > 0\) έχει λύσεις τα \(x \in \mathbb{R}\) για τα οποία ισχύει \(x < -\frac{1}{2}\) ή \(x > 2\), δηλαδή τα \(x \in (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (2, +\infty)\).

ii) Η ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 < 0\) έχει λύσεις τα \(x \in \mathbb{R}\) για τα οποία ισχύει \(-\frac{1}{2} < x < 2\), δηλαδή τα \(x \in (-\frac{1}{2}, 2)\).

:::fact{title="Παρατήρησε το σχήμα της λύσης"}
Επειδή \(α = 2 > 0\), η λύση της γνήσιας ανίσωσης \(>0\) είναι «έξω» από τις ρίζες (ένωση δύο διαστημάτων), ενώ της \(<0\) είναι «ανάμεσα» στις ρίζες (ένα διάστημα). Αυτό το σχήμα θα το ξαναδείς σε κάθε τριώνυμο με \(Δ>0\) και \(α>0\).
:::

# Παράδειγμα 2: Μη Γνήσια Ανίσωση 🧮

Θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 \leq 0\). 🤔

Για να το επιτύχουμε, αναζητούμε τις τιμές του \(x\) που ικανοποιούν είτε τη γνήσια ανίσωση \(2x^2 - 3x - 2 < 0\), είτε είναι ρίζες της εξίσωσης \(2x^2 - 3x - 2 = 0\).

Όπως είδαμε στο πρώτο παράδειγμα, οι λύσεις της ανίσωσης \(2x^2 - 3x - 2 \leq 0\) είναι τα \(x\) που ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (\(x \in \mathbb{R}\)), με \(-\frac{1}{2} \leq x \leq 2\). 🥳 Δηλαδή, το \(x\) ανήκει στο διάστημα \([-\frac{1}{2}, 2]\).

:::alert{title="Γιατί εδώ το διάστημα είναι κλειστό"}
Επειδή η ανίσωση δεν είναι γνήσια (\(\leq\) αντί για \(<\)), οι ίδιες οι ρίζες \(-\frac{1}{2}\) και \(2\) περιλαμβάνονται στη λύση — γι' αυτό χρησιμοποιούμε αγκύλες \([\,]\) αντί για παρενθέσεις.
:::

# Παράδειγμα 3: Ανίσωση με Διπλή Ρίζα 🤔

Ας δούμε πώς λύνονται οι ανισώσεις:

i) \(x^2 - 2x + 1 > 0\)

ii) \(x^2 - 2x + 1 < 0\)

## Λύση:

Η :tooltip[διακρίνουσα]{content="Η διακρίνουσα (Δ) είναι ένας αριθμός που υπολογίζεται από τους συντελεστές μιας πολυωνυμικής εξίσωσης και χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει τη φύση των ριζών της εξίσωσης."} του τριωνύμου \(x^2 - 2x + 1\) είναι \(Δ = 0\), οπότε έχει διπλή ρίζα τη \(x = 1\). Άρα, το τριώνυμο είναι ομόσημο του \(α = 1\), δηλαδή θετικό 👍, για κάθε \(x \in \mathbb{R}\) με \(x \neq 1\). Επομένως:

*   Οι λύσεις της ανίσωσης (i) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί \(x\), με \(x \neq 1\).
*   Η ανίσωση (ii) είναι αδύνατη 😥, αφού το τριώνυμο δεν παίρνει ποτέ αρνητικές τιμές.

:::fact{title="Γιατί συμβαίνει αυτό"}
Όταν \(Δ = 0\), η παραβολή του τριωνύμου «ακουμπάει» τον άξονα \(x\) σε ένα μόνο σημείο, τη διπλή ρίζα, χωρίς ποτέ να περνάει στην αντίθετη πλευρά του άξονα. Γι' αυτό το πρόσημο του τριωνύμου παραμένει ίδιο (ομόσημο του \(α\)) παντού εκτός από αυτό το σημείο.
:::

# Παράδειγμα 4: Ανίσωση Χωρίς Πραγματικές Ρίζες 🥳

Στο παράδειγμα 4, έχουμε την ανίσωση \(x^2 + x + 1 > 0\) και θέλουμε να βρούμε τις λύσεις της.

## Λύση:

Για να λύσουμε την ανίσωση, πρώτα βρίσκουμε τη :tooltip[διακρίνουσα]{content="Στην άλγεβρα, η διακρίνουσα είναι μια έκφραση που εξαρτάται από τους συντελεστές ενός πολυωνύμου και καθορίζει τις ιδιότητες των ριζών του."} (Δ) του τριωνύμου \(x^2 + x + 1\). Η διακρίνουσα είναι \(Δ = -3\), που είναι μικρότερη από το 0 (\(Δ < 0\)).

Αυτό σημαίνει ότι το τριώνυμο είναι πάντα θετικό, επειδή είναι ομόσημο του \(α = 1\) (δηλαδή, έχει το ίδιο πρόσημο με το 1), για κάθε \(x\) που ανήκει στους πραγματικούς αριθμούς (\(x \in \mathbb{R}\)).

Επομένως, οι λύσεις της ανίσωσης \(x^2 + x + 1 > 0\) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί. 🥳

:::alert{title="Πρόσεξε την αντίθετη ανίσωση"}
Αν αντί για \(>0\) η άσκηση ζητούσε \(x^2+x+1 < 0\), η ανίσωση θα ήταν αδύνατη, αφού το ίδιο τριώνυμο δεν γίνεται ποτέ αρνητικό. Όταν \(Δ<0\), πάντα η μία κατεύθυνση δίνει λύση όλο το \(\mathbb{R}\) και η άλλη είναι αδύνατη.
:::

01. Βασική Θεωρία

Τι είναι μια ανίσωση 2ου βαθμού και το τριώνυμο αx²+βx+γ, και τι σημαίνει να τη λύσουμε.

Ορισμός ανίσωσης 2ου βαθμού

Πώς υπολογίζεται η διακρίνουσα Δ = β²-4αγ και γιατί καθορίζει το πλήθος των ριζών του τριωνύμου.

Η διακρίνουσα Δ

Πώς διαμορφώνεται το πρόσημο του τριωνύμου ανάλογα με το αν η διακρίνουσα είναι θετική, μηδέν ή αρνητική.

Πρόσημο τριωνύμου στις τρεις περιπτώσεις

Πώς κατασκευάζεται και πώς διαβάζεται ο πίνακας προσήμων για κάθε μία από τις τρεις περιπτώσεις της διακρίνουσας.

Ο πίνακας προσήμων

Τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε οποιαδήποτε ανίσωση 2ου βαθμού, από τη διακρίνουσα ως τη λύση.

Μέθοδος επίλυσης ανίσωσης

Τέσσερα παραδείγματα που δείχνουν την επίλυση ανισώσεων με δύο ρίζες, διπλή ρίζα ή καμία πραγματική ρίζα.

Λυμένα παραδείγματα

# Ανισώσεις 2ου Βαθμού — Επανάληψη ⚡

Μια ανίσωση 2ου βαθμού παίρνει τη μορφή \(αx^2 + βx + γ > 0\) (ή \(<, \geq, \leq\)), με \(α \neq 0\). Τη λύνουμε βρίσκοντας το **πρόσημο του τριωνύμου** \(αx^2+βx+γ\) για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), κάτι που εξαρτάται από τη :tooltip[διακρίνουσα]{content="Αριθμός Δ = β² - 4αγ, που δείχνει πόσες ρίζες έχει το τριώνυμο."} \(Δ = β^2 - 4αγ\) και το πρόσημο του \(α\).

Οι τρεις περιπτώσεις:

- **\(Δ > 0\):** δύο ρίζες \(x_1 < x_2\). Το τριώνυμο είναι **ετερόσημο** του \(α\) ανάμεσα στις ρίζες, και **ομόσημο** του \(α\) έξω από αυτές.
- **\(Δ = 0\):** μία διπλή ρίζα \(x_1 = -\dfrac{β}{2α}\). Το τριώνυμο είναι **ομόσημο** του \(α\) για κάθε \(x \neq x_1\), και μηδενίζεται στο \(x_1\).
- **\(Δ < 0\):** καμία πραγματική ρίζα. Το τριώνυμο είναι **ομόσημο** του \(α\) για **κάθε** \(x \in \mathbb{R}\), χωρίς εξαίρεση.

:::alert{title="Το κλασικό λάθος"}
Το «θετικό έξω, αρνητικό ανάμεσα στις ρίζες» ισχύει **μόνο όταν \(α > 0\)**. Όταν \(α < 0\), τα πρόσημα αντιστρέφονται. Έλεγξε πάντα πρώτα το \(α\).
:::

**Μέθοδος:** (1) φέρνουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος, (2) υπολογίζουμε \(Δ\), (3) βρίσκουμε τις ρίζες και φτιάχνουμε τον πίνακα προσήμων, (4) διαβάζουμε τη λύση από τον πίνακα. Σε **μη γνήσιες** ανισώσεις (\(\geq, \leq\)) οι ρίζες περιλαμβάνονται (κλειστά άκρα)· σε **γνήσιες** (\(>, <\)) αποκλείονται (ανοικτά άκρα).

:::fact{title="Η μισή λύση είναι το α"}
Αν ξέρεις το πρόσημο του \(α\) και την τιμή του \(Δ\), ξέρεις ήδη το «σχήμα» της λύσης — μένει μόνο να βρεις τις ρίζες (αν υπάρχουν) και να διαβάσεις σωστά τον πίνακα.
:::

**Παραδείγματα-κλειδιά:** Για \(2x^2-3x-2\) (\(Δ=25>0\), ρίζες \(-\frac{1}{2}, 2\)): θετικό εκτός \([-\frac{1}{2},2]\), αρνητικό εντός. Για \(x^2-2x+1\) (\(Δ=0\), διπλή ρίζα \(1\)): πάντα θετικό εκτός του \(x=1\), οπότε \(>0\) δίνει \(x \neq 1\) και \(<0\) είναι αδύνατη. Για \(x^2+x+1\) (\(Δ=-3<0\)): πάντα θετικό, άρα \(>0\) ισχύει για κάθε \(x \in \mathbb{R}\), ενώ \(<0\) θα ήταν αδύνατη.
